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Trouver le polynôme Q(x)telqueP(x)=(x-1)Q(x)

has
(0)
 Polynômes
Soit P(x)=4x^4-20x^3+29x^2-16x+3
1)vérifier que P(1) =0
2)Trouver le polynôme Q(x)  tel que \bg_white P(x)=(x-1)Q(x)
3) déterminer les racines de Q(x) en déduire les racines de P(x)
4) factoriser P(x)
solution
1) vérifions que P(1) =0
P(1)=4\times 1^4-20\times 1^3+29\times 1^2-16\times 1+3=4-20+29-16+3=36-36=0
2) On a P(1) =0 donc le polynôme P(x) est  divisible par (x - 1)  d ' où il existe un polynôme Q(x) tel que P(x) = ( x-1 ) Q(x) avec d°Q= d°P - 1=4 -1 =3
Donc effectuant la division euclidienne de P(x) par (x- 1)  pour obtenir Q(x)
donc \bg_white {\color{DarkGreen}Q(x) =4x^{3}-16x^{2}+13x-3}
{\color{Magenta} 4x^4-20x^3+29x^2-16x+3}=\left ({\color{DarkGreen}4x^{3}-16x^{2}+13x-3} \right )\left ({\color{Blue} x-1} \right )\\ c'est\ \grave{a}\ dire\ P(x)=(x-1)Q(x)
3)
Q(3)=0 donc  Q(x) est divisible par (x - 3) alors Q(x) peut se mettre sous forme de Q(x) = (x - 3) G(x)
 sachant que G(x) un polynôme  de degré  2
effectuant la division de Q(x) par  (x - 3) pour trouver   G(x) 
https://mathshas.blogspot.com/2020/01/trouver-le-polynome-qxtelquepxx-1qx.html
donc \bg_white {\color{Teal} G(x)=4x^{2}-4x+1}
\bg_white {\color{Teal} G(x)=4x^{2}-4x+1=\left ( 2x-1 \right )^{2}} qui\ a\ pour\ racine\ {\color{Red} x=\frac{1}{2}}
d ici  les racines de Q(x) sont : 3 et \frac{1}{2}    et par suite \bg_white {\color{DarkGreen}Q(x)=4x^{3}-16x^{2}+13x-3=(x-3)\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}}
de question 2 : on a 
{\color{Magenta} 4x^4-20x^3+29x^2-16x+3}=\left ({\color{DarkGreen}4x^{3}-16x^{2}+13x-3} \right )\left ({\color{Blue} x-1} \right )\\ c'est\ \grave{a}\ dire\ P(x)=(x-1)Q(x)
or \bg_white {\color{DarkGreen}Q(x)=(x-3)\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}} donc les racines de polynôme P(x) sont : 1 ; 3 et 1/2
4)ce qui  conduit a mettre le polynôme sous forme de \bg_white {\color{Red}P(x)=(x-1)(x-3)\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}}
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