Injection , surjection , bijection

Injection , surjection , bijection
Produit cartésien de deux ensembles

1) Injection

g n'est pas injective                             f est injective

Définition:Soient E et F deux ensembles non vide  et  f  une application de E  dans F

f est injective de E dans F ⇔ ∀  (x ; x') ∈ E ²  : x ≠ x' ⇒ f ( x ) ≠ f ( x' )

                                          ⇔  ∀  (x ; x') ∈ E ² : f ( x ) = f ( x' ) ⇒ x = x'

Remarque : 

Si  f est une application injective de E dans F  ,alors le nombre des éléments de l'ensemble F est supérieur ou égale au nombre des élément de l'ensemble E

2) Surjection

Définition:Soient E et F deux ensembles non vide  et  f  une application de E  dans F
f est surjective de E dans F ⇔ (∀  y∈ F )  (∃ x ∈ E ): y = f ( x )
                                             ⇔  f ( E ) = F
Remarque :
l'équation y = f ( x )  , pour tout   y de F  a au moins une solution  dans E 
Si  f est surjective  de E dans F   Card  E ≥ Card F

3)  Bijection:

Définition:Soient E et F deux ensembles non vide  et  f  une application de E  dans F
f  est dite bijective si elle à la fois  injective  et surjective   ou 
f  est bijective  ⇔  (∀  y∈ F ) (∃ ! x ∈ E ) : y = f ( x )
Remarque :
l'équation y = f ( x )  , pour tout   y de F  a une et une seule  solution  dans E 
Si  f est bijective  de E dans F   Card  E= Card F
Exemple : 
soit  l' application identité   :  
 est une application bijective