Exercices Équations du second degré

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Exercice 1 :

Soit l'équation du second degré :

$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$

On suppose que le discriminant vérifie :

$$\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$$

On note \(x_1\) et \(x_2\) les solutions de cette équation :

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

1) Calculer la somme des racines :

$$S = x_1 + x_2$$

2) Calculer le produit des racines :

$$P = x_1 \times x_2$$

3) Montrer que :

$$S = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad P = \frac{c}{a}$$

4) En déduire que :

$$ax^2 + bx + c = a(x^2 - Sx + P)$$

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Exercice 2 :

Résolution d’équations

Calculer le discriminant \(\Delta\) pour les équations suivantes puis Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : :

$$x^2 - 6x + 8 = 0$$ $$x^2 + x + 1 = 0$$ $$9x^2 + 2x + \frac{1}{9} = 0$$ $$-2x^2 + x + 1 = 0$$

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Exercice 3 :

  Factorisation

Factoriser les polynômes suivants :

$$P(x) = 4x^2 + 5x + 1$$ $$Q(x) = x^2 + 12x + 11$$ $$H(x) = x^2 - 5x + 4$$ $$L(x) = x^2 + 5x - \frac{49}{4}$$

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Exercice 4 :

  Somme et produit des racines

Soient \(x\) et \(y\) tels que :

$$x + y = 5 \quad ; \quad xy = 4$$

1) Former une équation du second degré

2) Déterminer \(x\) et \(y\)

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Exercice 5:

 Calculs avec les racines

Soient \(a\) et \(b\) les racines de :

$$4x^2 - 7x - 1 = 0$$

Calculer :

$$a + b$$ $$ab$$ $$a^2 + b^2$$ $$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$$ $$a^4 + b^4$$

Exercice 6 :

Soient \(x_1\) et \(x_2\) les racines de l’équation :

$$2x^2 - 5x + 3 = 0$$

Sans calculer \(x_1\) et \(x_2\), déterminer :

$$x_1^2 + x_2^2 \quad ; \quad \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \quad ; \quad x_1^3 + x_2^3$$

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Exercice 7:

On considère l’équation :

$$x^2 - (m+2)x + (m+1) = 0$$

1) Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles l’équation admet deux racines réelles distinctes.
2) Trouver \(m\) pour que la somme des racines soit égale à 5.
3) Trouver \(m\) pour que le produit des racines soit égal à 6.

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Exercice 8 :

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

$$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - x - 2} = 0$$

(On donnera l’ensemble des solutions.)

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Exercice 9:

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation :

$$x^2 - 4x + 3 \geq 0$$

Puis interpréter le résultat graphiquement.

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Exercice 10 :

On considère deux nombres réels \(x\) et \(y\) tels que :

$$x + y = 7 \quad \text{et} \quad xy = 10$$

Calculer :

$$x^2 + y^2 \quad ; \quad x^3 + y^3 \quad ; \quad \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$$

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Exercice 11 :

Montrer que l’équation suivante admet deux racines réelles, puis déterminer sans les calculer :

$$3x^2 - 7x + 2 = 0$$

Calculer :

$$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$$

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Exercice 12 :

On considère le polynôme :

$$P(x) = x + \frac{1}{x}$$

1) Montrer que si \(x \neq 0\), alors \(P(x)\) vérifie une équation du second degré.
2) Résoudre l’équation :

$$x + \frac{1}{x} = 3$$

3) En déduire les solutions réelles.

▶ Voir la solution détaillée

 Correction de l'exercice 1

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1) Calcul de la somme des racines :

$$S = x_1 + x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

$$S = \frac{-b - \sqrt{\Delta} - b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a}$$

$$S = -\frac{b}{a}$$

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2) Calcul du produit des racines :

$$P = x_1 \times x_2 = \left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)$$

$$P = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2}$$

$$P = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2}$$

$$P = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2}$$

$$P = \frac{c}{a}$$

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3) Conclusion :

$$S = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad P = \frac{c}{a}$$

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4) Déduction :

$$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)$$

$$ax^2 + bx + c = a(x^2 - Sx + P)$$

✔️ Le trinôme peut donc s’écrire en fonction de la somme et du produit des racines.

Correction Exercice 2 :

1) Résoudre :

$$x^2 - 6x + 8 = 0$$

$$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 8 = 36 - 32 = 4$$

\(\Delta > 0\) donc l'équation admet deux solutions réelles :

$$x_1 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

$$S = \{2 \; ; \; 4\}$$

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2) Résoudre :

$$x^2 + x + 1 = 0$$

$$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3$$

\(\Delta < 0\) donc aucune solution réelle :

$$S = \emptyset$$

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3) Résoudre :

$$9x^2 + 2x + \frac{1}{9} = 0$$

$$\Delta = 2^2 - 4 \times 9 \times \frac{1}{9} = 4 - 4 = 0$$

\(\Delta = 0\) donc une solution unique :

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times 9} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$$

$$S = \left\{-\frac{1}{9}\right\}$$

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4) Résoudre :

$$-2x^2 + x + 1 = 0$$

$$\Delta = 1^2 - 4 \times (-2) \times 1 = 1 + 8 = 9$$

\(\Delta > 0\) donc deux solutions réelles :

$$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{-4} = \frac{-1 - 3}{-4} = 1$$

$$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{-4} = \frac{-1 + 3}{-4} = -\frac{1}{2}$$

$$S = \left\{-\frac{1}{2} \; ; \; 1\right\}$$

Correction Exercice 3 :

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1) Factoriser :

$$P(x) = 4x^2 + 5x + 1$$

$$\Delta = 5^2 - 4 \times 4 \times 1 = 25 - 16 = 9$$

\(\Delta > 0\) donc deux racines :

$$x_1 = \frac{-5 - 3}{8} = -1 \quad ; \quad x_2 = \frac{-5 + 3}{8} = -\frac{1}{4}$$

$$P(x) =4(x + 1)\left(x + \frac{1}{4}\right)$$

$$= (x + 1)(4x + 1)$$

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2) Factoriser :

$$Q(x) = x^2 + 12x + 11$$

$$\Delta = 12^2 - 4 \times 1 \times 11 = 144 - 44 = 100$$

\(\Delta > 0\) donc :

$$x_1 = \frac{-12 - 10}{2} = -11 \quad ; \quad x_2 = \frac{-12 + 10}{2} = -1$$

$$Q(x) = (x + 11)(x + 1)$$

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3) Factoriser :

$$H(x) = x^2 - 5x + 4$$

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9$$

\(\Delta > 0\) donc :

$$x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \quad ; \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

$$H(x) = (x - 1)(x - 4)$$

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4) Factoriser :

$$L(x) = x^2 + 5x - \frac{49}{4}$$

$$\Delta = 5^2 - 4 \times 1 \times \left(-\frac{49}{4}\right) = 25 + 49 = 74$$

\(\Delta > 0\) donc :

$$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{74}}{2} \quad ; \quad x_2 = \frac{-5 + \sqrt{74}}{2}$$

$$L(x) = \left(x - \frac{-5 - \sqrt{74}}{2}\right)\left(x - \frac{-5 + \sqrt{74}}{2}\right)$$

Correction Exercice 4 :

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1) Formation de l’équation :

On sait que :

$$x + y = 5 \quad ; \quad xy = 4$$

Donc \(x\) et \(y\) sont les racines de l’équation :

$$X^2 - S X + P = 0$$

avec \(S = 5\) et \(P = 4\)

$$X^2 - 5X + 4 = 0$$

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2) Détermination de \(x\) et \(y\) :

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9$$

\(\Delta > 0\) donc deux solutions :

$$X_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \quad ; \quad X_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

$$x = 1 \quad ; \quad y = 4$$

(ou inversement)

Correction Exercice 5 :

Pour \(4x^2 - 7x - 1 = 0\) :

$$S = a + b = \frac{7}{4} \quad ; \quad P = ab = -\frac{1}{4}$$

Calculs :

$$a^2 + b^2 = S^2 - 2P = \left(\frac{7}{4}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{49}{16} + \frac{1}{2} = \frac{57}{16}$$

$$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{(ab)^2} = \frac{57/16}{1/16} = 57$$

$$a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2 = \left(\frac{57}{16}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{16}\right) = \frac{3249}{256} - \frac{1}{8} = \frac{3217}{256}$$

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Correction Exercice 6 :

$$2x^2 - 5x + 3 = 0$$

$$S = x_1 + x_2 = \frac{5}{2} \quad ; \quad P = x_1 x_2 = \frac{3}{2}$$

Calculs :

$$x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 2 \times \frac{3}{2} = \frac{25}{4} - 3 = \frac{13}{4}$$

$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{S}{P} = \frac{5/2}{3/2} = \frac{5}{3}$$

$$x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3PS = \left(\frac{5}{2}\right)^3 - 3 \times \frac{3}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{125}{8} - \frac{45}{4} = \frac{35}{8}$$

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Correction Exercice 7 :

$$x^2 - (m+2)x + (m+1) = 0$$

1) Deux racines réelles distinctes :

$$\Delta = (m+2)^2 - 4(m+1)$$

$$\Delta = m^2 + 4m + 4 - 4m - 4 = m^2$$

\(\Delta > 0 \Rightarrow m \neq 0\)

$$\boxed{m \neq 0}$$

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2) Somme des racines = 5 :

$$S = m + 2 = 5 \Rightarrow m = 3$$

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3) Produit des racines = 6 :

$$P = m + 1 = 6 \Rightarrow m = 5$$

Correction Exercice 8 :

$$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - x - 2} = 0$$

Une fraction est nulle si le numérateur est nul et le dénominateur non nul.

$$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$$ $$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$$

Donc \(x=1\) ou \(x=2\), mais \(x \neq 2\) (interdit).

$$S = \{1\}$$

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Correction Exercice 9 :

$$x^2 - 4x + 3 \geq 0$$

$$= (x-1)(x-3) \geq 0$$

Produit positif ou nul ⇒ mêmes signes

$$S = ]-\infty,1] \cup [3,+\infty[$$

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Correction Exercice 10 :

$$S = x+y = 7 \quad ; \quad P = xy = 10$$

$$x^2 + y^2 = S^2 - 2P = 49 - 20 = 29$$

$$x^3 + y^3 = S^3 - 3PS = 343 - 210 = 133$$

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{S}{P} = \frac{7}{10}$$

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Correction Exercice 11 :

$$3x^2 - 7x + 2 = 0$$

$$\Delta = (-7)^2 - 4\times3\times2 = 49 - 24 = 25 > 0$$

Donc deux racines réelles.

$$S = \frac{7}{3} \quad ; \quad P = \frac{2}{3}$$

$$x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = \frac{49}{9} - \frac{4}{3} = \frac{37}{9}$$

$$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{P^2} = \frac{37/9}{4/9} = \frac{37}{4}$$

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Correction Exercice 12 :

1)

$$x + \frac{1}{x} = t$$

$$x^2 + 1 = tx \Rightarrow x^2 - tx + 1 = 0$$

Donc équation du second degré.

2)

$$x + \frac{1}{x} = 3$$

$$x^2 - 3x + 1 = 0$$

$$\Delta = 9 - 4 = 5$$

$$x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \quad ; \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$$

3)

$$S = \left\{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right\}$$

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