Polynôme (division euclidienne) exercice corrigé

 Polynômes
Soit : \(P(x)=4x^4-20x^3+29x^2-16x+3\)

1)vérifier que P (1) =0

2)Trouver le polynôme Q(x) tel que : \(P(x)=(x-1)Q(x)\)

3) déterminer les racines de Q(x) en déduire les racines de P(x)

4) factoriser P(x)

Solution

1) vérifions que P(1) =0

\(P(1)=4\times 1^4-20\times 1^3+29\times 1^2-16\times 1+3\)

\(=4-20+29-16+3=36-36=0\)

2) On a P(1) =0 donc le polynôme P(x) est divisible par (x - 1) d ' où il existe un polynôme Q(x) tel que \(P(x) = (x-1 ) Q(x)\) avec d°Q= d°P - 1=4 -1 =3

Donc effectuant la division euclidienne de P(x) par \((x- 1)\) pour obtenir Q(x)

donc :  \(Q(x) =4x^{3}-16x^{2}+13x-3\)

\(4x^4-20x^3+29x^2-16x+3\)=\((4x^{3}-16x^{2}+13x-3)\)\((x-1)\)

 C'est à dire \(P(x)=(x-1)Q(x)\)

3)    \(Q(3)=4\times3^{3}-16\times3^{2}+13\times3-3\)

       \(=108-144+39-3=108+39-(144+3)\)

                          \(=147-147=0\)

Q(3) =0 donc  Q(x) est divisible par (x - 3) alors Q(x) peut se mettre sous forme de Q(x) = (x - 3) G(x)

 sachant que G(x) un polynôme  de degré  2

Effectuant la division de Q(x) par (x - 3) pour trouver   G(x) 

 Donc : \(G(x)=4x^{2}-4x+1\)

\(G(x)=4x^{2}-4x+1\)=\(\left ( 2x-1 \right )^{2}\) qui a pour racine \(x=\frac{1}{2}\)

D'ici les racines de Q(x) sont : 3 et \(\frac{1}{2}\)    et par suite 

\(Q(x)=4x^{3}-16x^{2}+13x-3=(x-3)\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}\)

De question 2 : on a 

\(4x^4-20x^3+29x^2-16x+3=\left (4x^{3}-16x^{2}+13x-3 \right )\left ( x-1 \right )\)

\(c'est\ \grave{a}\ dire\ P(x)=(x-1)Q(x)\)

or   \(Q(x)=(x-3)\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}\) 

Donc les racines de polynôme P(x) sont : 1 ; 3 et 1/2

4)ce qui conduit à mettre le polynôme sous forme de \(P(x)=(x-1)(x-3)\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}\)