Vecteurs

1) Définition 
2) Norme d'un vecteur 
3)Egalité de deux vecteurs 
4)Somme de deux vecteurs 
5)Multiplication d' un vecteur par un réel
6)vecteurs colinéaires
7) Vecteurs colinéaires et alignement
8) Relations entre deux vecteurs colinéaires
9)Milieu d'un segment
1) Définition 

Un vecteur   est un objet généralisant  les notions de la géométries  , de l’algèbre (segment de droite orienté )un vecteur est caractérisé  par : sa direction , son sens et sa norme
exemple :

la direction de  est la droite (AB), le sens de  est de A vers B , la norme de  est la longueur de AB ==3,162

2) Norme d'un vecteur :
la norme d'un vecteur  correspond à sa mesure  on la note  , si   est un vecteur de coordonnées (x ; y ) alors 
3)Egalité de deux vecteurs :
deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction , même sens et même norme ( même coordonnées)
Exemple:les vecteurs et  ont le même sens et 
4)Somme de deux vecteurs :
si  et  sont deux vecteurs données  , la somme de  +  
on trace le vecteur  à partir d'une origine A ce qui donne  le vecteur   et en B on trace  le vecteur  ce qui donne le vecteur   et la somme des vecteurs  et    est le vecteur  = + 
Ou bien on applique règle du parallélogramme  

Exemple:

5)Multiplication d' un vecteur par un réel:
Si  désigne un vecteur et k un réel  
le produit du vecteur  par le réel k est un vecteur   k
 *    si k=0  ou  =0    k =0 
**  si k >0 et  ≠ 0     k et  ont la même direction , le même sens et      
*** si k < 0 et ≠ 0      k et  ont la même direction  , sens opposés et    
Exemple : soit  un vecteur donné et  et  deux autres vecteurs tel que  et  

,  et  ont la même direction  celle de vecteur  leurs droites sont  parallèles

 et  sont le même sens car  4 > 0

 et  sont  de sens opposés  car ( - 3) < 0

6)vecteurs colinéaires

définition :

on dit que deux vecteurs  et  sont colinéaires s'il existe un réel k tel que  =k

Remarque : 

le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur , car  quel que soit  , 0 =

 sont colinéaire si et seulement si ils ont même direction

Exemples :

1) soit ABCD un parallélogramme et E  un point  donné  tel que 

montrer que  sont colinéaires

solution : 

on a ABCD parallélogramme donc   d'où  donc  et enfin on dit que  sont colinéaires

2) ABCD un parallélogramme et  (EF) est parallèle à (AB) et (CD)

(AB)//(CD) donc  sont colinéaire d'où il existe un réel k tel que 

 sont de même sens alors k > 0 et 

(AB) // (FE) donc  sont colinéaire d'où il existe un réel k' tel que 

 sont de sens opposés  donc k' < 0 et 

(FE) //( CD) donc  sont colinéaires d'où il existe un réel k'' tel que 

 sont de sens opposés donc k'' < 0 et  

7) Vecteurs colinéaires et alignement

on dit que trois point A , B et C sont alignés   s'il existe un réel k  tel que  

on dit que deux vecteurs sont alignés si  

exemple:

soient A et  B deux point donnés  placer le point C tel que 

 donc  par définition   sont colinéaires  d'où A , B et C sont alignés  et de plus  donc  sont de même sens  et  

8) Relations entre deux vecteurs colinéaires

Dans un plan muni d'un repere

deux vecteurs  et   ayant  respectivement les coordonnées  (x ; y ) et  ( t ; z ) sont colinéaires si et seulement si   x z = y t  

c'est à dire  déterminant (,) =

Exemple:

Soit dans un repère du plan les vecteurs  et .

 sont colinéaires car (3×2) - (1×6)=6 -6 =0

Soient  ne sont pas colinéaires car 

8)Milieu d'un segment:

définition

On dit que I est le milieu du segment [AB] si 

Propriété 1:

I milieu du segment [AB] si et seulement si 

 

Propriété 2:

soit I milieu du segment [AB] et M un point du plan  donc on a : 

Démonstration:

donc 

Propriété 3: 

Soit ABC un triangle et I milieu  de  [AB]  et J milieu de [AC]

montrer que 

Soit ABC  un triangle donné  I Milieu de [AB] et J Milieu de [AC] 

 on a  d ' où (I J) // (B C)