1) Polynômes :
i) Définition :
Un polynôme est une expression littérale de la forme :
\(P(x)= a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\) avec \(a_{n};a_{n-1}; ......; a_{2};a_{1};a_{0}\) (\(a_n\neq 0\)) sont les coefficients du polynôme et \(a_{0}\) est le terme constant
Le degré du polynôme \(P\) est \(n\) on le note \(d°P= deg P= n\)
Exemples :
\(P(x)=a x+b\) est un polynôme de degré \(1\) : \(d°P= 1\)
\(G(x)= a x²+b x +c\) est un polynôme de degré \(2\) \(d°G= 2\)
\(E(x)= 0\) est un polynôme nul, le polynôme \(E\) n 'a pas de degré
\(F(x) = c\) est un polynôme constant (\(c\) ∈ ℕ*) \(d°F= 0\)
ii)Egalité de deux polynômes :
Deux polynômes sont égaux s ils ont même degré et les coefficients des termes (les coefficients des monômes) qui ont même exposant sont égaux
Exemples :
\(P(x)=2 x² +3 x +6\) et \(Q(x) = 2 x² +3 x +6 et F(x) = 2 x² +3 x\)
\(P(x) = Q(x) mais P(x) ≠ F(x)\)
Exercice d'application :
Soient deux polynômes suivants :
\(G(x)= 3x^{4}+2x^{3}-7x^{2}+3\)
\(H(x)=3x^{4}+(2a+1)x^{3}+(b-3)x^{2}+(2c+3)x+ d\)
Déterminons \(a, b , c \ et\ d\) sachant que \(G(x) = H(x)\)
Puisque \(G(x) = H(x)\) alors
\(\left\{ \begin{matrix}2a+1=2\\ b-3=-7\\ 2c+3=0\\ d=3 \end{matrix} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a=1\\ b=-4\\ 2c=-3\\ d=3 \end{matrix} \right\}\) donc \( \left\{ \begin{matrix}a=1/2 \\ b=-4\\ c =-3/2\\ d=3 \end{matrix} \right\}\)
iii)Somme de deux polynômes :
Soient \( P(x)=5x^{2}+4x-3\) et
\(Q(x)=-3\sqrt{5}x^{3}+2x^{2}-2x+2\)
Calculons \(F(x) + Q(x) \ et\ F(x) - Q(x)\)
\( P(x)+Q(x)= 5x^{2}+4x-3+(-3\sqrt{5}x^{3}+2x^{2}-2x+2)\)
\( =-3\sqrt{5}x^{3}+(5+2)x^{2}+(4-2)x-3+2\)
\(=-3\sqrt{5}x^{3}+7x^{2}+2x-1=(P+Q)(x)\)
\(d°(P+Q)=3= d°Q\)
\(P(x)-Q(x)= 5x^{2}+4x-3-(-3\sqrt{5}x^{3}+2x^{2}-2x+2)\)
\(=3\sqrt{5}x^{3}+(5-2)x^{2}+(4+2)x-3-2\) \(=3\sqrt{5}x^{3}+3x^{2}+6x-5=(P-Q)(x)\)
\(d°(P - Q)=3= d°Q\)
Propriété :
La somme de deux polynômes P et Q est aussi un polynôme noté \(P + Q\)
\(d°( P + Q) ≤ sup ( d°P ; d°Q )\)
iiii) Produit de deux polynômes :
Soient :\( P(x)=5x^{2}+4x-3\)
\(Q(x)=5x^{3}+2x^{2}-2x+2\)
Calculons \(P(x) × Q(x)=(P×Q)(x)\)
\(P(x)\times Q(x)=(5x^{2}+4x-3)\times( 5x^{3}+2x^{2}-2x+2\)
\(=5x^{2}(5x^{3}+2x^{2}-2x+2)+4x(5x^{3}+2x^{2}-2x+2)-3(5x^{3}+2x^{2}-2x+2)\)
\(=25x^{5}+10x^{4}-10x^{3}+10x^{2}+20x^{4}+8x^{3}-8x^{2}+8x-15x^{3}-6x^{2}+6x-6\)
\(=25x^{5}+30x^{4}-17x^{3}-4x^{2}+14x-6\)
\(=(P\times Q)(x)\)
\(d°(P ×Q)=5=d°P +d°Q=2+3\)
Propriété :
Le produit de deux polynômes \(P\) et \(Q\) est un polynôme noté \(P × Q\)
\(d°(P ×Q)=d°P +d°Q\)
Remarque :
Si \(\alpha \in \mathbb{R^{*}}\) et \(P\) un polynôme alors \(\alpha P\) est aussi un polynôme de meme degré que \(P\)
2)Division euclidienne
i)Racine d'un polynôme :
Soit le polynôme :\(P(x)=x ^ {4} +x^ {3} +x^ {2} -x-2\)
Vérifiant que \(P (1) =0\) et \(P (-1) =0\)
\(P (-1) = (-1) ^ {4} +(-1) ^ {3} +(-1) ^ {2} -(-1) -2\)
\(=1-1+1+1-2=0\)
\(P (1) = (1) ^ {4} +(1) ^ {3} +(1) ^ {2}-(1) -2\)
\(=1+1+1-1-2=3-3=0\)
On dit que \((-1)\) et \(1\) sont les racines de \(P(x)\) ou zéro de \(P(x)\)
Définition : la racine d'un polynôme \(P\) c'est la valeur a qui annule le polynôme
\(a\) est une racine de \(P(x)\) est équivalent à \(P(a)=0\)
ii)Division euclidienne
Pour l 'Exemple \(P(x)=x ^ {4} +x^ {3} +x^ {2} -x-2\)
\(P (2) =2 ^ {4} +2^ {3} +2^ {2} -2-2\)
\(=16+8+4-2-2=24\neq 0\)
Puisque \(P (2) ≠0\) donc \(2\) n 'est pas une racine de \(P(x)\)
\(P(x)-P(2)\)
\(=x^{4}+x^{3}+x^{2}-x-2 -(2^{4}+2^{3}+2^{2}-2-2 )\)
\( =(x^{4}-2^{4})+(x^{3}-2^{3})+(x^{2}-2^{2})-(x-2)-2+2\)
\( = (x^{4}-2^{4})+(x^{3}-2^{3})+(x^{2}-2^{2})-(x-2)\)
\(=(x^{2}-2^{2})(x^{2}+2^{2})+(x-2)(x^{2}+2x+2^{2})+(x-2)(x+2)-(x-2)\)
\( =(x-2)\left ((x+2)(x^{2}+2^{2})+(x^{2}+2x+2^{2})+(x+2)-1 \right )\)
\( =(x-2)\left ( x^{3}+4x+2x^{2}+8+x^{2}+2x+4+x+2-1 \right )\)
\(=(x-2)(x^{3}+3x^{2}+7x+13)\)
\(P(x)-P(2)=(x-2)(x^{3}+3x^{2}+7x+13)\\ d' o\grave{u}\ P(x)=(x-2)(x^{3}+3x^{2}+7x+13)-P(2)\)
\(P(x)=(x-2)Q(x)-P(2)\)
avec \(Q(x)= (x^{3}+3x^{2}+7x+13)\) et \(d°Q=d°P - 1=4 - 1=3\) et \(d°Q=d°P - 1=4 - 1=3\)
Propriété :
Soit P(x) un polynôme de degré \(n\) ( \(n\)∈ℕ*) et \(a\) ∈ℝ , il existe un polynôme \(Q(x)\) tel que
\(P(x)= (x-a) Q(x) +P(a)\)
\(Q(x)\) est le quotient de la division euclidienne de \(P\) sur \((x - a)\)
Exemple :
\(P(x)=x^ {3} +x^ {2} -5x-21\) est divisible par \((x-3)\) car \(3\) est une racine de \((P(x) (P (3) =0)\)
Définition :
Soit \(P(x)\) un polynôme de degré \(n\) , \(P(x)\) est divisible par \((x -a)\) ( \(a\) racine de \(P(x) )\) s’il existe un polynôme \(Q(x)\) de degré \((n-1)\) tel que \(P(x)= (x-a)Q(x)\)
Exercice d'application :
Soit le polynôme : \(P(x)=x ^ {4} +x^ {3} +x^ {2} -x-2\)
En utilisant la division euclidienne
Déterminer les réels b et c tels que \(P(x) = (x²-1) (x² +b x +c) \)
Pour trouver \(b\) et \(c\) effectuant la division de \(P(x)\) par \((x² - 1)\)
D’où \(P(x)\)=\((x^{2}-1)\) \((x^{2}+x+2 )\) et par suite \(b=1 \ et\ c=2\)
Propriété
\(P(x)\) un polynôme degré de \(P\) supérieur ou égale à \(1\)(\(d°P ≥ 1\)), le polynôme est divisible par \(x-a\) si \(a\) est racine de polynôme \(P(x)\)
iii)factorisation d'un polynôme
Propriété :
si \(a\) est une racine de polynôme \(P(x)\), alors le polynôme \(P(x)\) peut être mis sous forme d 'un produit de facteurs dont l'un est \((x-a)\)
En général si \(a_{1};a_{2};a_{3};.....;a_{n}\) sont les racines de polynôme \(P(x)\) alors \(P(x)\) peut se mettre sous la forme \(P(x)= (x-{\color{Red} a_{1}})(x-{\color{Red} a_{2}})(x-{\color{Red} a_{3}}).....(x-{\color{Red} a_{n}})Q(x)\) où. \(Q(x)\) est un polynôme tel que
\(d°P=(d°Q)+n\) (\(n\) : nombre de racine de \(P(x)\) )
Exemple :
\(P(x)= 2x^{4}-3x^{3}-12x^{2}+7x+6\)
Vérifiant que \(1 ; -2 ; 3 \ et\ \frac{-1}{2}\) sont les racines de \(P(x)\)
On a\(P(1)= 2\times 1^{4}-3\times 1^{3}-12\times 1^{2}+7\times 1+6\)
\(=2+7+6-3-12=15-15=0\)
\(P(1)=0\)
\(P(-2)\)
\(= 2\times (-2)^{4}-3\times (-2)^{3}-12\times (-2)^{2}+7\times (-2)+6\)
\(=32+24-48-14+6\\ =56+6-48-14=62-62=0\)
\(P(3)= 2\times (3)^{4}-3\times (3)^{3}-12\times (3)^{2}+7\times (3)+6\)
\(=162-81-108+21+6\) \(=189-189=0\)
\(P(3)=0\)
\(P(\frac{-1}{2})= 2\times \left (\frac{-1}{2} \right )^{4}-3\times \left (\frac{-1}{2} \right )^{3}-12\times \left (\frac{-1}{2} \right )^{2}+7\times \left ( \frac{-1}{2} \right )+6\)
\(=\frac{2}{16}+\frac{3}{8}-\frac{12}{4}-\frac{7}{2}+6\)
\(=\frac{1+3-24-28+48}{8}\)
\(=\frac{52-52}{8}=0\) \(P(\frac{-1}{2})=0\)
le polynôme \(P(x)= 2x^{4}-3x^{3}-12x^{2}+7x+6a\) quatre racines \(1 ; -2 ; 3 \ et\ -1/2\) ,donc on peut mettre \(P(x)\) sous forme :
\(P(x)= (x-1)(x+2)(x-3)(x+1/2)Q(x)\)
avec \(d°Q=d°P-4=4-4=0\) et
\(Q(x)=\frac{P(x)}{(x-1)(x+2)(x-+3)(x+\frac{1}{2})}\)
\(=\frac{2x^{4}-3x^{3}-12x^{2}+7x+6}{x^{4}-\frac{3x^{3}}{2}-\frac{12x^{2}}{2}+\frac{7x}{2}+3}\)
\(= 2\left (\frac{2x^{4}-3x^{3}-12x^{2}+7x+6}{2x^{4}-3x^{3}-12x^{2}+7x+6} \right )=2 Q(x)=2\)
Exercice d'application :
Soit \(P(x)=4x^4-20x^3+29x^2-16x+3\)
1)vérifier que \(P(1) =0\)
2)Trouver le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\)
3) déterminer les racines de Q(x) en déduire les racines de \(P(x)\)
4) factoriser \(P(x)\)
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