DévelopperA= (a+b)^{3}-(a-b)^{3}}

Développer l'expression suivante:

$\bg_black {\color{Red}A= (a+b)^{3}-(a-b)^{3}} et\ trouver\ a; b;c\ et\ d\ sachant \ que: \\ \frac{a}{2}=\frac{b}{3}\ et \frac{b}{7}=\frac{c}{5}\ et \ \frac{c}{6}=\frac{d}{7} \ \ et \ \ a+b+c+d=945\ calculer\ la\ valeur\ de\ A$

Développant $\bg_black {\color{Red} A=(a+b)^{3}-(a-b)^{3}}$
donc : $A=(a+b)^{3}-(a-b)^{3}=(a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3})-(a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3})\\ =a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}-a^{3}+3a^{2}b-3ab^{2}+b^{3}\\ =6a^{2}b+2b^{3}$
trouvant les valeurs de a ; b ; c et d
On a:
$\frac{a}{2}=\frac{b}{3 }\Rightarrow {\color{Red} b=\frac{3}{2}a}\ {\color{Blue} (1)}\\ \\ \frac{b}{7}=\frac{c}{5}\Rightarrow c=\frac{5}{7}b\ d'o\grave{u} \ \ {\color{Red} c=\frac{5}{7}\times \frac{3}{2}a=\frac{15}{14}a}\ {\color{Blue} \left ( 2 \right )}\\ \\ \frac{c}{6}=\frac{d}{7}\Rightarrow d=\frac{7}{6}c\ do\grave{u}\ {\color{Red} d=\frac{7}{6}\times \frac{15}{14}a=\frac{5}{4}a}\ {\color{Blue} (3)}$
et en plus a + b +c + d =945 et en remplace b ; c et d par les valeurs en fonction de a [ (1) ,(2) ,(3)] ce qui donne que :
$a+b+c+d =a+\frac{3}{2}a+\frac{15}{14}a+\frac{5}{4}a=a(1+\frac{3}{2}+\frac{15}{14}+\frac{5}{4})=945\\ \\ a(1+\frac{3}{2}+\frac{15}{14}+\frac{5}{4})=a\left ( \frac{28+42+30+35}{28} \right )=a\frac{135}{28}=945$
Donc: $\bg_green {\color{DarkRed} a=945\times \frac{28}{135} =196}\ \;\ {\color{Red} b=\frac{3}{2} a=\frac{3}{2}196=294}\ ; {\color{DarkRed} c=\frac{15}{14}a=210}\ \ et\ {\color{Red} d=\frac{5}{4}a=245}$
et par suite: a +b +c +d = 196 +294 +210 +245 = 945
$A=6a^{2}b+2b^{3} =6a^{2}\left ( \frac{2}{3} \right )+ 2\times \left (\frac{2}{3} \right )^{3}a^{3}=6\times 196^{2}\times \left ( \frac{2}{3} \right )+2\times \frac{8}{27}\times196 ^{3}= 4615611,259259259$

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