Relations binaires

Relations binaires

définition 

une relation binaire R sur un ensemble E vers un ensemble F  est une partie R de  E× F :
Si (x,y)∈R on dit x est en relation avec y  et on note x R y
Si (x,y)∉R on dit que  x  n'est pas en relation avec y  et on note  .Dans le cas particulier où E= F on dit que R est une relation binaire  définie sur E

Remarque :
Une relation peut être représentée notamment par un graphique sagittal, par un graphique cartésien ou par un diagramme cartésien.

Graphique sagittal:

Soit A = {1, 5, 6, 9}, B = {0, 3, 5, 7, 10} et la relation "est plus petit que", c'est à dire la relation est définie comme:
 R  : A→ B  tel que  ∀(x, y )  ∈ A×B  x R y ⇔ x < y
le graphique sagittal est :

    A                                 B 

Le graphe de cette relation est : {(1, 3), (1, 5), (1, 7), (1, 10), (5, 7), (5, 10), (6, 7), (6, 10), (9, 10)}.

Graphique cartésien:

Soit A = {1, 5, 6, 9}, B = {0, 3, 5, 7, 10} et la relation "est plus petit que" le graphique cartésien est :

Grille dans laquelle chaque droite est à égale distance l'une de l'autre autant horizontalement que verticalement  donc le graphique cartésien pour la relation:
R  : A→ B  tel que  ∀(x, y )  ∈ A×B  x R y ⇔ x < y  est le suivant

exemples de relations binaires
 Sur l 'ensemble   des nombres réel on connait les relations usuelles ≤ ;< ;> ; ≥  ; =   sont les relations binaires

Relation d'ordre
Définition
soit R  relation binaire définie sur E , R est dite relation d'ordre  lorsque
R est réflexive c'est à dire   quel que soit x ∈ E : x R x
R est antisymétrique c'est à dire ∀x∈ E et ∀y∈ E ( x R y et y R x ⇒ (x=y) )
R est transitive  c'est à dire  ∀x∈ E et ∀y∈ E et  ∀ z∈ E    (x R y) et (y R z) ⇒ (x R z)


Exemples
la relation d'ordre x ≤  y sur les nombres réels
la relation d'ordre x ≥ y sur les nombres réels
la relation  d 'inclusion   ⊂ sur les parties d'un ensemble

Notation  :
On note souvent les relations d'ordre avec le symbole ≤ ou ≥

Remarque  la relation   x < y  sur  n'est pas une relation d'ordre  car elle n 'est pas réflexive
x < y  pour x ≤ y et x ≠ y


Ordre total

définition
La relation d 'ordre  est une relation d'ordre total  .lorsque deux éléments sont toujours comparables
Étant donnés deux nombres réels x et y on a toujours x ≤  y ou  x ≥ y
∀x∈  et ∀y∈  : ( x ≤  y ou  x ≥ y )

La relation d'inclusion entre sous-ensembles d'un ensemble  n'est pas une relation d'ordre total sur P(E)  Il existe des ensembles tel que le premier ne soit pas inclus dans le second,ni le second inclus dans le premier. par exemple [ 1,5] pas inclus sur   [0 ,1] et  [0, 1] pas inclus sur   [1,5]

 pour  les intervalles de