Ordre dans R الترتيب في المجموعة

Ordre dans 

Définition :

soient a et b deux réels .

1) on dit que  a est supérieur ou égale à b  qu 'on note a ≥ b  si  a - b  est positif 

2) on dit que a est inférieur ou  égale à b  qu ' on note  a ≤  b  si  a  -b  est négatif

Exemples

 comparer les  deux nombres  suivant:



soit  n un nombre entier naturel différent de zéro ( n ∈  ; n ≠ 0 )  comparer  :



n∈  alors ( 2 n + 1) ∈  et  2 n (2 n + 1 ) > 0

calculons :

 

   
donc 
   
Remarque  : comparer deux réels a et b revient à étudier  le signe de leurs différence  a - b

Ordre et opérations :
Propriétés:
soient a, b , c et d des nombres réels 

 1) si a ≤  b   alors  a +c  ≤  b  +c        autrement:  ajouter  ou soustraire  un même nombre aux deux membres  d' une inégalité conserve  l'ordre

2) si a  ≤  b  et  c  ≤  d  alors  a + c ≤  b +d    ( encadrement d 'une somme)

3) Multiplier  chaque membre de l'inégalité: 

* par un même nombre  strictement positif  ne change pas le sens de l'inégalité
* par un même nombre  strictement négatif   change  le sens de l inégalité

 si a ≤ b et c ≥ 0  alors  ac ≤  b c

 si a ≤  b et c ≤  0  alors ac ≥  b c 

4) Diviser chaque membre de l'inégalité:

* par un même nombre  strictement positif  ne change pas le sens de l'inégalité
* par un même nombre  strictement négatif   change  le sens de l' inégalité

 si ac  ≤   b c   et  c > 0    alors  a  ≤ b

 si  ac ≤  b c   et c  < 0     alors  a  ≥  b



5)  si  0 ≤  a  ≤  b   et  0 ≤  c   ≤  d    alors  ac  ≥  b d




Exemples:

 1/   1 ≤  3   donc  1 + 2 ≤  3+ 2 

2/ si  x ≤  - 2  et  y ≤  6   alors  x +  y   ≤  - 2 + 6 = 4





6)  si 0 ≤  x ≤  2  et  0  ≤  y  ≤  4  alors  x y ≤  2  × 4  c'est à dire x y  ≤  8

7) si  0 ≤  2 x  ≤  8   et   0  ≤ 5 y  ≤   10  montrons que  x y ≤  8





Ordre et inverse
Propriétés:

 soient a et b deux réels 



Exemples:
1)


2)


3)