1) Polynômes :
i) Définition :
Un polynôme est une expression littérale de la forme :
P(x)=anxn+an−1xn−1+......+a2x2+a1x+a0 avec an;an−1;......;a2;a1;a0 (an≠0) sont les coefficients du polynôme et a0 est le terme constant
Le degré du polynôme P est n on le note d°P=degP=n
Exemples :
P(x)=ax+b est un polynôme de degré 1 : d°P=1
G(x)=ax²+bx+c est un polynôme de degré 2 d°G=2
E(x)=0 est un polynôme nul, le polynôme E n 'a pas de degré
F(x)=c est un polynôme constant (c ∈ ℕ*) d°F=0
ii)Egalité de deux polynômes :
Deux polynômes sont égaux s ils ont même degré et les coefficients des termes (les coefficients des monômes) qui ont même exposant sont égaux
Exemples :
P(x)=2x²+3x+6 et Q(x)=2x²+3x+6etF(x)=2x²+3x
P(x)=Q(x)maisP(x)≠F(x)
Exercice d'application :
Soient deux polynômes suivants :
G(x)=3x4+2x3−7x2+3
H(x)=3x4+(2a+1)x3+(b−3)x2+(2c+3)x+d
Déterminons a,b,c et d sachant que G(x)=H(x)
Puisque G(x)=H(x) alors
{2a+1=2b−3=−72c+3=0d=3}⇔{2a=1b=−42c=−3d=3} donc {a=1/2b=−4c=−3/2d=3}
iii)Somme de deux polynômes :
Soient P(x)=5x2+4x−3 et
Q(x)=−3√5x3+2x2−2x+2
Calculons F(x)+Q(x) et F(x)−Q(x)
P(x)+Q(x)=5x2+4x−3+(−3√5x3+2x2−2x+2)
=−3√5x3+(5+2)x2+(4−2)x−3+2
=−3√5x3+7x2+2x−1=(P+Q)(x)
d°(P+Q)=3=d°Q
P(x)−Q(x)=5x2+4x−3−(−3√5x3+2x2−2x+2)
=3√5x3+(5−2)x2+(4+2)x−3−2 =3√5x3+3x2+6x−5=(P−Q)(x)
d°(P−Q)=3=d°Q
Propriété :
La somme de deux polynômes P et Q est aussi un polynôme noté P+Q
d°(P+Q)≤sup(d°P;d°Q)
iiii) Produit de deux polynômes :
Soient :P(x)=5x2+4x−3
Q(x)=5x3+2x2−2x+2
Calculons P(x)×Q(x)=(P×Q)(x)
P(x)×Q(x)=(5x2+4x−3)×(5x3+2x2−2x+2
=5x2(5x3+2x2−2x+2)+4x(5x3+2x2−2x+2)−3(5x3+2x2−2x+2)
=25x5+10x4−10x3+10x2+20x4+8x3−8x2+8x−15x3−6x2+6x−6
=25x5+30x4−17x3−4x2+14x−6
=(P×Q)(x)
d°(P×Q)=5=d°P+d°Q=2+3
Propriété :
Le produit de deux polynômes P et Q est un polynôme noté P×Q
d°(P×Q)=d°P+d°Q
Remarque :
Si α∈R∗ et P un polynôme alors αP est aussi un polynôme de meme degré que P
2)Division euclidienne
i)Racine d'un polynôme :
Soit le polynôme :P(x)=x4+x3+x2−x−2
Vérifiant que P(1)=0 et P(−1)=0
P(−1)=(−1)4+(−1)3+(−1)2−(−1)−2
=1−1+1+1−2=0
P(1)=(1)4+(1)3+(1)2−(1)−2
=1+1+1−1−2=3−3=0
On dit que (−1) et 1 sont les racines de P(x) ou zéro de P(x)
Définition : la racine d'un polynôme P c'est la valeur a qui annule le polynôme
a est une racine de P(x) est équivalent à P(a)=0
ii)Division euclidienne
Pour l 'Exemple P(x)=x4+x3+x2−x−2
P(2)=24+23+22−2−2
=16+8+4−2−2=24≠0
Puisque P(2)≠0 donc 2 n 'est pas une racine de P(x)
P(x)−P(2)
=x4+x3+x2−x−2−(24+23+22−2−2)
=(x4−24)+(x3−23)+(x2−22)−(x−2)−2+2
=(x4−24)+(x3−23)+(x2−22)−(x−2)
=(x2−22)(x2+22)+(x−2)(x2+2x+22)+(x−2)(x+2)−(x−2)
=(x−2)((x+2)(x2+22)+(x2+2x+22)+(x+2)−1)
=(x−2)(x3+4x+2x2+8+x2+2x+4+x+2−1)
=(x−2)(x3+3x2+7x+13)
P(x)−P(2)=(x−2)(x3+3x2+7x+13)d′oˊu P(x)=(x−2)(x3+3x2+7x+13)−P(2)
P(x)=(x−2)Q(x)−P(2)
avec Q(x)=(x3+3x2+7x+13) et d°Q=d°P−1=4−1=3 et d°Q=d°P−1=4−1=3
Propriété :
Soit P(x) un polynôme de degré n ( n∈ℕ*) et a ∈ℝ , il existe un polynôme Q(x) tel que
P(x)=(x−a)Q(x)+P(a)
Q(x) est le quotient de la division euclidienne de P sur (x−a)
Exemple :
P(x)=x3+x2−5x−21 est divisible par (x−3) car 3 est une racine de (P(x)(P(3)=0)
Définition :
Soit P(x) un polynôme de degré n , P(x) est divisible par (x−a) ( a racine de P(x)) s’il existe un polynôme Q(x) de degré (n−1) tel que P(x)=(x−a)Q(x)
Exercice d'application :
Soit le polynôme : P(x)=x4+x3+x2−x−2
En utilisant la division euclidienne
Déterminer les réels b et c tels que P(x)=(x²−1)(x²+bx+c)
Pour trouver b et c effectuant la division de P(x) par (x²−1)
D’où P(x)=(x2−1) (x2+x+2) et par suite b=1 et c=2
Propriété
P(x) un polynôme degré de P supérieur ou égale à 1(d°P≥1), le polynôme est divisible par x−a si a est racine de polynôme P(x)
iii)factorisation d'un polynôme
Propriété :
si a est une racine de polynôme P(x), alors le polynôme P(x) peut être mis sous forme d 'un produit de facteurs dont l'un est (x−a)
En général si a1;a2;a3;.....;an sont les racines de polynôme P(x) alors P(x) peut se mettre sous la forme P(x)=(x−a1)(x−a2)(x−a3).....(x−an)Q(x) où. Q(x) est un polynôme tel que
d°P=(d°Q)+n (n : nombre de racine de P(x) )
Exemple :
P(x)=2x4−3x3−12x2+7x+6
Vérifiant que 1;−2;3 et −12 sont les racines de P(x)
On aP(1)=2×14−3×13−12×12+7×1+6
=2+7+6−3−12=15−15=0
P(1)=0
P(−2)
=2×(−2)4−3×(−2)3−12×(−2)2+7×(−2)+6
=32+24−48−14+6=56+6−48−14=62−62=0
P(3)=2×(3)4−3×(3)3−12×(3)2+7×(3)+6
=162−81−108+21+6 =189−189=0
P(3)=0
P(−12)=2×(−12)4−3×(−12)3−12×(−12)2+7×(−12)+6
=216+38−124−72+6
=1+3−24−28+488
=52−528=0 P(−12)=0
le polynôme P(x)=2x4−3x3−12x2+7x+6a quatre racines 1;−2;3 et −1/2 ,donc on peut mettre P(x) sous forme :
P(x)=(x−1)(x+2)(x−3)(x+1/2)Q(x)
avec d°Q=d°P−4=4−4=0 et
Q(x)=P(x)(x−1)(x+2)(x−+3)(x+12)
=2x4−3x3−12x2+7x+6x4−3x32−12x22+7x2+3
=2(2x4−3x3−12x2+7x+62x4−3x3−12x2+7x+6)=2Q(x)=2
Exercice d'application :
Soit P(x)=4x4−20x3+29x2−16x+3
1)vérifier que P(1)=0
2)Trouver le polynôme Q(x) tel que P(x)=(x−1)Q(x)
3) déterminer les racines de Q(x) en déduire les racines de P(x)
4) factoriser P(x)
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