Ensembles et applications(produit cartésien)

1) Produit cartésien de deux ensembles

2) Applications

3)Exercice
4) Injection , surjection , bijection

1) Produit cartésien de deux ensembles:

Soit (o,i ,j )un repère orthogonal
A ; B ; C et M quatre points du plan différents

A≠B et A≠C et C≠M donc ( 1;2 )≠( 2;1 ) et (1;2)≠(-1;2) et (-1;2) ≠ (-1: 4)

Donc le couple ( x; y ) ≠ ( y ; x ) si x ≠ y

a) Définition:

Soient E et F deux ensemble non vide , le produit cartésien des deux ensemble E et F dans cet ordre est l'ensemble des couples ( x ; y ) tels que x ∈ E et y ∈ F
on écrit : E × F = { (x ; y ) / x  ∈ E et y ∈ F } , (x ; y ) ∈  E × F ⇔ x  ∈ E et y ∈ F
E × E = E² est le carrée cartésien de l'ensemble E
E² = { ( x ; y) / x ∈ E et y ∈ E }
Exemples :
ℝ² = ℝ × ℝ = { ( x ; y) / x ∈ ℝ et y ∈ ℝ }
( ℕ*)² = ℕ* × ℕ* = { ( p ; q ) / p ∈ℕ* et q ∈ℕ* }
Soient E et F deux ensemble avec E ={ 1; 2} et F={ a; b ; c }
E × F = { ( 1 ;a ) ; ( 1 ; b ) ; ( 1 ; c) ; (2 ; a ) ; ( 2 ; b ) ; ( 2 ; c) }

b) Représentation graphique de E × F

Exercice d'application

Représenter graphiquement les ensembles suivants:

i ) [ - 1 ; 1 ] × [ 0 ; 2 ]

i i ) ] -∞ ; 0 ] × [ 0 ; 1 ]

solution

i ) [ - 1 ; 1 ] × [ 0 ; 2 ] = { (x ; y ) / x ∈ [ - 1 ; 1 ] et y ∈ [ 0 ; 2 ] }

= { (x ; y ) / - 1 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 2 }

i i ) ] -∞ ; 0 ] × [ 0 ; 1 ] = { (x ; y ) / x ∈ ] -∞ ; 0 ] et y ∈ [ 0 ; 1 ] }

= { (x ; y ) / x ≤ 0 [ et 0 ≤ y ≤ 1 }

c) Généralisation

Soit $(E_{i})_{1\leq i\leq n}$ une famille d 'ensembles non vide $\large \bg_white E_{1} \times E_{2} \times E_{3} \times .......\times E_{n} \ se\ note\ \ \prod _{i=1}^{n}E_{i}= \left \{ (x_{1} ; x_{2} ; x_{3} ; . ..... ; x_{n})/ x_{i}\in E_{i} \right \}$
$E \times E \times E \times .......\times E = E^{n} =\left \{ (x_{1} ; x_{2} ; x_{3} ;.... ; x_{n})/ x_{i}\in E \right \}$

d) Remarques :

Soient E et F deux ensembles non vide
i ) le produit cartésien n'est pas commutative signifié que   E × F  ≠ F × E
Exemple:
E = { 2 } et F = { 3 }
E × F = { ( 2 ; 3 ) } et  F × E = { ( 3 ; 2 ) } sont différents car  ( 2 ; 3 ) ≠ ( 3; 2 )
i i) ∅  × E = E × ∅ = ∅

2) Applications

1er cas : deux élément c et d de E ne sont pas relient à aucun élément de F
2 ème cas : un élément d de E est relie à deux élément de F , f(d) = 3 et f(d) = 4
3 ème cas : chaque élément de E est relie à un unique élément de F et
f( c) = f(d) = 3
4 ème cas : chaque élément de E est relie à un unique élément de F

a) Définition :

Soient E et F deux ensembles non vide , on appelle application qu ' on note f ou R toute relation qui relie tous les élément x de E à unique élément y de F.

On écrit : $\bg_green \begin{array}{ccccc} f & : & E & \to & F \\ & & x & \mapsto & y=f(x) \\ \end{array}$

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E est l'ensemble de départ de l'application f
F est l'ensemble d'arrivée de l'application f
y = f(x) s'appelle l'image de x par l'application f
x s'appelle l'antécédent de y par l'application f
Exemple :
Soient deux relations f et g définies par :
$\bg_green \begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} \to & \mathbb{R}-\left \{ 1 \right \} \\ & & x \mapsto & \begin{cases}x-1\ \ x\in [1 ;+\infty[ \\ x^{2} \ \ \ x\in ]-\infty ;1] \end{cases}\\ \end{array}$ $\bg_darkgreen \begin{array}{ccccc} g & : & \mathbb{R} \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & \frac{x+2}{x-1}\\ \end{array}$
on a f (1) = 0 et f(1) =1 donc f n'est pas une application
si f est définie de la façon suivante : $\bg_green \begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ & & x \mapsto & \begin{cases}x-1\ \ x\in [1 ;+\infty[ \\ x^{2} \ \ \ x\in ]-\infty ;1[ \end{cases}\\ \end{array}$ donc f(1)= 0
et f est une application de ℝ vers ℝ (chaque élément de l'ensemble de départ ℝ a une unique image dans l'ensemble d'arrivé ℝ
g aussi n 'est pas une application car x = 1 n 'admet pas d'image
si on définie g de la façon suivante $\bg_darkgreen \begin{array}{ccccc} g & : & \mathbb{R}-\left \{ 1 \right \} \to && \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & \frac{x+2}{x-1}\\ \end{array}$ c'est la condition pour que g soit une application de ℝ-{ 1} vers ℝ

3-1) Exercice 1

soit $\bg_red \begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ & & x \mapsto &2x+3\\ \end{array}$ montrer que f est une application de ℝ vers ℝ

solution

Remarque :
On note A(E,F) ou ${\color{Red} F^{E}}$ l’ensemble des applications de E dans F

b) Le graphe d'une application

Soient E et F deux ensembles non vide

définition d'un graphe
un graphe dans E × F c' est une partie G de E × F qui vérifie la condition d'existence et unicité de l'image ∀x ∈ E, ∃!y ∈ F,(x, y) ∈ G
graphe d'une application
soit $\bg_green \begin{array}{ccccc} f & : & E \to F \\ & & x \mapsto &y=f(x)\\ \end{array}$ le graphe de f est l 'ensemble ${\color{Red} G_{(f)}=\left \{ (x;y)\in E\times F/y=f(x) \right \}}$
Remarque : $G_{(f)}\subset E\times F$
Exemple :
soit $\large \dpi{100} \begin{array}{ccccc} f & : E=\left \{ 1;2;3 \right \}& \to &\mathbb{R} \\ & x &\mapsto &f(x)=x^{2}\\ \end{array}$ ${\color{Red} G_{(f)}=\left \{ (x;y)\in E\times F/y=f(x) \right \}}\\ =\left \{ (1;1);(2;4) ;(3;9)\right \}\subset E \times \mathbb{R}$

c) Egalité de deux applications

Soient deux applications $\large \begin{array}{ccccc} f & : E& \to F \\ & x& \mapsto &f(x)\\ \end{array}\ \ \ et\ \ \begin{array}{ccccc} g & : G& \to H \\ & x& \mapsto &g(x)\\ \end{array}$

On dit que f et g sont égales si :

E = G et F = H et ( ∀ x ∈ E ) : f ( x ) = g ( x )

Exemple :

soit A un ensemble non vide ( P(A) ensemble des parties de A )

$\large \begin{array}{ccccc} f & :P(A)& \to P(A) \\ & B& \mapsto &B\\ \end{array}\ \ \ et\ \ \begin{array}{ccccc} g & : P(A)& \to P(A) \\ & B& \mapsto &\overline{\overline{B}}\\ \end{array}$

f et g ont le même ensemble de départ P( A ) et même ensemble d 'arrivée P (A)

$\large \forall B\in P(A): B= \overline{\overline{B}}$ donc f = g

3-2)Exercice 2:

soient f et g deux applications définie par:

$\begin{array}{cc} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \mapsto 1-cos^{6}(x)-sin^{6}(x)\\ \end{array}$ et

montrer que f = gsolution

d) Restriction ; Prolongement d'une application

Définition

Soient f, g et h des applications définie par:

f: E→F et g: G→H et h : A→B

x↦ f(x) x↦ g(x) x↦ h(x)

On dit que g est la restriction de f à l'ensemble G si et seulement si:

[(G ⊂ E ) et (∀ x ∈ G ): f ( x ) = g ( x ) et F = H]

On dit que h est un prolongement de f à l'ensemble A si et seulement si :

[(E ⊂ A ) et H = B et (∀ x ∈ E ): f ( x ) = g ( x )]

h est un prolongement de f ⇔ f est la restriction de h

3-3)Exercice 3

$\bg_blue {\color{White} \begin{array}{cc} g : [1 ; +\infty[\to \mathbb{R} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \mapsto -x^{2}\\ \end{array}}$ et $\bg_blue {\color{White} \begin{array}{cc} h : \mathbb{R}\to \mathbb{R} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \mapsto x^{2}\left | x-1 \right |-x^{3}\\ \end{array}}$ montrer que h est un prolongement de g sur ℝsolution

e) Image directe , image réciproque

Définition

soient E et F deux ensemble non vide

f une application de l'ensemble E dans l'ensemble F .

Pour toute partie A de E ( A ∈ P (E) ) , le sous- ensemble de F formé des images des éléments de A on le note f (A ) s' appelle l'image directe de A : f ( A ) = { f ( x ) / x ∈ A }

Pour toute partie B de F ( B ∈ P (F ) ) , le sous - ensemble de E défini par $f^{-1}(B)= \left \{ x\in E/ f(x)\in B \right \}$ s'appelle image réciproque de B on note $f^{-1}(B)$

Remarque :

* f (A ) = { y ∈ F ; ∃ x ∈ A tel que y = f (x ) }

* y ∈ f ( A ) ⇔ ( y ∈ F et ∃ x ∈ A tel que y = f (x ) )

* $x\in f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(x)\in B$

* si E = A

f ( E ) est l'ensemble des élément de F qui ont un antécédent par f . On l 'appelle image de f ou ensemble des valeurs de f :

f ( E ) = Im f ou Im ( f )

Exemple

A = { 0; 1 ; 2 } et B = { - 1 ; 2 }

$\begin{array}{cc} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \mapsto 2x-1\\ \end{array}$

f ( A ) { f ( x ) / x∈ A } = { - 1 ; 1 ; 3 }

$f^{-1}(B)= \left \{ x\in \mathbb{R}/ f(x)\in B \right \}$

f ( x ) ∈ B ⇔ f ( x ) ∈ { - 1 ; 2 }

⇔ f ( x ) = - 1 ou f ( x ) = 2

⇔ 2 x - 1 = -1 ou 2 x - 1 = 2

⇔ x = 0 ou x = 3 /2 donc $f^{-1}(B)=\left \{ 0 ; \frac{3}{2} \right \}$

3-4) Exercice 4

soit f une application définie par :

$\begin{array}{cc} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \mapsto\frac{x^{2}+2}{x^{2}+1}\\ \end{array}$ déterminer $f\left ( \lbrack1 ; +\infty\lbrack \right )\ \ et \ \ f^{-1}\left ( \ \rbrack0 ;1\lbrack \ \right )$ solution

f) Propriété:

Soient E et F deux ensemble non vide

f une application de l 'ensemble E dans l 'ensemble F

A et B deux parties de E ( A ∈ P ( E ) et B ∈ P ( E ) )

C et D deux parties de F (C ∈ P ( F ) et D ∈ P ( F ) )

$\bg_black \large \dpi{120} \bg_black 1)\ \ A\subset B\Rightarrow f(A)\subset f(B)\\ 2) \ \ C\subset D \Rightarrow f^{-1}(C)\subset f^{-1}(D)\\ 3)\ \ f^{-1}\left (C\cap D \right ) =f ^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)\\4)\ \ f\left ( A\cup B \right )=f(A)\cup f(B)$