Propriétés:
1) soient a et b deux nombres réels positifs on a :
Le passage au carré conserve l'ordre de l'inégalité pour les nombres positifs
a≤balorsa2≤b2
2) soient a et b deux nombres réels négatifs on a:
Le passage au carré inverse l'ordre de l'inégalité pour les nombres négatifs
Le passage au carré inverse l'ordre de l'inégalité pour les nombres négatifs
a≤balorsa2≥b2
Démonstration
Dans les deux cas nous allons factoriser la différence a² - b² puis nous étudierons des facteurs intervenant dans le produit
(a + b)( a- b) = a² - b²
1) puisque a > 0 et b > 0 donc a + b > 0 alors en déduit que a - b et a² - b² sont de même signe et par suite
1) puisque a > 0 et b > 0 donc a + b > 0 alors en déduit que a - b et a² - b² sont de même signe et par suite
2) puisque a < 0 et b < 0 donc a + b < 0 alors en déduit que a - b et a² - b² sont de signe contraire et par suite
exemple 2:
soit x
tel que -7 < x < - 3 donc (-7)² > x² > (-3)² c'est à dire 49 > x² > 9 et par suite
9 < x² < 49
Passage à la racine carré
Propriété:
Démonstration:
On a a ≤ b donc a - b ≤ 0 et on peut écrire a - b sous forme :
par définition la racine carrée d' un nombre est positif par suite
est positif et puisque a - b ≤ 0 en déduit que 
Remarque :
le passage à la racine carrée conserve l' ordre de l' inégalité
soit x
9 < x² < 49
Passage à la racine carré
Propriété:

Démonstration:
On a a ≤ b donc a - b ≤ 0 et on peut écrire a - b sous forme :

par définition la racine carrée d' un nombre est positif par suite


اقرا ايضاDémonstration par récurrence
اقرا ايضاDémonstration par contre exemple
اقرا ايضاDémonstration par l 'absurde
اقرا ايضاDémonstration par la contraposée
Remarque :
le passage à la racine carrée conserve l' ordre de l' inégalité
Exemple:
Encadrement:
Définition:
x, a et b trois nombres qui appartiennent à l 'ensemble des réels:
on dit que x est encadré par a et b (a et b encadrent x) lorsque :
a < x < b ( double inégalité appelée encadrement de x d'amplitude b - a )
Remarque :
Un produit a × b encadré par les produits minimum et maximum effectués sur les bornes de a et b
Exemples :
exemple 1
soient a et b deux nombres réels sachant que :
1 ≤ a ≤ 3 et - 2,3 ≤ b ≤ -0,4 trouver l ' encadrement des nombres a +b ; a - b
on a 1 ≤ a ≤ 3
- 2,3 ≤ b ≤ -0,4 fusons la somme des membres de double inégalité on aura
1+ (-2,3) ≤ a+b ≤ 3 + (-0,4) c'est à dire -1,3 ≤ a +b ≤ 2,6
d ' où (-1,3) et 2,6 encadrent a +b
on sait que a - b = a + ( - b)
on a - 2,3 ≤ b ≤ -0,4 donc 0,4 ≤ - b ≤ 2,3 par suite 1 + 0,4 ≤ a + (-b) ≤ 3 + 2,3 qui donne
1,4 ≤ a - b ≤ 5,3 d' où 1,4 et 5,3 encadrent a - b
exemple 2
exemple 3
Exercice
On considère les nombres les réels x et y tels que
3 ≤ x ≤ 6 et - 5 ≤ y ≤ 2 trouvez un encadrement des nombres suivants:
x + y ; x - y ; x × y ; x² + y² ; x² + 1/y
On considère les nombres les réels x et y tels que
3 ≤ x ≤ 6 et - 5 ≤ y ≤ 2 trouvez un encadrement des nombres suivants:
x + y ; x - y ; x × y ; x² + y² ; x² + 1/y
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