Addition de nombres décimaux relatifs
Somme de deux nombres décimaux relatifs de même signe est égale à un troisième nombre décimal qui aura le même signe et Sa distance à zéro est la somme des deux distances à zéro
Exemple :
3,5et 2,4 leur signe est positifs alors : 3,5+2,4=6,8 la somme est positif
(-9,3) et (-2,1) leur signe négatif alors :
(-9,3) +(-2,1) = (-11,4) la somme est négative : on ajoute les distances à zéro
La distance à zéro de (-9,3)=9,3
La distance à zéro de (-2,1)=2,1
Règle 2
Somme de deux nombres décimaux relatifs de signes contraires
Le signe de la somme est le signe du terme de plus grande distance à zéro
La distance à zéro de la somme est la différence des distances à zéro
Exemple1 :9,4+(-4) =5,4
Distance à zéro de 9,4 =9,4> 4 =distance à zéro de (-4) donc la somme a le signe de 9,4 positive
La somme a pour distance à zéro : 9,4-4=5,4
Exemple2 :
(-8) +3= (-5) : distance à zéro de (-8) =8> 3= distance à zéro de 3 donc la somme a le signe de -8 négative
La somme a pour distance à zéro :8-3=5
Propriété 1 :
La somme de deux nombres décimaux relatifs opposés est égale à 0
Exemple :
5+(-5) =0
Propriété 2 :
Dans l’expression où ne figurent que des additions : on peut changer l’ordre des termes et on peut regrouper les termes
Exemple :
4+(-6) = (-2) et -6+4= (-2)
-7+( -3) +2= (-10) +2= (-8)
-7+(-3) +2=-7+(-1) =-7-1= (-8)
Soustraction de nombres décimaux relatifs
*Règle :
Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé
a et b deux nombres décimaux relatifs :
a – b = a +(-b)
Exemple :
**distance entre deux points sur une règle graduée
Remarque : distance AB= distance BA
Multiplication de nombres décimaux relatifs
Règle :
Pour multiplier deux nombres relatifs , on multiple leurs distances à zéro et on applique la règle des signes :
Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.
Exemple :
1) Nombres de même signe
4,2×3,5= 14,7 ; (-6) × (-2,5) = 6 × 2,5 =15
2) Nombres de signes contraires
1,2 × (-3) = -(1,2 × 3) = -3,6
-7 × 4 = -(7 × 4) = -28
Propriétés
soient a et b deux nombres relatifs
a × (-1) = (-1) × a = a
1 × a = a × 1 = a 0 × a = a × 0 =0
(-a) × b = b × (-a) = -(a × b)
(-a) × (-b) = (-b) × (-a) = -( a × b) = -(b × a)
a× b = b × a
Exemples :
2 × (-3) = (-3) × 2 = -(2 ×3) = -(3 × 2) = -6
(-2,3) × (-3) =(-3) × (-2,3) = 2,3 × 3 =3 × 2,3 =6,9
Division de nombres décimaux relatifs
a) Inverse d’un nombre relatif différent de zéro
Définition :
Soit a un nombre relatif différent de 0 et soit b un nombre relatif L’inverse de nombre a est tel que a × b = 1. En d'autres termes, l'inverse du nombre a est égal à 1/a
Pour obtenir l'inverse d'un nombre
1. On met le nombre sous forme de fraction avec 1 au dénominateur a = a/1
2. On inverse les termes du numérateur et du dénominateur : a/1 a pour inverse 1/a se note aussi
Exemple :
10 est l’inverse de 0,1 ou bien 0,1 est l’inverse de 10 car 10 × 0,1 =0,1 × 10 =1
(-0,25) est l’inverse de (-4) car (-0,25) × (-4) =1
b) Quotient de deux nombres relatifs
Règle :
Pour calculer le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul on divise leurs distances à zéro et on applique la règle des signes :
Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est positif.
Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.
Propriété :
Diviser par un nombre relatif non nul revient à multiplier par son inverse
Quels que soient les nombres relatifs
Exemple :
A = 4,5 ÷ (-0,1) = 4,5 × (-10) =-(4,5 × 10) =-45
B = -30/-4 = (-30) ÷ (-4) =(-30) × (-0,25)=30 × 0,25
قاعدة1
مجموع عددين عشريين نسبيين لهما نفس الإشارة هو عدد عشري نسبي
اشارته هي إشارة العددين
مسافته عن الصفر هي مجموع مسافتي العددين من الصفر
مثال:
3,5 و2,4 اشارتهما موجبة ادن اشارة الجمع 3,5+2,4=6,8 موجبة
(-9,3) و -2,1) ( اشارتهما سالبة ادن اشارة الجمع
(-9,3) +(-2,1) = (-11,4) سالبة
تضاف المسافات عن الصفر
مسافة العدد (-9,3) عن الصفر هي 9,3
مسافة العدد (-2,1) عن الصفر هي 2,1
قاعدة2
مجموع عددين عشريين نسبيين اشارتهما مختلفتان هو عدد عشري نسبي
اشارته هي إشارة العدد الذي يبعد عن الصفر بأكبر مسافة
مسافته عن الصفر هي فرق المسافتين
مثال 1
9,4+(-4) =5,4
مسافة عن الصفر ل 9,4 هي 9,4
مسافة عن الصفر ل (-4) هي 4 و9,4> 4 ادن إشارة المجموع هي إشارة 9,4 موجبة
مسافة المجموع عن الصفر هي 9,4-4=5,4
مثال 2
(-8) +3 = (-5)
مسافة عن الصفر للعدد (-8) هي 8 أكبر من مسافة عن الصفر للعدد 3 ادن المجموع اشارته هي إشارة (-8)سالبة
مسافة المجموع عن الصفر =
5=8-3
خاصية1: مجموع رقمين عشريين متقابلين يساوي 0
مثال:
5+(-5) =0
خاصية2: في التعبير حيث توجد إضافات فقط: يمكننا تغيير ترتيب المصطلحات ويمكننا تجميع المصطلحات
مثال:
4+(-6) = (-2) و -6+4= (-2)
-7+( -3) +2= (-10) +2= (-8)
-7+(-3) +2=-7+(-1) =-7-1= (-8)
طرح الاعداد العشرية النسبية
قاعدة :
لحساب فرق عددين عشريين نسبيين نجمع العدد الأول ومقابل العدد الثاني.
a – b = a + ( - b ) : نسبيان عشريان عددان b و a
مثال:
**المسافة بين نقطتين على مستقيم مدرج:
ملاحظة مسافةAB= مسافة BA
ضرب الأعداد العشرية النسبية
قاعدة :
جداء عددين عشريين نسبيين هو جداء مسافتهم عن الصفرو نطبق القاعدة:
جداء عددين عشريين نسبيين لهما نفس الإشارة هو عدد عشري موجب
جداء عددين عشريين نسبيين مختلفي الاشارة هو عدد عشري نسبي سالب
مثال :
1) عددين عشريين نسبيين لهما نفس الإشارة
4,2×3,5= 14,7 ; (-6) × (-2,5) = 6 × 2,5 =15
2) عددين عشريين نسبيين مختلفي الإشارة
1,2 × (-3) = -(1,2 × 3) = -3,6
-7 × 4 = -(7 × 4) = -28
خاصيات :
ليكون a و b عددين عشريين نسبيين
a × (-1) = (-1) × a = a
1 × a = a × 1 = a 0 × a = a × 0 =0
(-a) × b = b × (-a) = -(a × b)
(-a) × (-b) = (-b) × (-a) = -( a × b) = -(b × a)
a× b = b × a
مثال :
2 × (-3) = (-3) × 2 = -(2 ×3) = -(3 × 2) = -6
(-2,3) × (-3) =(-3) × (-2,3) = 2,3 × 3 =3 × 2,3=6,9
قسمة الأعداد العشرية النسبية
أ) عكس عدد نسبي يخالف الصفر
تعريف:
ليكونa عدد نسبي يخالف الصفر وb عدد نسبي
عكس العدد a حيث a × b = 1
وبعبارة أخرى عكس العدد a هو 1/a
للحصول على عكس عدد
1.نضع الرقم ككسر مع 1 في المقام a = a/1
2.ثم نقوم بتغيير البسط الى المقام: a/1 عكسه هو 1/aنرمز له كذلك ب
مثال:
عكس العدد 10 هو 0,1 لأن 10 × 0,1 = 1
عكس العدد (-0,25) هو (-4) لأن
(-4) × (-0 ,25) =1
ب) خارج عددين عشريين نسبيين
قاعدة:
خارج عددين عشريين نسبيين لهما نفس الإشارة هو عدد عشري موجب
خارج عددين عشريين نسبيين مختلفي الاشارة هو عدد عشري نسبي سالب
خاصية:
القسمة على عدد نسبي مخالف الصفر هو ضرب العكسي
مهما كانت الأرقام النسبية
مثال:
A = 4,5 ÷ (-0,1) = 4,5 × (-10) =-(4,5 × 10) =-45
B = -30/-4 = (-30) ÷ (-4) =(-30) × (-0,25)
=30 × 0,2
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