Racine carrée

Les racines carrées – Cours complet de mathématiques

Niveau : 3e année du collège

Dans ce cours, nous allons apprendre à calculer des racines carrées, à utiliser leurs propriétés, à simplifier des expressions et à résoudre des équations. Des exemples détaillés et des exercices corrigés vous permettront de comprendre chaque méthode.

Sommaire

1. Définition et conditions d’existence
2. Propriétés fondamentales
3. Résolution de l’équation x² = a
4. Somme et différence de racines carrées
5. Produit et simplification des racines carrées
6. Quotient de racines carrées
7. Suppression de la racine carrée au dénominateur
8. Calcul d’expressions contenant des racines carrées
9. Exercices d’application corrigés
10. Exercices de synthèse

1. Définition et conditions d’existence

1.1. Définition

La racine carrée d’un nombre positif ou nul a est l’unique nombre positif ou nul dont le carré est égal à a. Elle se note √a 

√a = b si et seulement si b ≥ 0 et b² = √a  .√a = a

Cette définition s’applique lorsque a ≥ 0.

Exemples :
√4 = 2 car 2² = 4.
√9 = 3 car 3² = 9.
√0 = 0 car 0² = 0.

1.2. Conditions d’existence

Dans l’ensemble des nombres réels, √a est définie uniquement lorsque a ≥ 0.

Expression	Résultat
√25	5
√0	0
√(-4)	Non définie dans ℝ

Attention : la racine carrée d’un nombre strictement négatif n’existe pas dans les nombres réels.

1.3. Carrés parfaits

Un carré parfait est le carré d’un entier naturel. Exemples : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.

√16 = 4 ; √36 = 6 ; √81 = 9

2. Propriétés fondamentales

2.1. Le carré d’une racine carrée

Pour tout nombre réel a ≥ 0 :

(√a)² = a

(√5)² = 5
(√12)² = 12
(√100)² = 100

2.2. La racine carrée du carré d’un nombre

Pour tout nombre réel a :

√(a²) = |a|

Si a ≥ 0, alors √(a²) = a. Si a < 0, alors √(a²) = -a.

√(7²) = 7.
√((-7)²) = √49 = 7 = |-7|.

Erreur à éviter : √(a²) n’est pas toujours égal à a. Dans le cas général, on écrit √(a²) = |a|.

3. Résolution de l’équation x² = a

3.1. Cas où a > 0

L’équation x² = a admet deux solutions opposées :

x = √a ou x = -√a

Résoudre x² = 25.
x = 5 ou x = -5.
S = {-5 ; 5}.

3.2. Cas où a = 0

x² = 0 ⇔ x = 0

L’équation admet une seule solution : S = {0}.

3.3. Cas où a < 0

Un carré est toujours positif ou nul. L’équation x² = a n’a donc aucune solution réelle lorsque a < 0.

Exemple : x² = -9 n’a pas de solution dans ℝ.

3.4. Exemple de résolution

Résoudre x² - 16 = 0.

x² - 16 = 0
⇔ x² = 16
⇔ x = 4 ou x = -4.
S = {-4 ; 4}.

4. Somme et différence de racines carrées

4.1. Somme

En général, la somme de deux racines carrées n’est pas égale à la racine carrée de la somme.

√a + √b ≠ √(a + b), en général

Pour a = 9 et b = 16 :
√9 + √16 = 3 + 4 = 7.
√(9 + 16) = √25 = 5.
Donc √9 + √16 ≠ √25.

4.2. Différence

En général :

√a - √b ≠ √(a - b)

Pour a = 9 et b = 4 :
√9 - √4 = 3 - 2 = 1.
√(9 - 4) = √5.
Ces deux résultats sont différents.

4.3. Réduction des racines carrées semblables

Lorsque les racines sont identiques, on peut additionner ou soustraire leurs coefficients.

m√a + n√a = (m + n)√a

3√2 + 5√2 = 8√2.
7√3 - 2√3 = 5√3.

On peut simplifier les racines avant de regrouper les termes.

√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3.

À retenir : 2√3 + 4√5 ne peut pas être réduit en un seul terme de cette manière.

5. Produit et simplification des racines carrées

5.1. Produit de deux racines carrées

Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 :

√a × √b = √(ab)

√5 × √3 = √15.
√12 × √3 = √36 = 6.

5.2. Simplifier une racine carrée

On cherche à écrire le nombre sous le radical comme le produit d’un carré parfait et d’un autre nombre.

√(k² × b) = k√b, pour k ≥ 0 et b ≥ 0

Exemple 1 :
√80 = √(16 × 5) = 4√5.

Exemple 2 :
√72 = √(36 × 2) = 6√2.

Exemple 3 :
√48 = √(16 × 3) = 4√3.

5.3. Propriété utile

Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 :

√(a²b) = a√b

Exemple : √(25 × 7) = 5√7.

6. Quotient de racines carrées

Pour a ≥ 0 et b > 0 :

√a / √b = √(a / b)

Le dénominateur doit être strictement positif.

Exemple 1 :
√5 / √25 = √(5/25) = √(1/5) = √5/5.

Exemple 2 :
√48 / √3 = √16 = 4.

7. Suppression de la racine carrée au dénominateur

7.1. Dénominateur constitué d’une racine carrée

Pour a > 0 :

1 / √a = √a / a

On multiplie le numérateur et le dénominateur par √a.

Exemple 1 :
3/√7 = (3√7)/(√7 × √7) = 3√7/7.

Exemple 2 :
(2 + √3)/(3√5)
= ((2 + √3)√5)/15
= (2√5 + √15)/15.

7.2. Utilisation du conjugué

Le conjugué de √a - √b est √a + √b.

(√a - √b)(√a + √b) = a - b

Pour a, b ≥ 0 et a ≠ b :

1/(√a - √b) = (√a + √b)/(a - b)

Exemple 1 :
3/(√5 - 1)
= 3(√5 + 1)/(5 - 1)
= (3√5 + 3)/4.

Exemple 2 :
4/(2 + √2)
= 4(2 - √2)/(4 - 2)
= (8 - 4√2)/2
= 4 - 2√2.

Attention : vérifiez toujours que le dénominateur n’est pas nul.

8. Calcul d’expressions contenant des racines carrées

Respectez les priorités opératoires : parenthèses, puissances et racines, multiplications et divisions, puis additions et soustractions.

Exemple 1 :
A = √12 × √3 + √25
A = √36 + 5 = 6 + 5.
A = 11.

Exemple 2 :
B = 2√12 - √27
B = 4√3 - 3√3.
B = √3.

Exemple 3 :
C = (√18 × √2)/3
C = √36/3 = 6/3.
C = 2.

9. Exercices d’application corrigés

Exercice 1 : Calcul de racines carrées

Calculer √49, √121 et √0.

Correction : √49 = 7 ; √121 = 11 ; √0 = 0.

Exercice 2 : Simplification

Simplifier √20, √45 et √108.

Correction :

• √20 = 2√5.
• √45 = 3√5.
• √108 = 6√3.

Exercice 3 : Produit et quotient

Calculer √8 × √2, √75/√3 et √6 × √24.

Correction :

• √8 × √2 = √16 = 4.
• √75/√3 = √25 = 5.
• √6 × √24 = √144 = 12.

Exercice 4 : Réduction

Simplifier 4√2 + 3√2, 9√5 - 2√5 et √12 + √27.

Correction :

• 4√2 + 3√2 = 7√2.
• 9√5 - 2√5 = 7√5.
• √12 + √27 = 5√3.

Exercice 5 : Équations

Résoudre dans ℝ : x² = 36, x² = 0 et x² = -16.

Correction :

• x² = 36 : S = {-6 ; 6}.
• x² = 0 : S = {0}.
• x² = -16 : S = ∅.

Exercice 6 : Rationalisation

Supprimer les racines au dénominateur de 1/√3, 5/√2 et 2/(√3 + 1).

Correction :

• 1/√3 = √3/3.
• 5/√2 = 5√2/2.
• 2/(√3 + 1) = √3 - 1.

10. Exercices de synthèse

Exercice A

Simplifier :

1. A = √50 + √8
2. B = 3√12 - √27
3. C = √5 × √20 - √9

Exercice B

Résoudre dans ℝ :

1. x² - 49 = 0
2. 2x² = 18
3. x² + 4 = 0

Exercice C

Rationaliser :

1. D = 4/√5
2. E = 3/(√7 - 2)

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Exercice A :

1. A = 7√2.
2. B = 3√3.
3. C = 7.

Exercice B :

1. S = {-7 ; 7}.
2. S = {-3 ; 3}.
3. S = ∅.

Exercice C :

1. D = 4√5/5.
2. E = √7 + 2.

À retenir

• √a existe dans ℝ si a ≥ 0.
• (√a)² = a pour a ≥ 0.
• √(a²) = |a| pour tout réel a.
• √a × √b = √(ab) pour a, b ≥ 0.
• √a/√b = √(a/b) pour a ≥ 0 et b > 0.
• En général, √a + √b ≠ √(a + b).
• Pour résoudre x² = a, distinguez les cas a > 0, a = 0 et a < 0.
• Pour rationaliser un dénominateur, utilisez une racine carrée ou le conjugué approprié.

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Cours rédigé avec des explications et des exemples originaux pour l’apprentissage des racines carrées au collège.