2) Norme d'un vecteur
3)Egalité de deux vecteurs
4)Somme de deux vecteurs
5)Multiplication d'un vecteur par un réel
6)vecteurs colinéaires
7) Vecteurs colinéaires et alignement
8) Relations entre deux vecteurs colinéaires
9)Milieu d'un segment
1) Définition
2) Norme d'un vecteur :
3)Egalité de deux vecteurs :
Exemple:
4)Somme de deux vecteurs :
5)Multiplication d'un vecteur par un réel :
6)vecteurs colinéaires
on dit que deux
vecteurs →u et \overrighatarrowv sont
colinéaires s'il existe un réel k tel
que →v=k→v
Remarque :
le vecteur nul →0 est colinéaire à
tout vecteur →u, car quel que
soit →u:0→u=→0
→u≠0 et→v≠0sont colinéaire si et seulement si ils ont même direction
Exemples :
1) soit ABCD un parallélogramme et E un point donné tel que →AE=14→AB
Montrer que→AE et →CD
sont colinéaires
Solution :
On a ABCD parallélogramme d'où →AB=→CD donc →AE=14→DC donc →AE=−14→CD et donc on dit que →AE et →CD sont colinéaires
2) ABCD un parallélogramme et (EF) est parallèle à (AB) et (CD)
(AB)//(CD) donc →AB et →DC sont colinéaire d'où il existe un réel
k tel que →AB=k→DC
→AB et →DC sont de même
sens alors k>0 et k=ABDC
(AB) // (FE) donc →AB et →FE sont colinéaire d'où il existe un réel k'
tel que →AB=k′→FE
→AB et →FE sont de sens
opposés donc k′<0 et k′=−ABFE
(FE) //( CD) donc →FE et →DC sont colinéaires d'où il existe un réel
k″ tel
que →FE=k″→DC
→FE et →DC sont de sens opposés donc k″<0 et k″=−FEDC
7) Vecteurs colinéaires et alignement
On dit que trois point A , B et C sont alignés s'il
existe un réel k tel
que →AB=k→AC ou →AB=k→BC
On dit que deux vecteurs :→u(xy) et →v(zt) sont alignés
si det(→u;→v)=0⇔|x ty z|=xz−yt=0
exemple:
Soient A et B deux point donnés placer le point C tel
que →AC=34→AB
→AC=34→AB donc par définition →AC et →AB sont colinéaires d'où A , B et C sont alignés et de plus 34>0 donc →AC et →AB sont de même sens et AC=34AB
8) Relations entre deux vecteurs colinéaires
Dans un plan muni d'un repère (O;→i;→j)
deux
vecteurs→u et →v ayant
respectivement les coordonnées (x ; y ) et ( t ; z )
sont colinéaires si et seulement si x z = y t
c'est à dire déterminant
(→u,→v)=|x ty z|=xz−yt=0
Exemple:
Soit dans un repère du plan les vecteurs :
→u(31) et →v(62)
→u et →v sont
colinéaires car (3×2)−(1×6)=6−6=0
Soient →w(13) et →m(23). les vecteurs : →w et →m ne sont pas colinéaires
car det(→u;→v)≠0⇔|1 23 3|=1×3−3×2=−3
8)Milieu d'un segment :
Définition
On dit que I est le milieu du segment [AB]
si →IA+→IB=→0
Propriété 1:
I milieu du segment [AB] si et seulement si
→AI=12→AB→IA=−→IB=→BI→IB=12→AB
Propriété 2:
soit I milieu du segment [AB] il existe M un point du
plan tel que :
→MA+→MB=2→MI ou 12(→MA+→MB)=→MI
Démonstration:
→MA+→MB=→MI+→IA+→MI+→IB=2→MI+→IA+→IB or →IA+→IB=→0
Donc →MA+→MB=2→MI
Soit ABC un triangle donné I Milieu de [AB] et J Milieu de
[AC]
On
a →IJ=12→BC alors
(I J) // (B C)
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