Racine carrée

Exemple:

$\sqrt{4}$ représente le nombre positif qui a pour carré 4: ce nombre est   $\sqrt{4}=2$
$\sqrt{9}$ représente le nombre positif qui a pour carré 9: ce nombre est $\sqrt{9}=3$ 

La définition est :
la racine carré d'un nombre a est un nombre dont le carré vaut a :
${\color{Red} r=\sqrt{a}}$

${\color{Green} \sqrt{a}\ est \ not\acute{e}\ aussi\ \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}}$

Propriété:
Quel que soit a nombre réel positif ${\color{Red} \left ( \sqrt{a} \right )^{2}=\sqrt{a}^{2}=a}$

Exemple:
$\left ( \sqrt{5} \right ) \right )^{2}=\sqrt{5}^{2}=5\ \ \ \ \ \ \\(\sqrt{3}) ^{2} \right=\sqrt{3}^{2} =3$

Opérations sur les racines carrées:

Somme et différences de racines carrées:
Exemples :
1) calculons : $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ et\ \ \sqrt{a+b}\ \ tel\ que\ a=9\ \ \ et\ b=16$
on a : $\sqrt{a}\ +\sqrt{b}=\sqrt{9}\ +\sqrt{16}=3+4=7\ \ et\ \sqrt{a+b}\ =\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
On remarque que : $\sqrt{a}\ +\sqrt{b}\neq \sqrt{a+b}$
2) calculons : $\sqrt{a^{2}+b^{2}}\ et\ a+b \ sachant \ que \ a=1\ et\ b=3$
on a: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\ \ \ \ et\ \ a+b=1+3=4$
on remarque aussi que : $\sqrt{a^{2}+b^{2}}\neq a+b$

3) calculons : $\sqrt{a}-\sqrt{b}\ \ et\ \sqrt{a-b}\ \ avec \ a=9\ et\ b=4$
on a:   $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1\ \ et \ \ \sqrt{a-b}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$

ce qui montre que : $\sqrt{a}-\sqrt{b}\neq \sqrt{a-b}$

4) calculons: $\sqrt{a^{2}-b^{2}}\ \ et\ a-b\ sachant\ que \ a=9\ et\ b=4$
on a : $\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{9^{2}-4^{2}}=\sqrt{81-16}=\sqrt{65}\ \ et\ a-b=9-4=5$
montre que : $\sqrt{a^{2}-b^{2}}\neq a-b$
Donc:
Dans le cas général, il n'existe pas de formule avec l'addition et la soustraction

Produits et puissances de racines carrées:
Théorème:
   $Pour\ \ a\geq 0\ \ et\ b\geq 0\ :\ \sqrt{a}\ \times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$
le produit de deux racines carrées est égale à la racine carrée du produit

Démonstration;
$\bg_blue \bg_white \bg_white \bg_green \left ( \sqrt{a}\times \sqrt{b} \right )^{2}=\left ( \sqrt{a}\times\ \sqrt{b} \right )\left ( \sqrt{a} \ \times \sqrt{b}\right )=\left (\sqrt{a} \right )^{2}\times\left (\sqrt{b} \right )^{2}=a\times b\\ \\ \left ( \sqrt{a\times b} \right ) ^{2}=a\times b\ \ on\ sait\ que \ a\times b> 0\ donc\ \left ( \sqrt{a}\times \sqrt{b} \right )^{2}=\left ( \sqrt{a\times b} \right )^{2}\ \\ et\ on\ conclut \ \sqrt{a}\ \times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b} \ puisque\ \ \sqrt{a}\sqrt{b}> 0\ et\sqrt{ab}> 0$
Remarque : pour $a\geq 0\ \ \sqrt{a^{2}}=\sqrt{a}^{2}=\sqrt{a}\ \times \sqrt{a}=a$
En général racine carrée de a est égale à valeur absolue de a:   $\sqrt{a^{2}}=\left | a \right |$

exemples:
calculer : $\sqrt{5}\ \times\sqrt{3}$
$\sqrt{5}\ \times\sqrt{3} =\sqrt{5\times 3}=\sqrt{15}$
simplifier: $\sqrt{80}$
$\sqrt{80}=\sqrt{16\times 5}=\sqrt{16}\times \sqrt{5}=\sqrt{4^{2}}= \right )4\times \sqrt{5}=4\sqrt{5}$
calculer : $\sqrt{12}\ \times \sqrt{3}$
$\sqrt{12}\ \times \sqrt{3}=\sqrt{12\times 3}=\sqrt{36}=\sqrt{6^{2}}=6$
Déduction
pour :    ${\color{Yellow} a\geq 0\ et\ b\geq 0\ \ \sqrt{a^{2}\times b}=a\sqrt{b}}$

Quotients de deux racines carrées
Théorème:
$Pour\ \ a\geq 0\ \ et\ \ b\geq 0:\ \ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$
Le quotient de deux racines carrées est égale à la racine carrée du quotient

Démonstration:
$\bg_green \left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \right )^{2}=\frac{ \sqrt{a}}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}^{2}}{\sqrt{b}^{2}}=\frac{\sqrt{a^{2}}}{\sqrt{b^{2}}}=\frac{a}{b}\ \ et\ \ \\\\\left ( \sqrt{\frac{a}{b}} \right )^{2}=\frac{a}{b}\ \ et\ comme\ \frac{a}{b}> 0\ on\ a \left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \right ) ^{2}=\left ( \sqrt{\frac{a}{b}} \right )^{2}\\ \\ on \ conclut\ que\\\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\ \ \left (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}> 0\ \ et\ \ \sqrt{\frac{a}{b}}> 0 \right )$
exemple:
calculer $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{25}}$
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{25}}=\sqrt{\frac{5}{25}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{ \sqrt{1}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ou $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{25}}=\frac{ \sqrt{5}}{\sqrt{5^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
Supprimer la racine carrée au dénominateur
Pour calculer facilement les valeurs approchées c'est préférable d'avoir les radicaux au numérateur qu'au dénominateur pour cette raison on utilise propriété 1 ou propriété 2
Propriété 1:
pour
$a>0 \ \ \frac{1}{ \sqrt{a}}=\frac{ \sqrt{a}}{\left ( \sqrt{a} \right )^{2} }=\frac{\sqrt{a} }{a}$
Propriété 2:
$\bg_white a\ et\ b\ deux\ nombres\ r\acute{e}els\ positifs\ non\ nuls\ (a\neq 0\ et\ b\neq 0)\\ \frac{1}{\sqrt{a}\ -\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}\ +\sqrt{b}}{{\left ( \sqrt{a}\ -\sqrt{b} \right )\times (\sqrt{a}\ +\sqrt{b})}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}^{2}\ -\sqrt{b}^{2}}=\frac{\sqrt{a}\ +\sqrt{b}}{a\ -b}$
Exemples :
1) Supprimons la racine carrée au dénominateur : $\frac{3}{\sqrt{7}}$
$\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\times \sqrt{7}}{\sqrt{7\ \times \sqrt{7}}}=\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7}^{2}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$
2) Supprimons la racine au dénominateur : $\frac{2+\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}$
$\frac{2+\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}=\frac{(2+\sqrt{3})\times \sqrt{5}}{3\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{(2+\sqrt{3})\times \sqrt{5}}{3\sqrt{5}^{2}}=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{3}\sqrt{5} }{3\ \times 5}=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{15}}{15}$

3) Supprimer la racine carrée au dénominateur en utilisant le conjugué du dénominateur
exemple: 1
$\frac{3}{\sqrt{5}\ -1}$ le conjugué du $\sqrt{5}\ -1\ \ est \ \ \sqrt{5}\ +1$ donc :
$\frac{3}{\sqrt{5}\ -1}=\frac{3\ \times(\sqrt{5}\ +1) }{(\sqrt{5}\ -1)\times (\sqrt{5}\ +1)}=\frac{3\ \times (\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}^{2}\ -1^{2}}=\frac{3\sqrt{5}+3}{5-1}=\frac{3\sqrt{5}+3}{4}$

exemple 2:
$\frac{4}{2+\sqrt{2}}$ le conjugué du : $2+\sqrt{2}\ \ est : 2-\sqrt{2}$ donc: $\frac{4}{2+\sqrt{2}}=\frac{4\times (2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2)}\times (2-\sqrt{2})}=\frac{8-4\sqrt{2}}{2^{2}-\sqrt{2}^{2}}\\\ \ \\ =\frac{8-4\sqrt{2}}{4-2}=\frac{2\times (4-2\sqrt{2})}{2}=4-2\sqrt{2}$
Résoudre l 'équation : ${\color{Red} x^{2}=a}$
Définition: