Ensembles et applications(produit cartésien)

1) Produit cartésien de deux ensembles

2) Applications

3)Exercice
4) Injection , surjection , bijection

1) Produit cartésien de deux ensembles:

Soit (o,i ,j )un repère orthogonal 
A ; B ; C  et M quatre points du plan  différents

A≠B et A≠C  et C≠M donc ( 1;2 )≠( 2;1 ) et  (1;2)≠(-1;2) et (-1;2) ≠ (-1: 4)

Donc le couple  ( x; y ) ≠ ( y ; x )  si x ≠ y

a) Définition:

Soient E et F deux ensemble non vide  , le produit cartésien des deux ensemble  E et F dans cet ordre est l'ensemble des couples ( x ; y ) tels que  x ∈ E  et  y ∈ F 
on écrit : E × F = { (x ; y ) /  x  ∈ E et y ∈ F } ,  (x ; y ) ∈  E × F ⇔ x  ∈ E et y ∈ F
E × E = E² est le carrée cartésien de  l'ensemble E      
       E² = { ( x ; y) / x ∈ E  et y ∈ E }
Exemples :
ℝ² = ℝ × ℝ = { ( x ; y) / x ∈ ℝ et y ∈ ℝ }    
 ( ℕ*)² = ℕ* × ℕ* = { ( p ; q ) / p ∈ℕ* et q ∈ℕ* } 
Soient E et F deux ensemble   avec E ={ 1; 2} et F={ a; b ; c }
E × F = { ( 1 ;a ) ; ( 1 ; b ) ; ( 1 ; c) ; (2 ; a ) ; ( 2 ; b ) ; ( 2 ; c) }

b) Représentation  graphique de E × F 

Exercice d'application

Représenter graphiquement les  ensembles suivants:

i )    [ - 1 ;  1 ] × [ 0 ; 2 ] 

i i )    ] -∞ ; 0 ]  × [ 0 ; 1 ] 

solution

i )   [ - 1 ;  1 ] × [ 0 ; 2 ] = { (x ; y ) /  x ∈ [ - 1 ;  1 ] et y ∈ [ 0 ; 2 ] }

                                 =  { (x ; y ) /  - 1 ≤   x  ≤ 1  et   0  ≤  y  ≤  2 }

i i )    ] -∞ ; 0 ]  × [ 0 ; 1 ]  = {  (x ; y ) /  x ∈ ] -∞ ; 0 ]  et  y ∈ [ 0 ; 1 ] }

                                           = {  (x ; y ) /  x ≤  0 [  et 0  ≤  y ≤  1 }

c) Généralisation

Soit  une famille d 'ensembles  non vide

d) Remarques : 

Soient E et F  deux ensembles non vide 
i ) le produit cartésien n'est pas commutative  signifié que    E × F  ≠ F × E   
Exemple:
E = { 2 }  et   F =  { 3 } 
E × F  = { ( 2 ; 3 ) }  et  F × E  = { ( 3 ; 2 ) } sont différents car  ( 2 ; 3 ) ≠ ( 3; 2 )
i i) ∅  × E = E × ∅  = ∅

2) Applications 

1er cas : deux élément c et d  de E ne sont pas relient à aucun élément de F
2 ème  cas : un élément  d de E est relie à deux élément de F , f(d) = 3 et f(d) = 4 
3 ème cas : chaque élément de E est relie à un unique élément de F et 
 f( c) = f(d) = 3
4 ème cas : chaque élément de E est relie à un unique élément de F

a) Définition : 

Soient E et F deux ensembles non vide , on appelle application qu ' on note f ou R toute relation qui  relie tous les élément  x de E à  unique élément  y de F. 

On écrit : 
E est l'ensemble de départ de l'application f 
F est l'ensemble d'arrivée de l'application f
y = f(x) s'appelle l'image de x par l'application f
x s'appelle l'antécédent de y par l'application f
Exemple :
Soient deux relations f et g définies par : 

on a f (1) = 0 et f(1) =1 donc f n'est pas une application 
si f  est définie de la façon suivante : donc f(1)= 0
et f est une application de ℝ vers ℝ (chaque élément de l'ensemble de départ ℝ a une unique image dans l'ensemble d'arrivé ℝ
 g aussi n 'est pas une application car   x = 1 n 'admet pas d'image 
si on définie g de la façon suivante  c'est la condition pour que g soit une application de ℝ-{ 1} vers ℝ

3-1) Exercice 1

soit montrer que f est une application de ℝ vers ℝ

solution 

Remarque :
On note A(E,F)  ou   l’ensemble des applications de E dans F

b) Le graphe d'une application 

Soient E et  F deux ensembles non vide 

définition d'un graphe 
un graphe dans E × F c' est une partie G de E × F  qui vérifie la condition d'existence et  unicité de l'image ∀x ∈ E, ∃!y ∈ F,(x, y) ∈ G 
graphe d'une application 
soit  le graphe de f est l 'ensemble 
Remarque  :
Exemple :
soit   

c) Egalité de deux applications

Soient deux applications 

On dit que f et g sont égales si :

E = G  et  F = H  et ( ∀ x ∈ E )   :  f ( x ) = g ( x ) 

 Exemple : 

soit A un ensemble  non vide   ( P(A) ensemble des parties de A )

f et  g ont le même ensemble de départ  P( A ) et même ensemble d 'arrivée P (A)

et 

 donc f = g

3-2)Exercice 2:

soient f et g deux  applications définie par:

  et montrer que f = gsolution  

d) Restriction ; Prolongement d'une application

Définition

Soient f, g et h des applications définie par:

f: E→F      et   g: G→H    et  h :  A→B

    x↦ f(x)              x↦ g(x)           x↦ h(x)

On dit que g est la restriction de f à l'ensemble G si et seulement si:

 [(G ⊂ E ) et (∀ x ∈ G ): f ( x ) = g ( x )  et   F = H] 

On dit que h est un prolongement  de f à l'ensemble A  si et seulement si :

 [(E ⊂ A ) et   H = B et  (∀ x ∈ E ): f ( x ) = g ( x )] 

h est un prolongement de f ⇔ f est la restriction de h

3-3)Exercice 3

   et  montrer que h est un prolongement de g sur ℝsolution 

e) Image  directe , image réciproque 

Définition 

soient E et F deux ensemble non vide 

 f une application de l'ensemble E dans l'ensemble F .

Pour toute partie A de E ( A ∈ P (E) )  , le sous- ensemble de  F  formé des images  des éléments de A on le note f (A ) s' appelle l'image directe de A : f ( A ) =  { f ( x ) / x ∈  A }

Pour toute partie  B de F  ( B ∈ P (F ) ) , le sous - ensemble de E défini par  s'appelle image réciproque de B  on note 

Remarque : 

*  f (A ) =  { y ∈ F ; ∃  x ∈ A tel que y = f (x ) }

*  y ∈  f ( A ) ⇔   ( y ∈ F et ∃  x ∈ A tel que y = f (x ) )

*  

*  si  E = A 

f ( E ) est l'ensemble des élément de F qui ont un antécédent  par f  . On l 'appelle image de f ou ensemble des valeurs de f   :

 f ( E ) = Im f   ou  Im ( f )

Exemple 

A = { 0; 1 ; 2 } et   B = { - 1 ; 2 } 

  

f  ( A )  { f ( x ) / x∈ A } = { - 1 ; 1 ; 3 }

 

f ( x ) ∈  B ⇔  f ( x ) ∈ { - 1 ; 2 } 

                    ⇔  f ( x ) = - 1   ou   f ( x ) = 2

                     ⇔   2 x - 1 = -1  ou  2 x - 1 = 2

                      ⇔  x =  0  ou   x =  3 /2  donc 

3-4) Exercice 4

soit  f une application définie par :

 déterminer   solution 

f) Propriété:

Soient E et  F deux ensemble non vide

f une application de l 'ensemble E dans l 'ensemble F  

A et  B deux parties de  E  ( A ∈ P ( E ) et B ∈ P ( E ) )

C et  D deux parties de  F (C ∈ P ( F ) et D ∈ P ( F ) )

4) Injection , surjection , bijection