1) Notion de logique(Introduction 1) variables  2) propositions   3) connecteurs logiques  4) lois logiques)
2) Quantificateurs logiques   

3) Propriétés des quantificateurs   

4) Réciproque et contraposée   

5) Différents types de démonstrations

Introduction:

 La logique mathématique est une science du raisonnement et du jugement (langages) qui ne tient pas compte du contenu. Elle a pour outils (ou éléments de base de la logique) des propositions et des variables.

1. Variables

Une variable est une grandeur dont la valeur peut même être inconnue, mais elle doit appartenir à un ensemble. Sur celle-ci est effectuée une combinaison d'opérations, soit avec des constantes, soit avec d'autres variables. 

Exemples : 1) \(x\in \mathbb{R}\)   x est une variable de \(\mathbb{R}\)   qui devient une constante quand elle prend une valeur donnée (x=4 ou x= a)

2)\(\begin{array}{l}f:E\rightarrow F\\x \rightarrow 2x+1\end{array}\)x est appelée variable de f(x)

2) propositions

*) Une proposition(assertion) est un énoncé pouvant être vrai ou faux ( c'est à dire le sens qu'on peut attribuer à une expression ou à un énoncé) 

On désigne généralement une proposition par une lettre  : p; q; r....

Si la proposition p est vraie est notée par p ≡ V ou 1

Si la proposition p est fausse est notée par :  p ≡ F ou 0

Exemples :

.  1+4 =5   : vraie (V)  

.   17=20 -3: vraie (V)

.  5+2 (n'est pas une proposition)

.\(\left (\forall \ x\in\mathbb{R} \right )\ \ x+2> 3\)énoncé négociable pour la discussion tient :
  Une proposition vraie sur l'intervalle \(]1 ;+\infty[\)   \(\left (x\in \ ]1 ;+\infty[ \right )\)
Une proposition fausse sur l'intervalle    \(]-\infty ;1[\)  
**) Une proposition fonctionnelle est un énoncé mathématique qui a une signification et contient une variable (ou plusieurs variables) appartenant à un ensemble E et devient une proposition Chaque fois que nous remplaçons la variable avec une certaine valeur
Exemple:
déterminer  les valeurs de  la variable x pour lesquelles la proposition fonctionnelle  suivante :\(" (x\in\mathbb{Z}) :\left | x-3 \right |\leq 4 "\) est vraie
On a : \(\left | x-3 \right |\leq 4\ \ \text{donc} \ -4\leq x-3\leq 4 \ \text{alors} \ -1\leq x\leq 7\)  donc pour que la proposition soit vraie   x devrait  prendre les valeurs suivantes:-1;0 ;1;2;3;4;5;6;7
***)  Proposition composée : est une proposition construite à partir de propositions simples reliées par des connecteurs logiques
exemple 1+0 =1 et 3+6 =9 

 pour décrire une proposition  : on  trace sa table de vérité  : la proposition ne peut avoir que deux valeurs  vraie (V)ou fausse(F) et non pas les deux

3) connecteurs logiques

le connecteur est le mot qui marque un rapport de sens entre les propositions ou entre les énoncés.

les connecteurs servent  essentiellement à construire, déduire de nouvelles propositions à partir des propositions de base et les  propositions déjà formées

 exemple:"il fait beau et 5 -4 =1" par la conjonction et  on obtient la proposition composée
a)négation d'une proposition
Une  proposition prenant la valeur de vérité opposée à celle de p est la négation de p . On la note  non p ou ¬p
exemple: p: \(\text{''}1> \sqrt{2}\text{''}\)  sa négation est    :     non p :\(\text{''}1\leq \sqrt{2}\text{''}\)

les valeurs  de vérité de  p et \(\neg\)p et \(\neg\left ( \neg\ p \right )\) sont représentées dans la table de vérité ci-contre

p	¬p	¬(¬p)
V	F	V
F	V	F

la négation de la négation d'une proposition est la proposition elle-même
b)Conjonction de deux propositions:
si on relie deux propositions par le mot "et" on obtient une proposition composée  dite  la conjonction de deux propositions on la note "p et q" ou \(p\ \wedge\ q\)
les valeurs  de vérité de \(p\ \wedge\ q\)   sont représentées dans la table de vérité ci-contre

p	q	p ∧ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

\(p\ \wedge\ q\)est vraie  lorsque les deux propositions sont vraies ,autrement  la conjonction est fausse  si l'une des deux propositions est fausse

exemples :  \(\text{''}\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}\ \text{et} \sqrt{3}> 1\text{''}\) est une proposition vraie 

\(\text{''}\pi \in \mathbb{Q}\ \ \text{et}\ \sqrt{2}> 1\text{''}\) est une proposition fausse

Remarque : le symbole  \(\wedge\) rappelle celui de l'intersection \(\cap\)  qui désigne : si  \(\left (x\in A\cap B \right )\ \text{signifie}\ \text{que}\ \left (x\in A\ \text{et}\ x\in B \right )\)

c)Disjonction de deux propositions:

si on relie deux propositions par le mot "ou" on obtient une proposition composée  dite  la disjonction de deux propositions on la note "p ou q" ou \(p\vee q\)

les valeurs  de vérité de \(p\vee q\)   sont représentées dans la table de vérité ci-contre

p	q	p ∨ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

\(p\vee q\)est vraie si l'une des propositions est vraie autrement dit \(p\vee q\) est fausse si les deux propositions  sont fausses 

exemples:

\(\text{''}\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}\ \text{ou}\ 2= 5\text{''}\)est une proposition vraie

\(\text{''}\forall x\in \mathbb{R}:x^{2}< 0 \ \text{ou}\ 4-1 =5\text{''}\)est une proposition fausse 

remarques:

*) Le « ou » en français n'est pas le « ou » de la logique. Il est parfois inclusif et parfois exclusif

  le « ou » est inclusif  ( l'addition des deux possibilités à la fois) .

Mais dans le langage courant  le « ou »  prend une valeur  exclusive (ambigu)( l'addition des deux possibilités est exclue).

exemple:

On recherche un professeur qui connaisse les mathématiques  ou la physique. Dans cette phrase il suffit que le  professeur recherché  connaisse une seule de ces deux matières ou les deux à la fois.(ici « ou » est inclusif )

dans  un restaurant  on lit "Le menu du jour propose du dessert ou du fromage" dans cette phrase le « ou » est exclusif. Pour  éviter toute ambiguïté on devrait dire :"Le menu du jour propose du dessert ou bien du fromage"  ( autrement : "Le menu du jour propose soit du dessert soit du fromage")

**)  le symbole  \(\vee\) rappelle celui de la réunion \(\cup\)  qui désigne  \(\left (x\in A\cup B \right )\ \text{signifie}\ \text{que} \left (\ x\in A\ \text{ou}\ x\in B \right )\)

d) implication (proposition conditionnelle)

la proposition p\(\Rightarrow\)q se lit "p implique q" ou" si p alors q" est fausse  lorsque l'on a simultanément  la proposition p vraie et la proposition q  fausse , la proposition p\(\Rightarrow\)q est vraie dans tous les autres cas

dans p\(\Rightarrow\)q , p est l'antécédent de l'implication et q le conséquent de l'implication , qui indique une relation logique où le conséquent découle logiquement de l'antécédent 

On peut exprimer "p implique q" par :p\(\Rightarrow\)q = \(\neg\ p \vee q\)

les valeurs  de vérité de p\(\Rightarrow\)q   sont représentées dans la table de vérité ci-contre

p	q	p ⇒ q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Exemples:

e)transitivité de l’implication:

soient p , q et r des propositions mathématiques: si p implique q et q implique r alors p implique r  c'est à dire \(\left (p\Rightarrow q \right )\ \ \text{et} \ \left (q\Rightarrow r \right )\ \ \text{alors}\ \ \left (p\Rightarrow r \right )\)
f)l'équivalence logique(proposition biconditionnelle )
La proposition \(p\Leftrightarrow q\) ou ( p si et seulement si q) ou (p équivalente à q) est vraie lorsque l'on a simultanément p et q vraies ou fausses. La proposition est fausse dans les autres cas
les valeurs  de vérité de \(p\Leftrightarrow q\) sont représentées dans la table de vérité ci-dessous

p	q	p ⇔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

exemples:
Remarque :lorsque p est équivalente à q 
\(p\Rightarrow q\) donc p est une condition suffisante de q ( q est une condition nécessaire de p)
\(q\Rightarrow p\) donc  q est une condition suffisante de p ( p est une condition nécessaire de q)
p est une condition nécessaire et suffisante de q et inversement
donc pour démontrer une équivalence logique \(p\Leftrightarrow q\)  la démonstration se fait en deux étapes :
i) démontrer \(p\Rightarrow q\)
ii) démontrer \(q\Rightarrow p\)

Le tableau ci-dessous  montre que \(p\Leftrightarrow q\) et \(p\Rightarrow q\ \text{et}\ q\Rightarrow p\) ont même table de vérité

4)lois logiques
loi logique est une proposition  composée qui est vraie  quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent

Exemple: "\(p\ \wedge\ q\Rightarrow p\) "pour vérifier que cette proposition est une loi logique  on construit sa table de vérité

p	q	p ∧ q	p ∧ q ⇒ p
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

On remarque que la dernière colonne est formée uniquement de la valeur V 

d'autres propositions composées  dites lois logiques sont les suivantes:\(\begin{array}{l}\neg\left ( \neg p \right )\Leftrightarrow p\\ \neg\left ( p\land\neg p \right )\\ \left (p\vee q \right )\Leftrightarrow \left (q\vee p \right )\\ \left (p\land q \right )\Leftrightarrow\left ( q\land p \right )\\ \left (\neg p\Leftrightarrow \neg q \right )\Leftrightarrow p\Leftrightarrow q\end{array}\)