l'ensemble des réels

1)Rappels:

L'ensemble des nombres réels noté $\mathbb{R}$ est une droite numérique , cette droite munie d'une origine O et d'un vecteur $\overrightarrow{i}$ tel que

A tout point M de cette droite correspond un unique nombre x appelé réel tel que $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}$

A tout nombre réel x correspond un point M de cette droite tel que $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}$

les nombres à droite de O (nombre 0) sont les réels positifs c'est l 'ensemble $\mathbb{R_{+}}$

les nombres à gauche de O (nombre 0) sont les réels négatifs c'est l 'ensemble $\mathbb{R_{-}}$

$\mathbb{R}=\mathbb{R_{-}}\cup \ \mathbb{R_{+}}$

$\bg_white \mathbb{R}- \left \{ 0 \right \}=\mathbb{R^{*}}=\mathbb{R^{*}_{+}}\cup \mathbb{R^{*}_{-}}$

Remarque :

$\mathbb{R}\cap \mathbb{Q}=\mathbb{Q}$ ( $\mathbb{Q}$ ensemble des nombres rationnels(nombre de la forme $\frac{a}{b}\ avec\ (a;b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N^{*}}$ )

Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel

$\mathbb{R}$ est l'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels

${\color{Red} \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}}$

exemple:

$\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel ( $\frac{1}{3}\in \mathbb{Q}$ ) et appartient à l ensemble $\mathbb{R}$

$\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$ est un nombre irrationnel et $\sqrt{3}\in \mathbb{R}$

$-0,12\in \mathbb{R}$ ; $0\notin \mathbb{R^{*}}$

2)Opérations sur l'ensemble des réels:

1)addition et multiplication
i)Somme
Soient a, b et c des nombres réels
a + b = b + a l 'addition est commutative dans $\mathbb{R}$
(a + b) + c = a + ( b +c ) l 'addition est associative dans $\mathbb{R}$
a + 0 = 0 +a = a : 0 est l'élément neutre pour l 'addition dans $\mathbb{R}$
a - a =0 : -a est le symétrique de a pour l 'addition
ii) produit
a× b = b × a la multiplication est commutative dans $\mathbb{R}$
a× ( b × c) =( a × b ) × c : la multiplication est associative dans $\mathbb{R}$

a × 1 = 1× a = a : 1 est l élément neutre pour la multiplication dans $\mathbb{R}$
a × 0 = 0 : 0 est l 'élément absorbant dans la multiplication
$a\neq 0\ \ , a\times \frac{1}{a}=1$ : a est l' inverse de $\frac{1}{a}$

3)Règles de calcul dans $\mathbb{R}$

Soient a , b et c les élément de $\mathbb{R}$
a + b = c ⇔ a = c - b
Soient ( a; c) ∈ $\mathbb{R} ^{2}$ et ( b; d)∈ $\mathbb{R} ^{*}^{2}$ : $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}$
Soit a ∈ $\mathbb{R}$ et soit (c ; b )∈ $\mathbb{R} ^{*}^{2}$ : $\frac{a+c}{b+c}\neq \frac{a}{b}$
Soit ( a ; b ) ∈ $\mathbb{R} ^{2}$ et soit c ∈ $\mathbb{R} ^{*}$ : $a\times c= b \Leftrightarrow a=\frac{b}{c}$
Soient ( a; c) ∈ $\mathbb{R} ^{2}$ et ( b; d)∈ $\mathbb{R} ^{*}^{2}$ : $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc$
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ donc\ \frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$ démonstration clic ici
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ donc\ \frac{a}{b}=\frac{\alpha a+\beta c}{\alpha b+\beta d} \ \ (\alpha ;\beta )\in\mathbb{R} ^{2}$ v
Soient ( a;b) ∈ $\mathbb{R} ^{2}$ et ( b; c ; d ) ∈ $\mathbb{R^{*}}^{3}$ : $\frac{a\times c}{b\times c}=\frac{a}{b}\ \ et\ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$

4)Identités remarquables

$(a+b)^{2}={\color{Red} a^{2}}+{\color{Blue} 2ab}+{\color{Red} b^{2}}\\\\ (a{\color{Red} -}b)^{2}={\color{red} a^{2}}{\color{Red} -}{\color{Blue} 2ab}+{\color{Red} b^{2}}\\\\ (a+b)^{3}={\color{Blue} a^{3}} +{\color{Red} 3a^{2}}b+{\color{Magenta} 3}a{\color{Magenta} b^{2}}+{\color{Blue} b^{3}}\\ \\ (a{\color{Red} -}b)^{3}={\color{Blue} a^{3}} {\color{Red} -}{\color{Red} 3a^{2}}b+{\color{Magenta} 3}a{\color{Magenta} b^{2}}{\color{Red} -}{\color{Blue} b^{3}}$
1)Utilisation du triangle de pascal pour les identités remarquables:

On débute avec tout l 'exposant sur a et 0 sur b ,puis à chaque terme on diminue l'exposant de a et on augmente celui de b jusqu'à ce que l'exposant de a est 0
On sait que : ${\color{DarkBlue} a^{0}=b^{0}=1}$
L'intersection de la ligne n et de la colonne p représente le coefficient de rang p ( c'est le coefficient binomial)

Exemples:
2)Règles

1) Pour $(a{\color{Red} -}b)^{{\color{Blue} n}}$ il faut mettre un signe - devant chaque terme où b a pour exposant un nombre impaire

Exemple : $\bg_white (a-b)^{5}=a^{5}\ {\color{Red} -}\ 5a^{4}{\color{Red} b}^{{\color{Blue} 1}}+ 10a^{3}b^{2}\ {\color{Red} -}\ 10a^{2}{\color{Red} b}^{{\color{Blue} 3}}+5ab^{4}\ {\color{Red} -}\ {\color{Red} b}^{{\color{Blue} 5}}$

2) ${\color{Blue} a^{n}-b^{n}}={\color{Red} (a-b)}{\color{Magenta} (a^{n-1}+a^{n-2}b\ \ +.......+\ a b^{n-2}\ +\ b^{n-1})}$

${\color{Blue} a^{n}-b^{n}}$ est toujours divisible par (a – b)

Le développement de $a^{n}-b^{n}$ selon la valeur de n , avec mise en évidence des facteurs en ( a + b) et ( a- b)

Exemples: $\bg_green \bg_white a^{3}-b^{3}={\color{DarkGreen} (a-b)}(a^{2}+ab+b^{2})$

$\bg_green \bg_white a^{4}-b^{4}={\color{DarkGreen} (a-b)}{\color{Red} (a+b)}{\color{Magenta} (a^{2}+b^{2})}$ $\bg_green \bg_white a^{5}-b^{5}={\color{DarkGreen} (a-b)}(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})$

$\bg_green \bg_white a^{6}-b^{6}={\color{DarkGreen} (a-b)}{\color{Red} (a+b)}(a^{2}+ba+b^{2}){\color{Magenta} (a^{2}-ba+b^{2})}$

3)Si n est impair : ${\color{Blue} a^{n}+b^{n}}={\color{Red} {\color{DarkGreen} (a+b)}(a^{n-1}-a^{n-2}b +a^{n-3}b^{2}-......+a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})}$

exemple: $a^{5}{\color{Red} +}b^{5}=(a+b)(a^{4}{\color{Red} -}a^{3}b+a^{2}b^{2}{\color{Red} -}ab^{3}+b^{5})$

$a^{7}{\color{Red} +}b^{7}=(a+b)(a^{6}{\color{Red} -}a^{5}b+a^{4}b^{2}{\color{Red} -}a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}{\color{Red} - }ab^{5}+b^{6})$

4)Si b=1 : $\bg_white a^{n}-1^{n}={\color{Red} a^{n}-1}={\color{DarkGreen} (a-1)}(a^{n-1}+a^{n-2}+......+a^{2}+a+1)$

Exemple: $a^{4}-1={\color{Red} \left (a-1 \right )}(a^{3}+a^{2}+a+1)$ et aussi $a^{4}-1=\left (a^{2} \right )^{2}-(1^{2})^{2}=(a^{2}-1)(a^{2}+1)=(a-1)(a+1)(a^{2}+1)$

Exercice d’application:

factoriser les expressions suivantes:

$A=27x^{4}+64x\\ B=(-2x+1)^{2}-(4-8x)(x+3)+(3-12x^{2})$

développer l'expression suivante:

$E=(a+b)^{3}-(a-b)^{3}$ trouver les valeurs de a , b , c et d si ${\color{Red} \frac{a}{2}=\frac{b}{3}}\ et\ {\color{Red} \frac{b}{7}=\frac{c}{5}} \ et\ {\color{Red} \frac{c}{6}=\frac{d}{7}}$

solution:

factorisation : $\bg_green A=27x^{4}+64x$

$A=27x^{4}+64x=x(27x^{3}+64)=x((3x)^{3}+4^{3})\\\ {\color{Red} (3x)^{3}+4^{3}=(3x+4)((3x)^{2}-3x\times 4+4^{2})}\\ A=x(3x+4)(9x^{2}-12x+16)$

$B=(-2x+1)^{2}-(4-8x)(x+3)+(3-12x^{2})$

$\bg_black B=(-2x+1)^{2}-{\color{Red} 4}(1-2x)(x+3)+{\color{Red} 3}(1-4x^{2})\\ \\B={\color{Green} (1-2x)}(1-2x)- 4{\color{Green} (1-2x)}(x+3)+ 3{\color{Green} (1-2x)} (1+2x)\ \\ ={\color{Green} (1-2x)}\left ( (1-2x)-4(x+3)+3(1+2x) \right )\\ \\ =(1-2x)(1-2x-4x-12+3+6x)=(1-2x)(-8)=-8(1-2x)\\ B=-8(1-2x)=8(2x-1)$

Exercice :Développer l'expression suivante

$\bg_black {\color{Red}A= (a+b)^{3}-(a-b)^{3}} et\ trouver\ a; b;c\ et\ d\ sachant \ que: \\ \frac{a}{2}=\frac{b}{3}\ et \frac{b}{7}=\frac{c}{5}\ et \ \frac{c}{6}=\frac{d}{7} \ \ et \ \ a+b+c+d=945\ calculer\ la\ valeur\ de\ A$

solution ici

5)Puissance d'une racine carrée:

1)Rappel : la racine carré définition clic ici

2)Puissance d'une racine carrée

Soient x∈ ℝ* et n∈ ℕ*:

$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}=\frac{1}{a\times a\times .....\times a}=\frac{1}{a}\times\frac{1}{a}\times .....\times \frac{1}{a}= \left (\frac{1}{a} \right )^{n}$

3Propriétés: $a^{0}=1 (a\neq 0)\\ a^{1}=a\\ soit\ (a;b)\in \mathbb{R}^{*2}\ et\ (m;n)\in\mathbb{Z} ^{2}\\ a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\\ \\ \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\\ \\ (ab)^{n}=a^{n}\times b^{n}\\ \left (a^{m} \right )^{n}=a^{m\times n}\\ \\ \frac{a^{m}}{b^{m}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m}$

Exemples: $\left ( \frac{2}{7} \right )^{3}=\frac{2}{7}\times \frac{2}{7}\times \frac{2}{7}=\frac{2^{3}}{7^{3}}=\frac{8}{343}\\ \\ {\color{Orange} \left ( \frac{2}{7} \right )^{-3}=\frac{1}{\left ( \frac{2}{7} \right )^{3}}=\frac{7^{3}}{2^{3}}=\frac{343}{8}}\\ \\ \left ((\sqrt{3})^{3} \right )^{2}=\left ((\sqrt{3})^{2} \right )^{3}=3^{3}=27$
4)Puissance de 10:
n∈ ℕ*:
5)Ecriture scientifique d'un nombre : manière d'écriture des nombres très petits ou très grands
Quel que soit le nombre décimal positif x peut s'écrit sous forme $a.10^{b}\ avec\ 0\leq a< 10 \ \ \ \left ( a\in \mathbb{D^{+}} \ et\ b\in \mathbb{Z}\right )\\ {\color{Red} a.10^{b}}\ est\ une\ \acute{e}criture\ scientifique\ de {\color{Red}\ x}$
si x est négatif l'écriture scientifique est ${\color{Red} -a.10^{b}}$
Exemple : $\bg_red A=3600\times 20000=3,6\times 10^{3}\times 2\times 10^{4}=7,2\times 10^{7}\\ \\ B=5000\times 0,00005=5.10^{3}\times 5.10^{-5}=25.10^{-2}=2,5.10^{-1}\\ \\ C= -12000\times 600000=-12.10^{3}\times 6.10^{5}=-72.10^{8}=-7,2.10^{9}$

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