Inéquations du second degré a une seul inconnue

Toute expression de la forme :

$$ax^2 + bx + c < 0 \quad ; \quad ax^2 + bx + c > 0$$ $$ax^2 + bx + c \geq 0 \quad ; \quad ax^2 + bx + c \leq 0$$

avec $a \in \mathbb{R}^*$, $b \in \mathbb{R}$, $c \in \mathbb{R}$, est une inéquation du second degré à une inconnue $x$.

L’ensemble des solutions est noté $S$.

$$P(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$$

Forme canonique :

$$P(x) = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{(2a)^2}\right]$$

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Cas 1 : $\Delta < 0$

Le trinôme ne s'annule jamais et garde le signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Cas 2 : $\Delta = 0$

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Le trinôme garde le signe de $a$ et s'annule en $x_0$.

Cas 3 : $\Delta > 0$

$$P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Avec $x_1 < x_2$ :

Théorème : Un trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines. Si $\Delta < 0$, il garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$.

$$3x^2 - 2x + 5 > 0$$

$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 3 \times 5 = -56$$

$\Delta < 0$ et $a > 0$ ⇒ toujours positif

$$S = \mathbb{R}$$

$$3x^2 - 2x + 5 \leq 0$$

Même raisonnement ⇒ aucune solution

$$S = \emptyset$$

$$-5x^2 + 10\sqrt{5}x + 25 < 0$$

$$\Delta = (10\sqrt{5})^2 - 4(-5)(25) = 500 + 500 = 1000$$

$$x_1 = \sqrt{5} - \sqrt{10} \quad ; \quad x_2 = \sqrt{5} + \sqrt{10}$$

$a < 0$ ⇒ négatif à l’extérieur des racines

$$S = ]-\infty,\sqrt{5}-\sqrt{10}[ \cup ]\sqrt{5}+\sqrt{10},+\infty[$$

الرياضيات