Inégalité sur les carrés et les racines carrées

Propriétés:

1) soient a et b deux nombres réels positifs on a :

Le passage au carré conserve l'ordre de l'inégalité pour les nombres positifs

$a\le b \quad alors\quad  a^{2}\le b^{2}$

2) soient a et b deux nombres réels négatifs   on a:
Le passage au carré inverse   l'ordre de l'inégalité pour les nombres négatifs

$a\le   b \quad alors\quad  a^{2}\ge  b^{2}$

Démonstration 

Dans les deux cas nous allons factoriser la différence  a² - b² puis nous étudierons  des facteurs intervenant dans le produit 

(a + b)( a- b) = a² - b²
 1)   puisque a > 0 et b > 0  donc a  + b > 0   alors en déduit que  a - b et a² - b² sont  de même signe et par suite 

2)  puisque  a < 0 et b < 0  donc  a + b < 0  alors  en déduit que  a - b et  a² -  b² sont  de  signe  contraire et par suite

Exemples:
exemple 1:

exemple 2:
soit  x   tel que   -7  <  x  <  - 3  donc  (-7)²  > x²   >  (-3)² c'est à dire  49 >  x²  >  9  et par suite
9  <  x² <  49
Passage à la racine carré
Propriété:
Démonstration:
On a   a ≤ b   donc  a - b ≤ 0  et on peut  écrire  a - b sous forme :
par définition la racine  carrée d' un nombre est positif  par suite
est positif  et puisque  a - b ≤ 0  en déduit que  

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Remarque :
 le passage à la racine  carrée conserve l' ordre de l' inégalité

Exemple:

Encadrement:

Définition:

  x, a et b trois nombres  qui appartiennent  à l 'ensemble  des réels:

on dit que x est encadré par a et b (a et b encadrent x) lorsque :

a <   x   <   b    ( double inégalité appelée encadrement de x d'amplitude    b  -  a )

Remarque :

Un produit a × b encadré par  les produits minimum et maximum effectués sur les bornes de a et b 

Exemples :

exemple 1

soient a et b deux nombres réels sachant que :

1 ≤  a  ≤  3  et - 2,3 ≤ b  ≤ -0,4   trouver   l ' encadrement des nombres  a +b  ;  a - b 

 on a 1  ≤   a   ≤  3  

          - 2,3  ≤  b  ≤  -0,4                        fusons la somme des membres de double inégalité  on aura

1+ (-2,3) ≤ a+b ≤ 3 + (-0,4)  c'est à dire  -1,3 ≤ a +b  ≤ 2,6

 d ' où   (-1,3) et 2,6 encadrent a +b 

on sait que  a - b = a +  ( - b)  

on a   - 2,3 ≤  b ≤ -0,4    donc    0,4 ≤ - b  ≤ 2,3   par suite  1 + 0,4 ≤ a + (-b) ≤ 3  + 2,3  qui donne 

 1,4 ≤  a  - b  ≤  5,3  d'  où    1,4  et 5,3 encadrent  a - b 

exemple 2

exemple 3

Exercice
On considère les nombres les réels x et y tels que  

3 ≤  x   ≤  6      et   - 5  ≤   y   ≤  2   trouvez un encadrement des nombres suivants:

x +  y  ;   x  -  y    ;     x   ×  y        ;   x²  +  y²   ;   x²   +  1/y