Définition
Forme canonique du a x² + b x + c
Résolution de l 'équation a x² + b x + c = 0 ( a ≠ 0)
factorisation du trinômes a x² +b x +c ( a ≠ 0
Somme et produit des racines (Δ ≥ 0 )
Théorèmes
1) Équations du second degré ,factorisation
Définition :
toutes énoncé de forme a x² +b x + c = 0 ( a ≠ 0) est une équation du second degré à une seul inconnue x et a ; b ; et c sont des nombres réels . La valeur ou les valeurs que peut prendre x pour que l égalité soit vraie est l 'ensemble des racines ou solutions de l 'équation a x² + b x + c = 0 , on le note S
i) Forme canonique du a x² + b x + c
Montrons que ![\bg_white ax^{2}+bx + c =a\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \right ]](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbg_white%20ax%5E%7B2%7D+bx%20+%20c%20%3Da%5Cleft%20%5B%20%5Cleft%20%28%20x+%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7D-4ac%7D%7B4a%5E%7B2%7D%7D%20%5Cright%20%5D)
On pose Δ= b² - 4 a c s ' appelle le discriminant du trinômes a x² + b x + c( d équation a x² + bx +c = 0)
ii) Résolution de l 'équation a x² + b x + c = 0 ( a ≠ 0)
on a
donc
1er Cas :
2ème Cas:
3ème Cas:
A retenir:
Exercices 1
Résoudre dans ℝ:
iii) factorisation du trinômes a x² +b x +c ( a ≠ 0)
on a ![https://mathshas.blogspot.com/2020/01/equations-et-inequations-du-second-degre.html ax^{2}+bx+c=a\left [ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2} -\frac{\Delta}{(2a)^{2}}\right ]](https://latex.codecogs.com/gif.latex?ax%5E%7B2%7D+bx+c%3Da%5Cleft%20%5B%20%5Cleft%20%28x+%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B2%7D%20-%5Cfrac%7B%5CDelta%7D%7B%282a%29%5E%7B2%7D%7D%5Cright%20%5D)
Exercice 2
factoriser les polynômes suivants:
2) Somme et produit des racines (Δ ≥ 0 )
Théorème:
si Δ ≥ 0 Le trinôme admet admet deux racines
ou une seule racine donc
est la somme des racines et
leur produit sont donnés par
et 
Démonstration
Δ ≥ 0 donc


d' ici on peut écrire
Théorème:
Si
sont deux réels dont la somme est
et le produit est
. Alors
sont les deux solutions de l 'équation du second degré x² - S x + P = 0
Exemple :
déterminer les nombres réels x et y tel que
S= x + y = 5 et P = x y = 4
cela revient à résoudre
à résoudre le système

donc on résout l équation x² - S x + P = 0 ⇔ x² - 5 x + 4 = 0
on a Δ= (- S ) ² - 4 P = 25 - 16 = 9
Δ > 0 donc l' équation admet deux solutions distincts
donc x = 1 et y = 4
1) calculer a et b
2) calculer a + b et a b ensuite
calculer
F(x)= - 4 x² +24 x - 28
Q(x) = -3 x² + x + 4
résoudre F(x)= 0 et Q(x) = 0


sans calculer
calculer 

montrer que P(x) = 0 admet deux racines distincts dans ℝ
si m et n deux solutions de P(x) = 0 montrer que
Démonstration
Δ ≥ 0 donc
d' ici on peut écrire
Théorème:
Si
Exemple :
déterminer les nombres réels x et y tel que
S= x + y = 5 et P = x y = 4
cela revient à résoudre
à résoudre le système
donc on résout l équation x² - S x + P = 0 ⇔ x² - 5 x + 4 = 0
on a Δ= (- S ) ² - 4 P = 25 - 16 = 9
Δ > 0 donc l' équation admet deux solutions distincts
donc x = 1 et y = 4
اقرا ايضاApplications exercices
Exercice 3
soient a et b deux racines de l équation 4 x² - 7 x - 1 = 01) calculer a et b
2) calculer a + b et a b ensuite
calculer
exercice 4
1)ecrire la forme canonique des polynômes suivants :F(x)= - 4 x² +24 x - 28
Q(x) = -3 x² + x + 4
résoudre F(x)= 0 et Q(x) = 0
Exercice 5
Résoudre dans ℝ les systèmes suivants
exercice 6:
vérifier que l 'équation 10 x² - 3 x - 4 = 0 admet deux racines distinctssans calculer
Exercice 7
Soit le polynôme montrer que P(x) = 0 admet deux racines distincts dans ℝ
si m et n deux solutions de P(x) = 0 montrer que
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