Polynômes

Définition:

Egalité de deux polynômes :

Somme  de  deux polynômes:

Produit de deux polynômes:

Division euclidienne 

Racine d'un polynôme:

factorisation d'un polynôme

1) Polynômes:

i) Définition:
Un polynômes est une expression  littérale  de la forme  avec   sont les coefficients du polynômes et  est le terme constant 
Le degré du polynôme  P est n  on le note d°P= deg P= n
Exemples:
P(x)=a x+b est un polynôme de degré 1 : d°P= 1
G(x)= a x²+b x +c  est un polynôme de degré 2   d°G= 2
E(x)= 0 est un polynôme nul , le polynôme E n 'a pas de degré
F(x) = c  est un polynôme constant (c ∈  ℕ*)  d°F= 0
ii)Egalité de deux polynômes :
deux polynômes sont égaux s ils  ont même degré  et les coefficient des termes (les coefficient des monômes) qui ont même exposant sont égaux
Exemples:
P(x)=2 x² +3 x +6   et  Q(x) = 2 x² +3 x +6  et  F(x) = 2 x² +3 x 
P(x) = Q(x)  mais P(x) ≠ F(x)
Exercice d'application :
soient  deux polynômes suivants :
déterminons a, b , c et d sachant que G(x) = H(x) 
Puisque  G(x) = H(x) alors 

iii)Somme  de  deux polynômes:

activité:
Soient 
calculons F(x) + Q(x) et F(x) - Q(x)

d°(P+Q)=3= d°Q

d°(P - Q)=3= d°Q
Propriété: 
La somme de deux polynômes P et Q est aussi un polynôme noté P + Q  
d°( P + Q) ≤ sup ( d°P ; d°Q )
iiii)Produit de deux polynômes:
soient :
calculons P(x) × Q(x)=(P×Q)(x)

d°(P ×Q)=5=d°P +d°Q=2+3
Propriété:
Le produit de deux polynômes P et Q est un polynôme noté P × Q
  d°(P ×Q)=d°P +d°Q
Remarque:

2)Division euclidienne 

i)Racine d'un polynôme:
Soit le polynôme :

vérifiant que P(1)=0 et P(-1)=0

on dit que (-1) et 1 sont les racines  de P(x) ou zéro de P(x)

Définition : la racine d'un polynôme P c'est la valeur a qui  annule le polynôme 
a est une racine de P(x) est équivalent  à  P(a)=0
ii)Division euclidienne
Pour l 'Exemple  

puisque P(2) ≠0  donc 2 n 'est pas une racine de P(x)
 

et d°Q=d°P - 1=4 - 1=3
Propriété:
Soit P(x) un polynôme de degré n ( n∈ℕ*) et a ∈ℝ , il existe un polynôme Q(x)  tel que  
P(x)= (x-a)Q(x) +P(a)
Q(x) est le quotient de la division  euclidienne de P  sur (x - a)
Exemple :
est divisible par (x-3) car 3 est une racine de P(x) ( P(3)=0)
Définition :
Soit P(x) un polynôme de degré n , P(x) est divisible par (x -a)(a racine de P(x) ) s il existe un polynôme Q(x) de degré (n-1) tel que P(x)= (x-a)Q(x)
Exercice d'application :
Soit le polynôme :

 En utilisant la division euclidienne 

déterminer  les réels b et c tels  que P(x) = (x²-1)( x² +b x +c)

Pour trouver b et c  effectuant la division de P(x) par (x² - 1)

d' où  et par suite  b=1 et c=2

Propriété
P(x) un polynôme  degré de P supérieur ou égale à 1(d°P ≥ 1), le polynôme est divisible par x-a  si  a est racine de polynôme P(x)
iii)factorisation d'un polynôme
Propriété :
si  a est une racine de polynôme P(x) ,alors  le polynôme P(x) peut être mis sous forme d 'un produit  de facteurs dont l'un est (x-a)
En général si  sont les racines de polynôme P(x) alors P(x) peut se mettre sous la forme   où. Q(x) est un polynôme tel que d°P=(d°Q)+n (n : nombre de racine de P(x) )
Exemple :

vérifiant que 1 ; -2 ; 3 et -1/2 sont les racines de P(x)
On a 

 
le polynôme a quatre racines 1 ; -2 ; 3 et -1/2 ,donc on peut mettre P(x) sous forme :
P(x)= (x-1)(x+2)(x-3)(x+1/2)Q(x) avec d°Q=d°P-4=4-4=0 et  Q(x)=2
Exercice d'application:
Soit 
1)vérifier que P(1) =0
2)Trouver le polynôme Q(x)  tel que 
3) déterminer les racines de Q(x) en déduire les racines de P(x)
4) factoriser P(x)
Solution ICI