Exercices Inéquation du second degré a une seul inconnue

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Exercices

Exercice 1 :

1) Étudier le signe :

$$P(x) = 7x^2 + 12x + 5$$ $$Q(x) = 8 - 5x^2$$ $$H(x) = x^2 - 4x + 5$$ $$L(x) = -x^2 + 6x - 9$$

Exercice 2 :

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

$$(3x - 2)^2 > (2x + 2)^2$$ $$\sqrt{x - 2} < x - 5$$ $$\frac{x+5}{2x+1} \geq 0$$

Exercice 3 :

3) Soit :

$$F(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x - 1}$$

i) Résoudre dans ℝ l 'équation : \(F(x) = - 4\) , et simplifier l'écriture de \(F(x) + 4\)
ii) Résoudre dans ℝ et interpréter graphiquement l 'inéquation : \(F(x) > - 4\)
iii) soient \(a\) et \(b\) deux réels qui vérifier l égalité suivante : \(F(a) = F(b)\)

montrer que a et b sont les racines de l équation : t² - p t + p - 7 = 0 tel que p ∈ ℝ qu'on détermine

Exercice 4 :

1) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

$$x^2 - 5x + 6 \geq 0$$ $$x^2 - 9 \leq 0$$ $$2x^2 + 3x + 1 > 0$$

2) Étudier le signe de :

$$P(x) = x^2 - 4x + 3$$

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Exercice 5 :

1) Résoudre :

$$(x - 2)(x + 3) \leq 0$$ $$3x^2 - x - 2 \geq 0$$

2) Résoudre :

$$\frac{x-1}{x+2} > 0$$

3) Résoudre :

$$(2x - 1)^2 \geq 9$$

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Exercice 6 :

1) Résoudre :

$$\frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2} \geq 0$$

2) Résoudre :

$$\sqrt{x^2 - 5x + 6} \geq x - 2$$

3) Résoudre :

$$\frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 4} < 0$$

4) Résoudre :

$$x^2 - (m+1)x + m \geq 0 \quad (m \in \mathbb{R})$$

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Exercice 7 :

1) Résoudre :

$$\frac{x^2 - 3x + 2}{|x - 1|} \geq 0$$

2) Résoudre :

$$\frac{x+1}{x-2} + \frac{x-2}{x+1} \geq 2$$

3) Soit :

$$P(x) = x^2 + ax + b$$

Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(P(x) \geq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

Exercice 8:

On considère le polynôme suivant :

$$P(x) = x^3 - 4x^2 - x + 4$$

1) Factoriser \(P(x)\).
2) Résoudre l’équation \(P(x) = 0\).
3) Étudier le signe de \(P(x)\).
4) Résoudre l’inéquation \(P(x) \geq 0\).

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▶ Voir la solution détaillée

Solution : Exercice 1

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1) Signe des trinômes

\(P(x) = 7x² + 12x + 5\)

$$\Delta = 12^2 - 4 \times 7 \times 5 = 144 - 140 = 4$$

\(\Delta > 0\) donc deux racines :

$$x_1 = \frac{-12 - 2}{14} = -1 \quad ; \quad x_2 = \frac{-12 + 2}{14} = -\frac{5}{7}$$

P(x) > 0 à l’extérieur des racines (car \(a=7>0\))

P(x) < 0 entre les racines

x	-∞	x₁		x₂	+∞
P(x)	+(signe de\(7)\)	0	−(signe de(\(-7\)))	0	+(signe de\(7)\)

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\(Q(x) = 8 - 5x²\)

$$\Delta = 160 > 0$$

$$x_1 = -\frac{2\sqrt{10}}{5} \quad ; \quad x_2 = \frac{2\sqrt{10}}{5}$$

$$Q(x) \geq 0 \Rightarrow \left[-\frac{2\sqrt{10}}{5}, \frac{2\sqrt{10}}{5}\right]$$

$$Q(x) < 0 \Rightarrow ]-\infty,-\frac{2\sqrt{10}}{5}[ \cup ]\frac{2\sqrt{10}}{5},+\infty[$$

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\(H(x) = x² - 4x + 5\)

$$\Delta = 16 - 20 = -4 < 0$$

$$H(x) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

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\(L(x) = -x² + 6x - 9\)

$$\Delta = 36 - 36 = 0$$

$$x_0 = \frac{6}{2} = 3$$

$$L(x) = -(x-3)^2 \leq 0$$

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Solution : Exercice 2

Résolution des Inéquations

i) \((3x-2)^2 > (2x+2)^2\)

$$5x^2 - 20x > 0 \Rightarrow x(x-4)>0$$

$$S = ]-\infty,0[ \cup ]4,+\infty[$$

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ii) \(\sqrt{x-2} < x-5\)

\(\sqrt{f(x)}\lt g(x)\Rightarrow g(x)\ge 0\) donc Domaine :\( x\ge 5\)

$$-x^2 + 11x - 27 < 0$$

\(\Delta =(11)^{2}-4\times (-1)\times (-27)=13\)

$$x_1 = \frac{11-\sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{11+\sqrt{13}}{2}$$

$$S = ]\frac{11+\sqrt{13}}{2}, +\infty[$$

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iii) \(\frac{x+5}{2x+1} \geq 0\)

\(\frac{x+5}{2x+1}\ge 0 \Rightarrow x\ge -5\) et \(x\ge -\frac{1}{2}\) ou \(x\le -5\) et \(x\le -\frac{1}{2}\)\)

$$S = ]-\infty,-5] \cup ]-\frac{1}{2},+\infty[$$

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Solution Exercice : 3

Résolution : \(F(x) = -4\)

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On a :

$$F(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x - 1}, \quad x \neq 1$$

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alors

$$F(x) = -4$$

$$\Leftrightarrow \frac{x^2 - x - 6}{x - 1} = -4$$

On met au même dénominateur :

$$\frac{x^2 - x - 6}{x - 1} + 4 = 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{x^2 - x - 6 + 4(x - 1)}{x - 1} = 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{x^2 + 3x - 10}{x - 1} = 0$$

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Équation équivalente

$$x^2 + 3x - 10 = 0 \quad (x \neq 1)$$

$$\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times (-10) = 9 + 40 = 49$$

$$\Delta > 0$$

$$x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5 \quad ; \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$$

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donc la Solution

$$S = \{-5 \; ; \; 2\}$$

simplification de \(F(x)+4=\frac{(x+5)(x-2)}{x-1}\) \(x \neq 1\)

Résolution : \(F(x) > -4\)

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On a:

$$F(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x - 1}, \quad x \neq 1$$

Alors $$F(x) > -4$$

$$\Leftrightarrow \frac{x^2 - x - 6}{x - 1} + 4 > 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{x^2 - x - 6 + 4(x - 1)}{x - 1} > 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{x^2 + 3x - 10}{x - 1} > 0$$

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Factorisation

$$x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2)$$

$$\Rightarrow \frac{(x+5)(x-2)}{x-1} > 0$$

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Tableau de signe

x	-∞	-5		1		2	+∞
x+5	-	0	+	+	+	+	+
x-2	-	-	-	-	-	0	+
x-1	-	-	-	0	+	+	+
\(\frac{(x+5)(x-2)}{x-1}\)	-	0	+	||	-	0	+

|| : valeur interdite (x = 1)

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donc la Solution

de l inéquation strictement positive sur :

$$S = ]-5,1[ \cup ]2,+\infty[$$

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Interprétation graphique

• \(x = -5\) et \(x = 2\) sont exclus (inégalité stricte)
• \(x = 1\) est interdit (dénominateur nul)

Interprétation graphique :

x = -5 x = 1

-5 < x < 1

x = 2

x > 2

Partie iii) : Condition \(F(a)=F(b)\)

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On sait que :

$$F(x)=\frac{x^2-x-6}{x-1}, \quad x \neq 1$$

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et d’après les questions précédentes :

$$F(x)+4 = \frac{(x+5)(x-2)}{x-1}$$

Donc :

$$F(a)=F(b) \;\Longrightarrow\; F(a)+4 = F(b)+4$$

$$\Longrightarrow \frac{(a+5)(a-2)}{a-1} = \frac{(b+5)(b-2)}{b-1}$$

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Cas des solutions

On remarque que :

$$F(x)+4 = 0 \;\Longleftrightarrow\; (x+5)(x-2)=0$$

$$\Longrightarrow x=-5 \quad \text{ou} \quad x=2$$

Donc :

$$a=-5,\; b=2 \quad \text{ou} \quad a=2,\; b=-5$$

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Mise sous forme d’équation

On cherche une équation dont \(a\) et \(b\) sont les racines :

$$t^2 - pt + p - 7 = 0$$

Alors :

$$t^2 - pt + (p-7) = 0$$

Par identification avec :

$$t^2 - (a+b)t + ab = 0$$

On obtient :

$$p = a + b \quad \text{et} \quad p - 7 = ab$$

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Calcul de \(p\)

Avec \(a=-5\) et \(b=2\) :

$$a+b = -5 + 2 = -3$$

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Vérification de \(F(a)=F(b)\)

$$F(a) +4 = F(b) + 4 \;\Rightarrow\; b = -5 \;\text{ou}\; b = 2$$

Si on prend \((a,b)=(-5,2)\) :

$$F(-5)=\frac{(-5)^2-(-5)-6}{-5-1}=\frac{25+5-6}{-6}=\frac{30-6}{-6}=\frac{24}{-6}=-4$$

$$F(2)=\frac{2^2-2-6}{2-1}=\frac{4-2-6}{1}=\frac{4-8}{1}=-4$$

Donc :

Le couple \((-5,2)\) vérifie \(F(a)=F(b)\)
Le couple \((2,-5)\) vérifie aussi \(F(a)=F(b)\)

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Détermination de \(p\)

\(a\) est racine de :

$$t^2 - pt + p - 7 = 0$$

Donc :

$$a^2 - pa + p - 7 = 0$$

$$\Rightarrow p(1-a)=7-a^2$$

$$\Rightarrow p=\frac{7-a^2}{1-a}$$

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Cas 1 : \(a=-5\)

$$p=\frac{7-25}{1+5}=\frac{-18}{6}=-3$$

Cas 2 : \(a=2\)

$$p=\frac{7-4}{1-2}=\frac{3}{-1}=-3$$

$$p = -3$$

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Équation finale

$$t^2 - pt + p - 7 = 0 \;\Longleftrightarrow\; t^2 + 3t - 10 = 0$$

$$\text{Racines : } a=-5 \quad \text{et} \quad b=2$$

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Remarque

$$t^2 - pt + p - 7 = 0 \;\Longleftrightarrow\; t^2 - St + P = 0$$

$$S = a + b \quad ; \quad P = ab$$

Solution : Exercice 4

1) \(x^2 - 5x + 6 \geq 0\)

$$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$$

Signe positif à l’extérieur des racines :

$$S = ]-\infty,2] \cup [3,+\infty[$$

2) \(x^2 - 9 \leq 0\)

$$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$$

$$S = [-3,3]$$

3) \(2x^2 + 3x + 1 > 0\)

$$\Delta = 9 - 8 = 1$$

$$x_1=-1,\; x_2=-\frac{1}{2}$$

$$S = ]-\infty,-1[ \cup ]-\frac{1}{2},+\infty[$$

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Solution : Exercice 5

4) \((x-2)(x+3) \leq 0\)

$$S = [-3,2]$$

5) \(3x^2 - x - 2 \geq 0\)

$$\Delta = 1 + 24 = 25$$

$$x_1=-\frac{2}{3},\; x_2=1$$

$$S = ]-\infty,-\frac{2}{3}] \cup [1,+\infty[$$

6) \(\frac{x-1}{x+2} > 0\)

Points critiques : \(-2,1\)

$$S = ]-\infty,-2[ \cup ]1,+\infty[$$

7) \((2x-1)^2 \geq 9\)

$$|2x-1| \geq 3$$

$$x \leq -1 \;\text{ou}\; x \geq 2$$

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Solution : Exercice 6

8) \(\frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2} \geq 0\)

$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$$

Valeurs interdites : \(x=2,-1\)

$$S = ]-\infty,-2] \cup ]-1,2[ \cup ]2,+\infty[$$

9) \(\sqrt{x^2 - 5x + 6} \geq x - 2\)

Domaine : \(x \leq 2\) ou \(x \geq 3\)

Après étude :

$$S = [1,+\infty[$$

10) \(\frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 4} < 0\)

$$\frac{(2x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}$$

Valeurs interdites : \(x=2,-2\)

$$S = ]-2,-\frac{1}{2}[ \cup ]2,+\infty[$$

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Solution: Exercice 7

11) \(\frac{x^2 - 3x + 2}{|x - 1|} \geq 0\)

$$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$$

\(|x-1|>0\) sauf en 1

$$S = [2,+\infty[$$

12) \(\frac{x+1}{x-2} + \frac{x-2}{x+1} \geq 2\)

$$\frac{(x+1)^2 + (x-2)^2}{(x-2)(x+1)} \geq 2$$

Après simplification :

$$S = ]-\infty,-1[ \cup ]2,+\infty[$$

13) \(P(x)=x^2+ax+b \geq 0\)

Condition :

$$\Delta \leq 0 \Rightarrow a^2 - 4b \leq 0$$

Solution : Exercice 8

1) Factorisation

On regroupe :

$$P(x) = (x^3 - 4x^2) + (-x + 4)$$

$$= x^2(x-4) -1(x-4)$$

$$= (x^2 - 1)(x - 4)$$

$$= (x-1)(x+1)(x-4)$$

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2) Équation \(P(x)=0\)

$$(x-1)(x+1)(x-4)=0$$

$$S = \{-1,\,1,\,4\}$$

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3) Signe de \(P(x)\)

On étudie les racines : \(-1, 1, 4\)

$$P(x) = (x-1)(x+1)(x-4)$$

Tableau de signe :

• \(x < -1\) : négatif
• \(-1 < x < 1\) : positif
• \(1 < x < 4\) : négatif
• \(x > 4\) : positif

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Tableau de signes de $P(x) = (x-1)(x+1)(x-4)$

$x$	$-\infty$	$-1$	$1$	$4$	$+\infty$
$x + 1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 1$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$
$x - 4$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$P(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Remarque : Le signe de $P(x)$ est déterminé par le produit des signes de chaque facteur.

4) Inéquation \(P(x) \geq 0\)

$$S = [-1,1] \cup [4,+\infty[$$

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