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Un vecteur   est un objet généralisant les notions géométries, de l’algèbre (segment de droite orienté) un vecteur est caractérisé par: sa direction, son sens et sa norme
exemple :


la direction de u est la droite (AB), le sens de u est de A vers B , la norme de u est la longueur de AB=32+12=10=3,162

2) Norme d'un vecteur :

la norme d'un vecteur  ucorrespond à sa mesure  on la note 
u , si   u est un vecteur de coordonnées (x ; y ) alors  u=x2+y2

3)Egalité de deux vecteurs :

deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction , même sens et même norme ( même coordonnées)

Exemple:

les vecteurs uet   v ont le même sens et AB=CD

4)Somme de deux vecteurs :


si  u et  v sont deux vecteurs données  , la somme de  u+v
on trace le vecteur  u à partir d'une origine A ce qui donne  le vecteur AB  et en B on trace  le vecteur   vce qui donne le vecteur BC  et la somme des vecteurs  u et     v est le vecteur  AC=u+v
Ou bien on applique règle du parallélogramme 
 OA+OB=OM=AC

Exemple:


5)Multiplication d'un vecteur par un réel :

Si  u désigne un vecteur et k un réel  
le produit du vecteur u par le réel k est un (k \overrightarrow{u}\)
 *    si k=0ouu=0ku=0 
**  si k>0 et u0    ku et u ont la même direction, le même sens et   ku=ku
***si k<0 et  u0   alors    kuetu ont la même direction  , sens opposés et   ku=ku   
Exemple :soit  u un vecteur donné et v et w deux autres vecteurs tel que
 v =4u et w = 3u

les  vet w ont la même direction   que celle de vecteur  
u,leurs droites sont  parallèles
\bg_white \small \overrightarrow{u} et \bg_white {\color{Red} \overrightarrow{v} } sont le même sens car  4 > 0
\bg_white \small \overrightarrow{u} et \bg_white {\color{Blue} \overrightarrow{w} } sont  de sens opposés  car ( - 3) < 0
v=4u=4u=42²+1²=45=(8)²+(4)²=45=35=4²(2²+1)=45
w=3u=3u=42²+1²=35=(6)²+(3)²=45=35

6)vecteurs colinéaires

définition :

on dit que deux vecteurs u et \overrighatarrowv sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v=kv

Remarque : 

le vecteur nul 0 est colinéaire à tout vecteur u, car  quel que soit u:0u=0

u0 etv0sont colinéaire si et seulement si ils ont même direction

Exemples :

1) soit ABCD un parallélogramme et E un point donné tel que AE=14AB 

Montrer queAE et CD   sont colinéaires

Solution : 

On a ABCD parallélogramme d'où AB=CD donc AE=14DC donc AE=14CD et donc  on dit que AE et CD  sont colinéaires

2) ABCD un parallélogramme et (EF) est parallèle à (AB) et (CD)


(AB)//(CD) donc AB et DC sont colinéaire d'où il existe un réel k tel que AB=kDC

AB et DC sont de même sens alors k>0 et k=ABDC

(AB) // (FE) donc AB et FE sont colinéaire d'où il existe un réel k' tel que AB=kFE

AB et FE sont de sens opposés  donc k<0 et k=ABFE

(FE) //( CD) donc FE et DC sont colinéaires d'où il existe un réel k tel que FE=kDC

FE et DC sont de sens opposés donc k<0 et k=FEDC


7) Vecteurs colinéaires et alignement

On dit que trois point A , B et C sont alignés   s'il existe un réel k  tel que  AB=kAC ou AB=kBC

On dit que deux vecteurs :u(xy) et v(zt) sont alignés si    det(u;v)=0|x  ty  z|=xzyt=0

exemple:

Soient A et B deux point donnés placer le point C tel que AC=34AB

AC=34AB donc  par définition AC et AB sont colinéaires d'où A , B et C sont alignés  et de plus 34>0 donc AC et AB sont de même sens  et  AC=34AB

8) Relations entre deux vecteurs colinéaires

Dans un plan muni d'un repère (O;i;j)

deux vecteursu  et v  ayant  respectivement les coordonnées  (x ; y ) et  ( t ; z ) sont colinéaires si et seulement si   x z = y t  

c'est à dire  déterminant (u,v)=|x  ty  z|=xzyt=0

Exemple:

Soit dans un repère du plan les vecteurs : u(31)  et v(62)

u et v sont colinéaires car (3×2)(1×6)=66=0

Soient w(13) et m(23). les vecteurs : w et m ne sont pas colinéaires car det(u;v)0|1  23  3|=1×33×2=3

8)Milieu d'un segment :

Définition

On dit que I est le milieu du segment [AB] si IA+IB=0

Propriété 1:

I milieu du segment [AB] si et seulement si 

AI=12ABIA=IB=BIIB=12AB

Propriété 2:

soit I milieu du segment [AB]  il existe M un point du plan  tel que : 

MA+MB=2MI ou 12(MA+MB)=MI

Démonstration: MA+MB=MI+IA+MI+IB=2MI+IA+IB or IA+IB=0

Donc MA+MB=2MI

Propriété 3: 
Soit ABC un triangle et I milieu  de  [AB]  et J milieu de [AC]
montrer que: IJ=12BC
IJ=IB+BJ=12AB+BC+CJ=12AB+BC+12CA=12(AB+CA)+BC=12CB+BC=(112)BC=12BC


Soit ABC un triangle donné I Milieu de [AB] et J Milieu de [AC] 

 On a IJ=12BC alors (I J) // (B C)

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