Polynôme (division euclidienne) exercice corrigé

 Polynômes
Soit : $P(x)=4x^4-20x^3+29x^2-16x+3$

1)vérifier que P (1) =0

2)Trouver le polynôme Q(x) tel que : $P(x)=(x-1)Q(x)$

3) déterminer les racines de Q(x) en déduire les racines de P(x)

4) factoriser P(x)

Solution

1) vérifions que P(1) =0

$P(1)=4\times 1^4-20\times 1^3+29\times 1^2-16\times 1+3$

$=4-20+29-16+3=36-36=0$

2) On a P(1) =0 donc le polynôme P(x) est divisible par (x - 1) d ' où il existe un polynôme Q(x) tel que $P(x) = (x-1 ) Q(x)$ avec d°Q= d°P - 1=4 -1 =3

Donc effectuant la division euclidienne de P(x) par $(x- 1)$ pour obtenir Q(x)

donc :  $Q(x) =4x^{3}-16x^{2}+13x-3$

$4x^4-20x^3+29x^2-16x+3$=$(4x^{3}-16x^{2}+13x-3)$$(x-1)$

 C'est à dire $P(x)=(x-1)Q(x)$

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3)    $Q(3)=4\times3^{3}-16\times3^{2}+13\times3-3$

       $=108-144+39-3=108+39-(144+3)$

                          $=147-147=0$

Q(3) =0 donc  Q(x) est divisible par (x - 3) alors Q(x) peut se mettre sous forme de Q(x) = (x - 3) G(x)

 sachant que G(x) un polynôme  de degré  2

Effectuant la division de Q(x) par (x - 3) pour trouver   G(x) 

 Donc : $G(x)=4x^{2}-4x+1$

$G(x)=4x^{2}-4x+1$=$\left ( 2x-1 \right )^{2}$ qui a pour racine $x=\frac{1}{2}$

D'ici les racines de Q(x) sont : 3 et $\frac{1}{2}$    et par suite 

$Q(x)=4x^{3}-16x^{2}+13x-3=(x-3)\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}$

De question 2 : on a 

$4x^4-20x^3+29x^2-16x+3=\left (4x^{3}-16x^{2}+13x-3 \right )\left ( x-1 \right )$

$c'est\ \grave{a}\ dire\ P(x)=(x-1)Q(x)$

or   $Q(x)=(x-3)\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}$ 

Donc les racines de polynôme P(x) sont : 1 ; 3 et 1/2

4)ce qui conduit à mettre le polynôme sous forme de $P(x)=(x-1)(x-3)\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}$