Inéquation du second degré a une seul inconnue

 Équations du second degré

Inéquation  du second degré a une seul inconnue

Définition

Signe du trinôme  P(x) = a x² +b x + c  ( a ≠ 0)

Exemple d'application , résolution d'inéquations  du second degré

Exercices

1) Définition

toutes expression sous forme a x² +b x + c < 0 ou  a x² +b x + c > 0 ou a x² +b x + c ≥ 0 ou  a x² +b x + c ≤ 0  tel que  a ∈ ℝ* ; b ∈ ℝ et c ∈ ℝ est une inéquation du second degré a une seule inconnue x , les valeurs que peut prendre x  est vérifie l 'inégalité ( inéquation) es l'ensemble de solution ou l 'ensemble des racines on le note S

2) Signe du trinôme  P(x) = a x² +b x + c  ( a ≠ 0)
P(x) s'écrit aussi sous forme canonique :

Donc le signe du trinôme du second degré P(x) dépend de signe de Δ d'où les cas suivants:

Théorème:
Un trinôme du second degré P(x) = a x² +b x + c  ( a ≠ 0) est toujours du signe de a, à l’extérieur des racines (lorsqu'elles existent). sauf si Δ < 0 le trinôme garde le signe constant de a pour tout x ∈ ℝ
3) Exemple d'application , résolution d'inéquations  du second degré
Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes:
a)   3 x² - 2 x + 5 > 0
b)  3 x² - 2 x  +5 ≤ 0
c)  - 5 x²  + 10√5 x + 25 < 0
Pour résoudre une inéquation du second degré , on cherche le signe du trinôme du second degré  associé
a)   3 x² - 2 x + 5 > 0 calculons d'abord  le discriminant : Δ = ( -2 )² - (4 × 3) × 5= -56

Puisque  Δ < 0 et  a = 3 > 0 donc  3 x² - 2 x + 5 > 0  ∀   x ∈ ℝ   d'où  S = ℝ
b)   d’après  a)  Δ < 0 et  a = 3 > 0 (voir tableau de signe) les solutions de
3 x² - 2 x  +5 ≤ 0 est S=∅
c)  - 5 x²  + 10√5 x + 25 < 0   calculons d'abord  le discriminant : 
Δ = b² - 4 a c = (10√5)² - (4 × (-5) × 25) = 500 +500 =1000
Puisque Δ > 0 ⇒  (- 5 x²  + 10√5 x + 25) admet deux racines distincts  avec :

d'où le signe  de  (- 5 x²  + 10√5 x + 25) est de signe de a à l extérieur des racines et signe de -a entre les racines 

donc :  - 5 x²  + 10√5 x + 25 < 0  sur  l 'ensemble 

Exercices

1) Trouver le signe des trinômes suivants:

P(x) = 7 x² + 12 x + 5    ;   Q(x)= 8 - 5 x²     ;      H(x) = x² -  4 x   + 5 

 L(x) = - x² +6 x - 9 

 en fonction des valeurs que peut prendre  x

2 ) Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes:

 i) (3 x -2)² > ( 2 x + 2)²

ii) 

iii)  

3) 

i)Résoudre dans ℝ    l 'équation : F(x) = - 4 , et simplifier l'écriture de F(x) + 4 

ii) Résoudre dans ℝ   et interpréter graphiquement l 'inéquation : F(x) > - 4 

iii) soient a et b deux réels qui vérifier l égalité suivante : F(a) = F(b)

montrer que a et b sont les racines de l équation :  t²  - p t + p - 7 = 0 tel que p ∈ ℝ  qu'on détermine 

Solutions