Équations et inéquations du second degré

Équations et inéquations du second degré
Équations du second degré ,factorisation

Définition

Forme canonique du a x² + b x + c

Résolution de l 'équation a x² + b x + c = 0 ( a ≠ 0)

factorisation du trinômes a x² +b x +c ( a ≠ 0

Somme et produit des racines (Δ ≥ 0 )

Théorèmes

Inéquation du second degré a une seul inconnue

1) Équations du second degré ,factorisation

Définition :

toutes énoncé de forme a x² +b x + c = 0 ( a ≠ 0) est une équation du second degré à une seul inconnue x et a ; b ; et c sont des nombres réels . La valeur ou les valeurs que peut prendre x pour que l égalité soit vraie est l 'ensemble des racines ou solutions de l 'équation a x² + b x + c = 0 , on le note S

i) Forme canonique du a x² + b x + c

Montrons que $\bg_white ax^{2}+bx + c =a\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \right ]$

$ax^{2} +bx +c = a\left [ x^{2}+ \frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right ]\\ =a\left [ x^{2} +\frac{2b}{2a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}} -\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{4ac}{4a^{2}}\right ]=a\left [ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2} -\frac{b^{2}-ac}{4a^{2}}\right ]$

On pose Δ= b² - 4 a c s ' appelle le discriminant du trinômes a x² + b x + c( d équation a x² + bx +c = 0)

$a\left [ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2} -\frac{b^{2}-ac}{4a^{2}}\right ]=a\left [ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2} -\frac{\Delta}{(2a)^{2}}\right ]$ s’appelle forme canonique du trinômes a x² + b x +c

$\bg_red ax^{2}+bx+c=a\left [ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2} -\frac{\Delta}{(2a)^{2}}\right ]$

ii) Résolution de l 'équation a x² + b x + c = 0 ( a ≠ 0)

on a $ax^{2}+bx+c=a\left [ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2} -\frac{\Delta}{(2a)^{2}}\right ]$ donc

$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow a\left [ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2} -\frac{\Delta}{(2a)^{2}}\right ]=0\\\Leftrightarrow \left [ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2} -\frac{\Delta}{(2a)^{2}}\right ]=0\Leftrightarrow {\color{Red} \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}= \frac{\Delta}{(2a)^{2}}}$

$a\neq 0\\ {\color{Red} \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}= \frac{\Delta}{(2a)^{2}}}\\$

1er Cas :

$\bg_green Si\ \ \Delta=0\ d'o\grave{u}\ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=0\Leftrightarrow x+\frac{b}{2a}=0\Leftrightarrow {\color{Magenta} x_{0}=-\frac{b}{2a}}\\ donc\ l'\acute{e}quation\ admet\ une\ solution\ unique\ dans\ \mathbb{R}: \\ {\color{Red} x_{0}=-\frac{b}{2a} }\ et\ S= \left \{ -\frac{b}{2a} \right \}$

2ème Cas:

$\bg_green Si\ \ \Delta> 0\ d'o\grave{u}\ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\left ( \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right )^{2} \Leftrightarrow \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\left ( \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right )^{2} =0 \\ \Leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right )\left ( x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right )=0\\ \Leftrightarrow \left ( x+(\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}) \right )\left ( x+(\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}) \right )=0\\ \Leftrightarrow {\color{Magenta} x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\ \ \ et\ \ {\color{Magenta} x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\\ donc\ l'\acute{e}quation\ admet\ deux\ solutions\ \ dans\ \mathbb{R}\\ {\color{Red} x_{1}= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\ et\ {\color{Red} x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\ \ et \ \ S=\left \{ \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} ; \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right \}$

3ème Cas:

$\bg_green Si\ \ \Delta< 0 \ d' o\grave{u }\ \ \frac{\Delta}{(2a)^{2}}< 0\\ ceci\ est\ impossible\ car \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}\geq 0\\ donc \ l'\acute{e}quation\ n'admet\ pas\ de\ solution \ dans\ \mathbb{R}\ \ et\ \ S=\emptyset$

A retenir:

Exercices 1

Résoudre dans ℝ:

$\large x^{2}-6x+8=0\ \ ;\ x^{2}+x+1=0\ \ ;\ 9x^{2}+2x+\frac{1}{9}=0\\ -2x^{2}+x+1=0$

voir solution ici

iii) factorisation du trinômes a x² +b x +c ( a ≠ 0)

on a $ax^{2}+bx+c=a\left [ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2} -\frac{\Delta}{(2a)^{2}}\right ]$

$\bg_green Si\ \ \Delta=0\ \ donc\ l'\acute{e}quation\ admet\ une\ solution\ unique\ dans\ \mathbb{R}: \\ {\color{Red} x_{0}=-\frac{b}{2a} }\ d'o\grave{u}\ \ {\color{DarkBlue} ax^{2}+bx+c=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=a(x-x_{0})}$

$\bg_green Si\ \ \Delta> 0\ \\ donc\ l'\acute{e}quation\ admet\ deux\ solutions\ \ dans\ \mathbb{R}\\ {\color{Red} x_{1}= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\ et\ {\color{Red} x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\ \ d'o\grave{u}\ \ {\color{Red} ax^{2}+bx+c=a\left [(x-x_{1})(x-x_{2}) \right ]}$

$\bg_green Si\ \ \Delta< 0\ \\ le\ trin\hat{o}me\ n'admet\ pas\ de\ racine\ dans\ \mathbb{R}\\ donc\ n'est\ pas\ factorisable\ dans\ \mathbb{R}$

Exercice 2

factoriser les polynômes suivants:

$P(x) = 4 x^{2} +5 x + 1\ ; \ \ Q(x) = x^{2} + 12 x + 11\\ H(x) = x^{2} - 5 x + 4 \ ;\ \ L(x)=x^{2} +5x -\frac{49}{4}$

solution ici

2) Somme et produit des racines (Δ ≥ 0 )

Théorème:

si Δ ≥ 0 Le trinôme admet admet deux racines ${\color{Red} x_{1}}\ et\ {\color{Red} x_{2}}$ ou une seule racine donc   ${\color{Red} S= x_{1}+ x_{2}}$ est la somme des racines et   ${\color{Blue} P= x_{1} x_{2}}$ leur produit sont donnés par ${\color{Red} S= -\frac{b}{a}}$ et   ${\color{Blue} P= \frac{c}{a}}$
Démonstration
Δ ≥ 0 donc ${\color{Red} x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\ \ et\ \ {\color{Red} x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}$
${\color{Red} S}=x_{1}+x_{2} =\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+ \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2b}{2a}={\color{Red} -\frac{b}{a}}$
${\color{Blue} P}=x_{1}\times x_{2} =\left (\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right )\times \left (\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right )\\ =\frac{(-b)^{2}-(\sqrt{\Delta})^{2}}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-\Delta}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}= \frac{4ac}{4a^{2}}={\color{Blue} \frac{c}{a}}$
d' ici on peut écrire ${\color{Magenta} ax^{2}+bx+c}=a\left (x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )={\color{Red} a\left ( x^{2}-Sx+P \right )}$
Théorème:
Si ${\color{Red} x_{1}}\ et\ {\color{Red} x_{2}}$ sont deux réels dont la somme est   $\bg_green {\color{Red}S= x_{1}+x_{2}}$ et le produit est $\bg_green {\color{Red}P= x_{1}x_{2}}$ . Alors   ${\color{Red} x_{1}}\ et\ {\color{Red} x_{2}}$ sont les deux solutions de l 'équation du second degré  x² - S x + P = 0
Exemple :
déterminer les nombres réels x et y tel que
S= x + y = 5 et P = x y = 4
cela revient à résoudre
à résoudre le système ${\color{Red} \begin{cases} x+y=S=5\\xy=P=4 \end{cases}}$
${\color{Red} \begin{cases} x+y=S=5\\xy=P=4 \end{cases}}\Leftrightarrow \begin{cases} x+y=5\\xy=4 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} y=5-x\\x(5-x)=4 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} y=5-x\\{\color{Red} x^{2}-5x+4=0}\end{cases}$
donc on résout l équation  x² - S x + P = 0  ⇔  x² - 5 x + 4 = 0
on a Δ= (- S ) ² - 4 P = 25 - 16 = 9
Δ > 0 donc l' équation admet deux solutions distincts ${\color{Red} x}= \frac{S-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-3}{2}=1\ et\ {\color{Red} y} = \frac{S+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$
donc x = 1 et y = 4

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Exercice 3

soient a et b deux racines de l équation 4 x² - 7 x - 1 = 0
1) calculer a et b
2) calculer a + b et a b ensuite
calculer $a^{2}+b^{2}; \\\ \\\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \ \ ; \ \ a^{4}+b^{4}$

exercice 4

1)ecrire la forme canonique des polynômes suivants :
F(x)= - 4 x² +24 x - 28
Q(x) = -3 x² + x + 4
résoudre F(x)= 0 et Q(x) = 0

Exercice 5

Résoudre dans ℝ les systèmes suivants
$\begin{cases}x+y = 8 \\xy=12 \end{cases}\ \ ;\ \ \begin{cases}x^{2}+y^{2} = 98 \\xy=15 \end{cases}$

exercice 6:

vérifier que l 'équation 10 x² - 3 x - 4 = 0 admet deux racines distincts ${\color{Red} x_{1}}\ et\ {\color{Red} x_{2}}$
sans calculer ${\color{Red} x_{1}}\ et\ {\color{Red} x_{2}}$ calculer $\bg_white \frac{1}{{\color{Red} x_{1}}}+\frac{1}{{\color{Red} x_{2}}}$

Exercice 7

Soit le polynôme $P(x)=x-2+ \frac{1}{x+1}\ \ \ ; (x\neq -1)$
montrer que P(x) = 0 admet deux racines distincts dans ℝ
si m et n deux solutions de P(x) = 0 montrer que $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=-1$

SOLUTION

Inéquation du second degré a une seul inconnue