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Définition :
Egalité de deux polynômes :
Somme de deux polynômes :
Produit de deux polynômes :
Division euclidienne 
Racine d'un polynôme :
Factorisation d'un polynôme
1) Polynômes :

1) Polynômes :



i) Définition :

Un polynôme est une expression littérale de la forme :

 P(x)=anxn+an1xn1+......+a2x2+a1x+a0 avec an;an1;......;a2;a1;a0 (an0) sont les coefficients du polynôme et a0 est le terme constant

Le degré du polynôme P est n on le note d°P=degP=n

 

Exemples :

P(x)=ax+b est un polynôme de degré 1 : d°P=1

G(x)=ax²+bx+c est un polynôme de degré 2   d°G=2

E(x)=0 est un polynôme nul, le polynôme E n 'a pas de degré

F(x)=c   est un polynôme constant (c ∈ ℕ*) d°F=0

 

ii)Egalité de deux polynômes :

Deux polynômes sont égaux s ils ont même degré et les coefficients des termes (les coefficients des monômes) qui ont même exposant sont égaux

 

Exemples :

P(x)=2x²+3x+6   et Q(x)=2x²+3x+6etF(x)=2x²+3x

P(x)=Q(x)maisP(x)F(x)

 

Exercice d'application :

Soient deux polynômes suivants :

G(x)=3x4+2x37x2+3

 H(x)=3x4+(2a+1)x3+(b3)x2+(2c+3)x+d

Déterminons a,b,c et d sachant que G(x)=H(x) 

Puisque G(x)=H(x) alors

{2a+1=2b3=72c+3=0d=3}{2a=1b=42c=3d=3}  donc {a=1/2b=4c=3/2d=3}

 

iii)Somme de deux polynômes :

 

Soient P(x)=5x2+4x3 et

Q(x)=35x3+2x22x+2

Calculons F(x)+Q(x) et F(x)Q(x)

P(x)+Q(x)=5x2+4x3+(35x3+2x22x+2)

=35x3+(5+2)x2+(42)x3+2

=35x3+7x2+2x1=(P+Q)(x)

d°(P+Q)=3=d°Q

P(x)Q(x)=5x2+4x3(35x3+2x22x+2)

 =35x3+(52)x2+(4+2)x32 =35x3+3x2+6x5=(PQ)(x)

d°(PQ)=3=d°Q


Propriété : 

La somme de deux polynômes P et Q est aussi un polynôme noté P+Q  

d°(P+Q)sup(d°P;d°Q)

 

iiii) Produit de deux polynômes :

 

Soient :P(x)=5x2+4x3

Q(x)=5x3+2x22x+2

Calculons P(x)×Q(x)=(P×Q)(x)

P(x)×Q(x)=(5x2+4x3)×(5x3+2x22x+2

 =5x2(5x3+2x22x+2)+4x(5x3+2x22x+2)3(5x3+2x22x+2)

 =25x5+10x410x3+10x2+20x4+8x38x2+8x15x36x2+6x6

=25x5+30x417x34x2+14x6

=(P×Q)(x)

d°(P×Q)=5=d°P+d°Q=2+3

 

Propriété :

Le produit de deux polynômes P et Q est un polynôme noté P×Q

  d°(P×Q)=d°P+d°Q

Remarque :

Si αR et P un polynôme alors αP est aussi un polynôme de meme degré que P

 

2)Division euclidienne

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i)Racine d'un polynôme :

Soit le polynôme :P(x)=x4+x3+x2x2

Vérifiant que P(1)=0   et  P(1)=0

P(1)=(1)4+(1)3+(1)2(1)2

=11+1+12=0

P(1)=(1)4+(1)3+(1)2(1)2

=1+1+112=33=0

On dit que (1) et 1 sont les racines de P(x) ou zéro de P(x)

Définition : la racine d'un polynôme P c'est la valeur a qui annule le polynôme

a est une racine de P(x) est équivalent à P(a)=0

 

ii)Division euclidienne

Pour l 'Exemple P(x)=x4+x3+x2x2

P(2)=24+23+2222

        =16+8+422=240

Puisque P(2)0 donc 2 n 'est pas une racine de P(x)

P(x)P(2)

=x4+x3+x2x2(24+23+2222)

=(x424)+(x323)+(x222)(x2)2+2

=(x424)+(x323)+(x222)(x2)

 =(x222)(x2+22)+(x2)(x2+2x+22)+(x2)(x+2)(x2)

=(x2)((x+2)(x2+22)+(x2+2x+22)+(x+2)1)

=(x2)(x3+4x+2x2+8+x2+2x+4+x+21)

 =(x2)(x3+3x2+7x+13)

P(x)P(2)=(x2)(x3+3x2+7x+13)doˊu P(x)=(x2)(x3+3x2+7x+13)P(2)

P(x)=(x2)Q(x)P(2) 

avec Q(x)=(x3+3x2+7x+13) et d°Q=d°P1=41=3 et d°Q=d°P1=41=3

 

Propriété :

Soit P(x) un polynôme de degré n ( n∈ℕ*) et a ∈ℝ , il existe un polynôme Q(x)  tel que 

P(x)=(xa)Q(x)+P(a)

Q(x) est le quotient de la division euclidienne de P sur (xa)

Exemple :

P(x)=x3+x25x21 est divisible par (x3) car 3 est une racine de (P(x)(P(3)=0)

 

Définition :

Soit P(x) un polynôme de degré n , P(x) est divisible par (xa) ( a racine de P(x)) s’il existe un polynôme Q(x) de degré (n1) tel que P(x)=(xa)Q(x)

 

Exercice d'application :

Soit le polynôme : P(x)=x4+x3+x2x2

 En utilisant la division euclidienne

Déterminer les réels b et c tels que P(x)=(x²1)(x²+bx+c)

Pour trouver b et c effectuant la division de P(x) par (x²1)


D’où     P(x)=(x21) (x2+x+2) et par suite b=1 et c=2

 

 

Propriété


P(x) un polynôme degré de P supérieur ou égale à 1(d°P1), le polynôme est divisible par xa  si  a est racine de polynôme P(x)

 

iii)factorisation d'un polynôme

 

Propriété :

si a est une racine de polynôme P(x), alors le polynôme P(x) peut être mis sous forme d 'un produit de facteurs dont l'un est (xa)

En général si  a1;a2;a3;.....;an sont les racines de polynôme P(x) alors P(x) peut se mettre sous la forme P(x)=(xa1)(xa2)(xa3).....(xan)Q(x)  où. Q(x) est un polynôme tel que

 d°P=(d°Q)+n (n : nombre de racine de P(x) )

Exemple :

P(x)=2x43x312x2+7x+6

Vérifiant que 1;2;3 et 12 sont les racines de P(x)

On aP(1)=2×143×1312×12+7×1+6

 

 

=2+7+6312=1515=0

 

P(1)=0

 

P(2)

=2×(2)43×(2)312×(2)2+7×(2)+6

 

 =32+244814+6=56+64814=6262=0

 

P(3)=2×(3)43×(3)312×(3)2+7×(3)+6

 

 =16281108+21+6 =189189=0 

 

 P(3)=0  

 P(12)=2×(12)43×(12)312×(12)2+7×(12)+6

 

 =216+3812472+6

 

=1+32428+488

 

 =52528=0 P(12)=0

 

le polynôme P(x)=2x43x312x2+7x+6a quatre racines 1;2;3 et 1/2 ,donc on peut mettre P(x) sous forme :

 

P(x)=(x1)(x+2)(x3)(x+1/2)Q(x) 

 

avec d°Q=d°P4=44=0 et 

 Q(x)=P(x)(x1)(x+2)(x+3)(x+12)

 

=2x43x312x2+7x+6x43x3212x22+7x2+3

 

=2(2x43x312x2+7x+62x43x312x2+7x+6)=2Q(x)=2

 

 

 

Exercice d'application :

Soit P(x)=4x420x3+29x216x+3

1)vérifier que P(1)=0

2)Trouver le polynôme Q(x) tel que P(x)=(x1)Q(x)

3) déterminer les racines de Q(x) en déduire les racines de P(x)

4) factoriser P(x)


Solution ICI

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