1)Notion de logique(Introduction 1) variables  2) proposition   3) connecteurs logique  4)lois logiques)
2)Quantificateurs logiques   

3)Propriétés des quantificateurs   

4)réciproque et contraposée   

5Différents types de démonstrations

1) L'ordre des quantificateurs

L'ordre d'écriture des quantificateurs est important  pour le sens d'une phrase formelle .

Quand deux quantificateurs existentiels se suivent  on peut modifier l'ordre sans modifier le sens de la phrase .

Quand deux quantificateurs universels se suivent on peut les échanger sans changer le sens de la phrase formelle

modifier  l'ordre des quantificateurs différents change le sens de la phrase formelle 

Exemple :

 (∀ x ∈ ℝ),(∃ y ∈ ℝ) :y > x

 "quel que soit le réel x, il existe au moins un réel y tel que y soit  supérieur à x"  est une proposition vraie car l'ensemble ℝ n 'est pas borné et on peut trouver un nombre supérieur à un nombre réel donné 

maintenant modifiant l'ordre des quantificateurs:  (∃ x ∈ ℝ),(∀ y ∈ ℝ) : y > x

"i existe au moins un réel x tel que tout réel y ,y soit supérieur à x"   Proposition fausse car  l'ensemble ℝ n'a pas de borne inférieur  et on peut pas trouver un réel inférieur à tous les autres réels

2) Négation d'une proposition avec  quantificateurs:
si on a une proposition "p" , "(non p)" c'est le contraire  de" p" ( sa négation) qui  signifié  si "p" est vraie  , "(non p)" est fausse et inversement 
i)Négation d 'une proposition universel
L'énoncé d 'une proposition universel est : "Pour tout élément x d'un ensemble E, x confirme   la proposition" (∀ x ∈ E , p(x) ) . Sa négation  sera : "il  existe  au moins un élément x de l'ensemble E qui  ne confirme pas la proposition "  ( ∃ x ∈ E , non(p(x)) 
autrement dit :( non( ∀ x ∈ E , p(x))) ⇔ (( ∃ x ∈ E , non(p(x))
Remarque :
 "non (p ⇔ q)" différent de "non p ⇔ q"
pour démontrer  une proposition universel  n'est pas vraie pour toutes les valeurs de x  il suffit de trouver  une seul  valeur de x qui ne vérifié  la proposition c 'est à dire trouver un contre exemple
ii) Négation d'une proposition existentielle
L'énoncé d' une proposition existentielle est : " il existe au moins un élément x de l'ensemble E  qui confirme la proposition " (∃x ∈ E , p(x) ) .Sa négation  sera ''Pour tout élément x de l'ensemble E , x ne confirme pas la proposition"  (∀ x ∈ E , non p(x) ) 
Exemple :
p: (∃ x ∈ ℝ ,  x² =  - 4) proposition  fausse car  x au carré ne peut  être négatif
sa négation :  non p : non(∃ x ∈ ℝ ,  x² =  - 4) ⇔  (∀ x ∈ ℝ ,  x² ≠ - 4)  proposition vraie
 (∀ x ∈ ℝ ,  x²  ≥  0) proposition vraie. Sa négation (∃ x ∈ ℝ ,  x² < 0) proposition fausse 
iii) Négation d'une proposition comportant plusieurs quantificateurs :
La négation d'une proposition comportant plusieurs quantificateurs conserve  l'ordre d 'écriture, on remplace les ∀  par ∃ et les ∃ par ∀ ensuite on remplace  la proposition "p" par sa négation "non p"
Exemple :
(∃ x ∈ ℝ)(∃ y ∈ ℝ+): x² = y    proposition vraie  sa négation est : 
(∀  x ∈ ℝ)(∀ y ∈ ℝ+): x²≠ y  proposition fausse