Équations et inéquations du second degré
1) Équations du second degré – Définition
Toute expression de la forme :
$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$
est appelée une équation du second degré à une inconnue \(x\), où \(a, b, c\) sont des réels. les valeurs que peut prendre x pour que l égalité soit vraie est l 'ensemble des racines ou solutions de l 'équation a x² + b x + c = 0 , on le note\(S\).
i) Forme canonique
On peut écrire :
$$ax^2 + bx + c = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{(2a)^2}\right]$$
$$a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{(2a)^2}\right]$$ s’appelle forme canonique du trinômes a x² + b x +c
où le discriminant est :
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
ii) Résolution de \(ax^2 + bx + c = 0\)
$$ax^2 + bx + c = 0$$
$$\Leftrightarrow a\left[ \left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2}- \frac{\Delta}{(2a)^{2}}\right]=0$$
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=\frac{\Delta}{(2a)^{2}}\) (avec \(a\neq 0)\)
Cas 1 : \(\Delta = 0\)
\(\Delta = 0\) d'où \(\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=0\Rightarrow x=-\frac{b}{2a}\)
Solution unique :
$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$
$$S = \left\{-\frac{b}{2a}\right\}$$
Cas 2 : \(\Delta > 0\)
\(\Delta \gt 0\) d'où\( \left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=\left( \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) ^{2}\)
\(\Leftrightarrow \left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2}-\left( \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) ^{2}=0\)
\(\Leftrightarrow \left(x+\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x+\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=0\)
Deux solutions :
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$S = \left\{\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right\}$$
Cas 3 : \(\Delta < 0\)
\(\Delta < 0\)d'où\(\frac{\Delta}{(2a)^{2}}\lt 0\)
ceci est impossible car \( \left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}\ge 0\)
Pas de solution réelle :
À retenir : Équation du second degré
iii) Factorisation
Si \(\Delta = 0\)
Donc l'équation admet une solution unique dans\(\mathbb{R}\): \(x_{0}=\frac{-b}{2a}\)
\(ax^2 + b x + c = a(x -\) \(x_0\))\(^2\)
Si \(\Delta > 0\)
Donc l'équation admet deux solutions dans \(\mathbb{R}\): \(x_{1}\) et \(x_{1}\)
\(ax^2 + bx + c = a(x -\) \(x_1\))\((x - \)\(x_2\))
Si \(\Delta < 0\)
Donc l'équation n'admet pas de solution dans \(\mathbb{R}\)
Non factorisable dans \(\mathbb{R}\)
2) Somme et produit des racines
Si \(\Delta \geq 0\), alors :
$$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
$$P = x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$
Donc :
$$ax^2 + bx + c = a(x^2 - Sx + P)$$
Théorème
Si deux nombres \(x_1\) et \(x_2\) ont :
$$x_1 + x_2 = S, \quad x_1 x_2 = P$$
Alors ils sont solutions de :
$$x^2 - Sx + P = 0$$
Exemple
Soit :
$$x + y = 5, \quad xy = 4$$
On résout :
$$x^2 - 5x + 4 = 0$$
$$\Delta = 25 - 16 = 9$$
Solutions :
$$x = 1, \quad y = 4$$
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