Ordre dans R الترتيب في المجموعة

Ordre dans $\mathbb{R}$

Définition :

Soient $a$ et $b$ deux réels.

1) on dit que $a$ est supérieur ou égale à $b$ qu 'on note $a\ge b$ si $a-b$ est positif 

 

2) on dit que $a$ est inférieur ou égale à $b$ qui ' on note  $a\le b$ si $a-b$ est négatif

Exemples

 Comparer nombres suivant: $x=2 \ et\ y=\frac{5}{2}$


Soit $n$ un nombre entier naturel différent de zéro ($n ∈ \mathbb{N} .; n ≠ 0$ )   comparer :

$n ∈ \mathbb{N}^* \ alors\  n\gt0 \ et\  1\gt0 \rightarrow \ 2n+1\gt0$

donc

 $2n(2n+1)\gt0$

Calculons :  

$\frac{2n}{2n+1}-\frac{2n-1}{2n}$

   Le dénominateur commun est $2n(2n+1)$ donc :

$\frac{2n}{2n+1}-\frac{2n-1}{2n}=\frac{(2n)^{2}-(2n)^{2}+1}{2n(2n+1)}=\frac{1}{2n(2n+1)}\gt 0$

   

donc 

$\frac{2n}{2n+1}\gt \frac{2n-1}{2n}$

   

Remarque: comparer deux réels a et b revient à étudier  le signe de leurs différence  a - b

Ordre et opérations :
Propriétés:
soient a, b , c et d des nombres réels 

 1) si a ≤  b   alors  a +c  ≤  b  +c        autrement:  ajouter  ou soustraire  un même nombre aux deux membres  d' une inégalité conserve  l'ordre

2) si a  ≤  b  et  c  ≤  d  alors  a + c ≤  b +d    ( encadrement d 'une somme)

3) Multiplier  chaque membre de l'inégalité: 

* par un même nombre  strictement positif  ne change pas le sens de l'inégalité
* par un même nombre  strictement négatif   change  le sens de l inégalité

 si a ≤ b et c ≥ 0  alors  ac ≤  b c

 si a ≤  b et c ≤  0  alors ac ≥  b c 

4) Diviser chaque membre de l'inégalité:

* Par un même nombre strictement positif ne change pas le sens de l'inégalité
* Par un même nombre strictement négatif   change le sens de l'inégalité

 Si    ac ≤   b c   et c > 0    alors   a  ≤ b

 Si    ac ≤ b c   et c < 0     alors   a  ≥ b

Si    $a\le b \quad et\quad c\gt 0\quad alors\quad\frac{a}{c}\le \frac{b}{c}$

Si    $a\le b \quad et\quad c\lt  0\quad alors\quad\frac{a}{c}\ge  \frac{b}{c}$

  Si 0 ≤ a ≤ b   et 0 ≤ c   ≤ d    alors  ac  ≥ b d

Si $bd\gt  0 \quad et\quad \frac{a}{b}\lt \frac{c}{d}\quad alors\quad ad\lt bc$

Exemples:

 1/   1 ≤ 3   donc  1 + 2 ≤ 3+ 2

 

2/ si x ≤ - 2 et y ≤ 6   donc x + y   ≤ - 2 + 6 = 4

3/ $x\le \frac{5}{2}$ et $2\gt 0$ donc  $2x\le 2\times \frac{5}{2}$ donc $\ 2x\le 5$

4/$x\lt \frac{3}{2}$ et $-2\lt 0$ donc $(-2)x\gt  (-2)\times \frac{3}{2}$ donc$-2x\gt 3$

5/ $5x\le 7$ donc  $\frac{1}{5}\times 5x\le \frac{1}{5}\times 7$ car $\frac{1}{5}\gt 0$ donc $x\le \frac{7}{5}$

6)  Si (0 ≤ x ≤ 2) et (0 ≤ y ≤4) alors (x y ≤ 2 × 4) c'est à dire (x y ≤ 8)

7) Si 0 ≤ 2 x ≤ 8   et   0 ≤ 5 y ≤   10 montrons que x y ≤ 8

$$\begin{cases} 0\leq2x\leq8\Rightarrow 0\leq x\leq4\leq y \\ \\ 0\leq5y\leq10\Rightarrow 0\leq y\leq2\end{cases}\quad signifie \ que\  xy\le 8$$

Ordre et inverse
Propriétés :

 Soient a et b deux réels non nul

Si $\quad 0\lt a\le b\quad alors\quad  0\lt \frac{1}{b} \le \frac{1}{a}$

 

Si $a\le b\lt 0\quad alors \quad\frac{1}{b}\le \frac{1}{a}\lt 0$

Exemples :

اقرا ايضاDémonstration par récurrence

اقرا ايضاDémonstration par contre exemple

اقرا ايضاDémonstration par l 'absurde

اقرا ايضاDémonstration par la contraposée

1) $0\lt x\le 6\quad alors \quad   0\lt \frac{1}{6} \le \frac{1}{x}$

2)  $3\lt 4 \quad alors\quad   \frac{1}{4} \lt \frac{1}{3}$

3) $\frac{1}{5}\lt \frac{1}{7} \quad   donc\quad   7\gt 5$

4) Soit

 $x\in \mathbb{R}\quad  avec\quad    x\neq(\frac{-1}{4})  \quad  tel\ que \quad   0\lt \frac{2}{4x+1}\lt \frac{2}{3}$

Montrer que: 

$x\gt \frac{1}{12}$

Comme donné on a

 $0\lt \frac{2}{4x+1}\lt \frac{3}{2}$   multipliant chaque membre de l'inégalité par $2(4x+1)$ on obtient $0\lt \frac{4(2x+1)}{4x+1}\lt \frac{2\times 3(4x+1))}{2}$

ce qui donne $0\lt 4\lt 12x+3$ ajoutant ( -3) aux membres de l'inégalité $\Rightarrow -3\lt 1\lt 12x$ on dise par 12 ce qui donne $\frac{-1}{4}\lt \frac{1}{12}\lt x$ D’où  $\frac{1}{12}\lt x$ donc $x\gt \frac{1}{12}$ 

3)

comparer les nombres 

$\frac{1}{3^{2045}-3145} et \frac{1}{3^{2045}-2564}$

On sait que $(-3145)\lt (-2564)$  si on ajoute le nombre $3^{2045}$  qui est positif à l' inégalité : l'inégalité est inchangeable on aura $3^{2045}-3145\lt 3^{2045}-2564$ 

Donc 

$\frac{1}{3^{2045}-2564} \gt \frac{1}{3^{2045}-3145}$

الترتيب  في المجموعة$\mathbb{R}$   

 التعريف:

لنعتبر $a$ و $b$ عددين حقيقيين.

1) نقول أن $a$ أكبر من أو يساوي $b$، الذي نرمز له بـ $a \ge b$، إذا كان $a - b$ عددًا موجبًا.

2) نقول أن $a$ أصغر من أو يساوي $b$، الذي نرمز له بـ $a \le b$، إذا كان $a - b$ عددًا سالبًا.

 أمثلة:

قارن بين العددين التاليين: $x = 2$ و $y = \frac{5}{2}$.

نحسب $x - y = 2 - \frac{5}{2} = \frac{4 - 5}{2} = \frac{-1}{2} < 0$، لذا $x < y$.

 مسألة:

لنأخذ $n$ عددًا صحيحًا طبيعيًا غير صفر ($n \in \mathbb{N}^*$، حيث $n \neq 0$)، قارن بين:

إذا كان $n \in \mathbb{N}^*$ فإن $n > 0$ و $1 > 0 \rightarrow 2n + 1 > 0$، وبالتالي $2n(2n + 1) > 0$.

 حساب:

$$\frac{2n}{2n + 1} - \frac{2n - 1}{2n}$$

المقام المشترك هو $2n(2n + 1)$، لذا نكتب:

$$\frac{2n(2n + 1)}{2n(2n + 1)} = \frac{2n(2n + 1)}{2n(2n + 1)}$$

 ملاحظة:

مقارنة بين عددين حقيقيين $a$ و $b$ تعني دراسة إشارة الفرق بينهما، أي $a - b$.

 الترتيب والعمليات:

 الخصائص:

لنعتبر $a$، $b$، $c$ و $d$ أعدادًا حقيقية.

1) إذا كان $a \le b$، فإن $a + c \le b + c$. بمعنى آخر، إضافة أو طرح نفس العدد من طرفي المتباينة يحافظ على ترتيب الأعداد.

2) إذا كان $a \le b$ و $c \le d$، فإن $a + c \le b + d$ (أي تربيع الحدين معًا).

3) ضرب كل طرف من المتباينة:

- إذا ضربنا كلا الطرفين في نفس العدد الموجب، فإن الاتجاه لا يتغير.

- إذا ضربنا كلا الطرفين في نفس العدد السالب، فإن الاتجاه يتغير.

إذا كان $a \le b$ و $c \ge 0$، فإن $ac \le bc$.

إذا كان $a \le b$ و $c \le 0$، فإن $ac \ge bc$.

4) قسمة كل طرف من المتباينة:

- إذا قسمنا كل طرف على نفس العدد الموجب، فإن الاتجاه لا يتغير.

- إذا قسمنا كل طرف على نفس العدد السالب، فإن الاتجاه يتغير.

  إذا كان:

 $ac \le bc$ و $c > 0$، فإن $a \le b$.

 $ac \le bc$ و $c < 0$، فإن $a \ge b$.

 إذا كان:

 $a \le b$ و $c > 0$، فإن $\frac{a}{c} \le \frac{b}{c}$

$a \le b$ و $c < 0$، فإن $\frac{a}{c} \ge \frac{b}{c}$

إذا كان:

 $0 \le a \le b$ و $0 \le c \le d$، فإن $ac \ge bd$

إذا كان:

 $bd > 0$ و $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$، فإن $ad < bc$

 أمثلة:

1) إذا كان $1 \le 3$، فإن $1 + 2 \le 3 + 2$.

2) إذا كان $x \le -2$ و $y \le 6$، فإن $x + y \le -2 + 6 = 4$.

3) إذا كان $0 \le x \le 2$ و $0 \le y \le 4$، فإن $xy \le 2 \times 4$، أي $xy \le 8$.

4) إذا كان $0 \le 2x \le 8$ و $0 \le 5y \le 10$، أظهر أن $xy \le 8$.

 الترتيب والعكس

 الخصائص:

لنعتبر $a$ و $b$ عددين حقيقيين.

 إذا كان $\quad 0 < a \le b$، فإن $\quad 0 < \frac{1}{b} \le \frac{1}{a}$

 إذا كان $\quad a \le b < 0$، فإن $\quad \frac{1}{b} \le \frac{1}{a} < 0$

أمثلة:

1) إذا كان $0 < x \le 6$، فإن $\quad 0 < \frac{1}{6} \le \frac{1}{x}$.

2) إذا كان $3 < 4$، فإن $\quad \frac{1}{4} < \frac{1}{3}$.

3) إذا كان $\frac{1}{5} < \frac{1}{7}$، فإن $\quad 7 > 5$.

4) إذا كان $x \in \mathbb{R}$ و $x \neq \frac{-1}{4}$ و إذا كان $0 < \frac{2}{4x+1} < \frac{3}{2}$، أظهر أن $x > \frac{1}{12}$.

نظرًا لما هو معطى، لدينا $0 < \frac{2}{4x+1} < \frac{3}{2}$. من خلال ضرب كل طرف من المتباينة في $2(4x+1)$، نحصل على:

$$0 < \frac{4(2x+1)}{4x+1} < \frac{2 \times 3(4x+1)}{2}$$

هذا يعطي:

$$0 < 4 < 12x + 3$$

من خلال إضافة $-3$ إلى كلا الطرفين:

$$-3 < 1 < 12x$$

ثم قسمنا على 12، فنحصل على:

$$\frac{-1}{4} < \frac{1}{12} < x$$

إذن، $x > \frac{1}{12}$

2) قارن بين العددين $\frac{1}{3^{2045} - 3145}$ و $\frac{1}{3^{2045} - 2564}$.

نعرف أن $-3145 < -2564$، وإذا أضفنا العدد $3^{2045}$ الذي هو عدد موجب إلى المتباينة، فلن يتغير اتجاه المتباينة، وبالتالي:

$$3^{2045} - 3145 < 3^{2045} - 2564$$

لذا:

$$\frac{1}{3^{2045} - 2564} > \frac{1}{3^{2045} - 3145}$$