Vecteurs

• 1) Définition
• 2) Norme d'un vecteur
• 3) Egalité de deux vecteurs
• 4) Somme de deux vecteurs
• 5) Multiplication d'un vecteur par un réel
• 6) Vecteurs colinéaires
• 7) Vecteurs colinéaires et alignement
• 8) Relations entre deux vecteurs colinéaires
• 9) Milieu d'un segment
• 10)La Translation (Crucial pour 3AC)

1) Définition

Un vecteur est un objet généralisant les notions géométriques de l’algèbre (segment de droite orienté). Un vecteur est caractérisé par : sa direction, son sens et sa norme.

Exemple :

la direction de \(\overrightarrow{u}\) est la droite (AB), le sens de \(\overrightarrow{u}\) est de A vers B, la norme de \(\overrightarrow{u}\) est la longueur de \(AB = \sqrt{3^{2}+1^{2}} = \sqrt{10} = 3,162\)

2) Norme d'un vecteur :

la norme d'un vecteur \(\overrightarrow{u}\) correspond à sa mesure on la note :

\(\left \| \overrightarrow{u} \right \|\) , si \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur de coordonnées (x ; y ) alors \( \left \| \overrightarrow{u} \right \| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

3) Egalité de deux vecteurs :

deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme (mêmes coordonnées)

Exemple :

les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ont le même sens et \(\left \| \overrightarrow{AB} \right \| = \left \| \overrightarrow{CD} \right \|\)

4) Somme de deux vecteurs :

Si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont deux vecteurs donnés, la somme de \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) :

On trace le vecteur \(\overrightarrow{u}\) à partir d'une origine \(A\) ce qui donne le vecteur \(\overrightarrow{AB}\), et en \(B\) on trace le vecteur \(\overrightarrow{v}\) ce qui donne le vecteur \(\overrightarrow{BC}\). La somme des vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) est le vecteur : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\)

Ou bien on applique la règle du parallélogramme : \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AC}\)

Exemple :

Relation de Chasles : Pour tous points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan :
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)

L'opposé du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est le vecteur \(\overrightarrow{BA}\), tel que \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}\).

5) Multiplication d'un vecteur par un réel :

Si \(\overrightarrow{u}\) désigne un vecteur et \(k\) un réel

le produit du vecteur \(\overrightarrow{u}\) par le réel \(k\) est un vecteur noté \(k\overrightarrow{u}\)

• * Si \(k = 0\) ou \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\), alors \(k\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\)
• ** Si \(k > 0\) et \(\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}\), alors \(k\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}\) ont la même direction, le même sens et \(\left\| k\overrightarrow{u} \right\| = k\left\| \overrightarrow{u} \right\|\)
• *** Si \(k < 0\) et \(\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}\), alors \(k\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}\) ont la même direction, des sens opposés et \(\left\| k\overrightarrow{u} \right\| = -k\left\| \overrightarrow{u} \right\|\)

Exemple :

Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur donné et \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) deux autres vecteurs tels que :

\(\overrightarrow{v} = 4\overrightarrow{u}\)  et  \(\overrightarrow{w} = -3\overrightarrow{u}\)

• Les vecteurs \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) ont la même direction que celle du vecteur \(\overrightarrow{u}\), leurs droites sont parallèles.

• \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ont le même sens car \(4 > 0\).

• \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont de sens opposés car \((-3) < 0\).

\(\left\| \overrightarrow{v} \right\|\) \(= \left\| 4\overrightarrow{u} \right\| = 4\left\| \overrightarrow{u} \right\| = 4\sqrt{2^2+1^2} = 4\sqrt{5} = \sqrt{8^2+4^2} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}\)

\(\left\| \overrightarrow{w} \right\|\) \(= \left\| -3\overrightarrow{u} \right\| = 3\left\| \overrightarrow{u} \right\| = 3\sqrt{2^2+1^2} = 3\sqrt{5} = \sqrt{(-6)^2+(-3)^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)

6) Vecteurs colinéaires

Définition :

On dit que deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que : \(\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u}\)

Remarque :

• • Le vecteur nul \(\overrightarrow{0}\) est colinéaire à tout vecteur \(\overrightarrow{u}\), car quel que soit \(\overrightarrow{u}\) : \(0\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\).
• • Deux vecteurs \(\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}\) et \(\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}\) sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

Exemples :

1) Soit \(ABCD\) un parallélogramme et \(E\) un point donné tel que : \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\).

Montrer que \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.

Solution :

On a \(ABCD\) un parallélogramme d'où \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
Donc \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{DC}\) donc \(\overrightarrow{AE} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{CD}\).
Et donc on dit que \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.

2) \(ABCD\) un parallélogramme et \((EF)\) est parallèle à \((AB)\) et \((CD)\).

• \((AB) // (CD)\) donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont colinéaires d'où il existe un réel \(k\) tel que : \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{DC}\).
\(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont de même sens alors \(k > 0\) et \(k = \frac{AB}{DC}\).

• \((AB) // (FE)\) donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{FE}\) sont colinéaires d'où il existe un réel \(k'\) tel que : \(\overrightarrow{AB} = k'\overrightarrow{FE}\).
\(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{FE}\) sont de sens opposés donc \(k' < 0\) et \(k' = -\frac{AB}{FE}\).

• \((FE) // (CD)\) donc \(\overrightarrow{FE}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont colinéaires d'où il existe un réel \(k''\) tel que : \(\overrightarrow{FE} = k''\overrightarrow{DC}\).
\(\overrightarrow{FE}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont de sens opposés donc \(k'' < 0\) et \(k'' = -\frac{FE}{DC}\).

7) Vecteurs colinéaires et alignement

Propriété géométrique :

On dit que trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés s'il existe un réel \(k\) tel que : \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\)  ou  \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{BC}\)

Condition analytique :

On dit que deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}z\\ t\end{pmatrix}\) sont colinéaires (ou alignés) si : \(\det(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}) = 0 \iff \begin{vmatrix}x & z\\ y & t\end{vmatrix} = xt - yz = 0\)

Exemple :

Soient \(A\) et \(B\) deux points donnés, placer le point \(C\) tel que : \(\overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\) donc par définition \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires, d'où les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
De plus, comme \(\frac{3}{4} > 0\), alors \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont de même sens, et la longueur mesure \(AC = \frac{3}{4}AB\).

8) Relations entre deux vecteurs colinéaires

Dans un plan muni d'un repère \(\left(O;\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}\right)\) :

Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ayant respectivement les coordonnées \((x ; y)\) et \((t ; z)\) sont colinéaires si et seulement si : \(xz = yt\)

C'est-à-dire que leur déterminant est nul : \(\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = \begin{vmatrix}x & t\\ y & z\end{vmatrix} = xz - yt = 0\)

Exemples :

• Soient dans un repère du plan les vecteurs : \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires car \((3\times 2) - (1\times 6) = 6 - 6 = 0\).

• Soient \(\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}1\\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{m}\begin{pmatrix}2\\ 3 \end{pmatrix}\) deux vecteurs :

Les vecteurs \(\overrightarrow{w}\) et \(\overrightarrow{m}\) ne sont pas colinéaires car :
\(\det(\overrightarrow{w} ; \overrightarrow{m}) = \begin{vmatrix}1 & 2\\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 1\times 3 - 3\times 2 = 3 - 6 = -3 \neq 0\)

9) Milieu d'un segment :

Définition :

On dit que \(I\) est le milieu du segment \([AB]\) si : \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\)

Propriété 1 :

\(I\) milieu du segment \([AB]\) si et seulement si :

\(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{BI}\)
\(\overrightarrow{IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

Propriété 2 :

Soit \(I\) milieu du segment \([AB]\), pour tout point \(M\) du plan on a :

\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\)  ou  \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) = \overrightarrow{MI}\)

Démonstration :

\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} = 2\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}\)
Or \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\).
Donc \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\)

Propriété 3 :

Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) milieu de \([AB]\) et \(J\) milieu de \([AC]\).

Montrer que : \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CJ}\)
\(\phantom{\overrightarrow{IJ}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}) + \overrightarrow{BC}\)
\(\phantom{\overrightarrow{IJ}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} = (1 - \frac{1}{2})\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)

Soit \(ABC\) un triangle donné \(I\) Milieu de \([AB]\) et \(J\) Milieu de \([AC]\).
On a \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) alors \((IJ) // (BC)\).

10) La Translation (Crucial pour 3AC)

A) Image d'un point :

Dire que le point \(M'\) est l'image du point \(M\) par la translation qui transforme \(A\) en \(B\) (de vecteur \(\overrightarrow{AB}\)) signifie que :

\(\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}\)

Ceci équivaut à dire que le quadrilatère \(ABM'M\) est un **parallélogramme**.

B) Propriétés de conservation :

La translation conserve : les longueurs, l'alignement des points, les mesures des angles et les aires.

• L'image d'une droite est une droite parallèle.
• L'image d'un segment est un segment égal (de même longueur).
• L'image d'un cercle est un cercle de même rayon.