Parmi les mots importants dans
une expression ou un énoncé mathématique figurent les connecteurs logiques et
quantificateurs universel «∀» et existentiel « ∃»
Quantificateurs universels :
Un quantificateur universel permet de préciser le
domaine de validité d’une proposition on le note ∀ qui signifié « quel que
soit » ou « pour tout »
Autrement :
Soit E un ensemble, et p une proposition comportant une variable x.
On note ∀x ∈ E, p(x) la
proposition qui est :
× vraie si pour tout élément x de l’ensemble E, p(x)1) vraie si pour tout
élément x de l’ensemble E, p(x) est vraie. Lorsque (∀x ∈ E, p(x)) est
vraie, on dit que quel que soit x élément E (ou pour tout élément x
de E), p(x) est vérifiée.
2) fausse sinon. Autrement s’il existe au moins un élément x de
l’ensemble E tel que la proposition p(x) est fausse.
2) fausse sinon. Autrement
s’il existe au moins un élément x de l’ensemble E tel que la proposition p(x)
est fausse.
Exemples :
1)
p :
(∀ x ∈ ℕ) :
2 x est impair cette proposition est fausse (il existe au
moins un élément x de l’ensemble ℕ tel que la proposition
p(x) est fausse)
Si x= 7 nombre impair mais 2 × 7 =14 nombre pair
2) q : (∀ x ∈ ℝ) : x² ≥ 0 proposition
est vraie (quel que soit x appartenant à ℝ x² est positif ou nul q(x) est vérifiée
Le quantificateur
existentiel : Un quantificateur existentiel permet de
préciser l'existence d'un élément x (ou d’un objet x) satisfaisant une certaine
proposition p se note ∃,
lu « il existe (au moins un) » On peut éventuellement rajouter un
point d’exclamation pour montrer l’unicité. On a alors : ∃ ! qui signifie « il existe un unique .
. . tel que »
(∃ n∈ℤ): (n÷3) ∈ℤ vraie car il existe au moins un élément n de l’ensemble ℤ tel que la proposition (n÷3) ∈ℤ est vraie.
Notion de logique (Introduction 1) variables 2) proposition 3) connecteurs logique 4)lois logiques) 2)Quantificateurs log…){kind=link}
Commentaires
Enregistrer un commentaire