1) signe des trinômes
P(x) = 7 x² + 12 x + 5
Δ= (12)² - 4 × 7 × 5=144 - 140 = 4
Δ= 4 >0 donc P(x) admet deux racines distincts :
d' ou
P (x) est supérieur à zéro l 'extérieur des racines
( signe de 7)
P (x) est inférieur à zéro l 'intérieur des racines
( signe de - 7)
tableau de signe de P(x)
Q(x)= 8 - 5 x²
Δ=(0)² - 4 × 8 ×(- 5) = 160
Δ= 160 > 0
tableau de signe de Q(x)
Q(x)= 8 - 5 x² < 0 sur ![]-\infty \ ;\ \frac{-2\sqrt{10}}{5}[\ \cup \ ]\frac{2\sqrt{10}}{5}\ ;\ +\infty[](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5D-%5Cinfty%20%5C%20%3B%5C%20%5Cfrac%7B-2%5Csqrt%7B10%7D%7D%7B5%7D%5B%5C%20%5Ccup%20%5C%20%5D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B10%7D%7D%7B5%7D%5C%20%3B%5C%20+%5Cinfty%5B)
Q(x)= 8 - 5 x² ≥ 0 sur ![[\frac{-2\sqrt{10}}{5} \ ;\ \frac{2\sqrt{10}}{5}]](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5B%5Cfrac%7B-2%5Csqrt%7B10%7D%7D%7B5%7D%20%5C%20%3B%5C%20%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B10%7D%7D%7B5%7D%5D)
H(x) = x² - 4 x + 5
Δ= 16 - 20 = - 4 < 0 donc le signe de H(x) est le signe de ( 1) pour tout x ∈ ℝ
c'est à dire ∀ x ∈ ℝ : H(x) > 0
L(x) = - x² +6 x - 9
Δ= 36 - 36 = 0 donc L(x) admet une seul racine (double) 
donc le signe de L(x) est le signe de (- 1) c'est à dire ∀ x ∈ ℝ L(x) ≤ 0
Autrement dit : L(x) = - (x - 3 )² puisque (x - 3)² ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ donc
- ( x - 3 )² ≤ 0 ∀ x ∈ ℝ
2 ) Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes:
i) (3 x -2)² > ( 2 x + 2)² ⇔ (3 x -2)² - ( 2 x + 2)² > 0
⇔ 5 x² - 20 x > 0
cherchons le signe du x² - 4 x on a Δ = 16 > 0 donc
x² - 4 x > 0 à l ' extérieur des racines
( signe de 5 est positif )
et par suite S = ]-∞ ; 0 [ ∪ ] 4 ; +∞[
ii)
est définie sur [2 ; +∞[ 
Si
⇒ g(x) ≥ 0


donc pour résoudre dans ℝ l 'inéquation
il suffit de trouver le signe du trinôme
avec ( x≥ 2 et x ≥ 5 donc x ≥ 5)
on a Δ = (11)² - 4 × (-27) ×(- 1) = 121 - 108 = 13
Δ = 13 > 0 donc
admet deux racines distincts:
d ' ou tableau de signe pour le trinôme
le trinôme (- x² +11 x - 27 ) < 0 sur
et puisque x ≥ 2 et x ≥ 5
![\frac{x+5}{2x+1}\geq 0\Rightarrow x+5\geq 0\ et \ 2x+1\geq 0\ ou\ x+5\leq 0\ et\ 2x+1\leq 0\\ \\ x\geq -5\ et\ x\geq \frac{-1}{2}\ \ ou\ x\leq -5\ \ et\ x\leq \frac{-1}{2}\\ \\ donc\ \ x\in \left [\left ( ]-\infty ;-5]\ \cap ]-\infty;\frac{-1}{2}] \right )\cup\ [-5 ;+\infty[\ \cap [-\frac{1}{2};+\infty[ \right ]](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx+5%7D%7B2x+1%7D%5Cgeq%200%5CRightarrow%20x+5%5Cgeq%200%5C%20et%20%5C%202x+1%5Cgeq%200%5C%20ou%5C%20x+5%5Cleq%200%5C%20et%5C%202x+1%5Cleq%200%5C%5C%20%5C%5C%20x%5Cgeq%20-5%5C%20et%5C%20x%5Cgeq%20%5Cfrac%7B-1%7D%7B2%7D%5C%20%5C%20ou%5C%20x%5Cleq%20-5%5C%20%5C%20et%5C%20x%5Cleq%20%5Cfrac%7B-1%7D%7B2%7D%5C%5C%20%5C%5C%20donc%5C%20%5C%20x%5Cin%20%5Cleft%20%5B%5Cleft%20%28%20%5D-%5Cinfty%20%3B-5%5D%5C%20%5Ccap%20%5D-%5Cinfty%3B%5Cfrac%7B-1%7D%7B2%7D%5D%20%5Cright%20%29%5Ccup%5C%20%5B-5%20%3B+%5Cinfty%5B%5C%20%5Ccap%20%5B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3B+%5Cinfty%5B%20%5Cright%20%5D)
F(x) est définie sur ℝ - {1} ( x ≠ 1)

Δ= b² - 4 a c = 3² - 4 × (- 10) = 9 + 40 = 49
Δ= 49 > 0 d' où l 'équation : F(x) = - 4 admet deux racines distincts :
donc S= {- 5 ; 2}
donc
ii) Résolution dans ℝ l 'inéquation : F(x) > - 4
x ≠ 1 : F(x) > - 4 ⇔
or d 'aprés i)
d' où
si (x + 5)( x - 2) < 0 et x - 1 < 0 ou
(x + 5)( x - 2) > 0 et x - 1> 0
traçons donc tableau de signe de
conclusion :
l'ensemble de solutions de l 'inéquation F(x) > - 4 est :
S=] - 5 ; 1 [ ∪ ] - 2 ; +∞ [
interprétation graphique
or d'apres i) on a
donc

F(a) +4 = F(b) + 4 ⇒ b = - 5 ou b= 2
si on prend ( a ; b) = ( - 5 ; 2)

donc : le couple ( - 5 ; 2) vérifié l'égalité F(a) = F(b) et
le couple ( 2 ; -5) vérifié l'égalité F(a) = F(b)
a racine de t² - p t + p - 7 = 0 donc a² - p a + p - 7 = 0 ⇒ p( 1 - a) = 7 - a² ⇒
d' où p = - 3
donc l'équation t² - p t + p - 7 = 0 ⇔ t² +3 t - 10 = 0 qui admet deux racines a= - 5 et b = 2
remarque : l'équation t² - p t + p - 7 = 0 ⇔ t² - St +P = 0 avec S= a+ b et P = a b
donc pour résoudre dans ℝ l 'inéquation
Δ = 13 > 0 donc
d ' ou tableau de signe pour le trinôme
le trinôme (- x² +11 x - 27 ) < 0 sur
alors les solutions de l'inéquation
est l'ensemble
Conclusion les les solutions de l'inéquation
est l'ensemble
iii) 
les solutions de l'inéquation est : ![\bg_orange {\color{Yellow} S= ]-\infty ;-5]\cup]-\frac{1}{2};+\infty[}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbg_orange%20%7B%5Ccolor%7BYellow%7D%20S%3D%20%5D-%5Cinfty%20%3B-5%5D%5Ccup%5D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3B+%5Cinfty%5B%7D)
On trouve le même résultat si on trace un tableau de signe de 
Interprétation graphique:
3) 
i)Résolution dans ℝ l 'équation : F(x) = - 4F(x) est définie sur ℝ - {1} ( x ≠ 1)
Δ= b² - 4 a c = 3² - 4 × (- 10) = 9 + 40 = 49
Δ= 49 > 0 d' où l 'équation : F(x) = - 4 admet deux racines distincts :
donc
ii) Résolution dans ℝ l 'inéquation : F(x) > - 4
x ≠ 1 : F(x) > - 4 ⇔
or d 'aprés i)
d' où
(x + 5)( x - 2) > 0 et x - 1> 0
traçons donc tableau de signe de
conclusion :
l'ensemble de solutions de l 'inéquation F(x) > - 4 est :
S=] - 5 ; 1 [ ∪ ] - 2 ; +∞ [
interprétation graphique
iii) a et b deux réels qui vérifier l égalité suivante : F(a) = F(b)
F(a) = F(b) ⇒ F(a) +4 = F(b) + 4or d'apres i) on a
donc
F(a) +4 = F(b) + 4 ⇒ b = - 5 ou b= 2
si on prend ( a ; b) = ( - 5 ; 2)
donc : le couple ( - 5 ; 2) vérifié l'égalité F(a) = F(b) et
le couple ( 2 ; -5) vérifié l'égalité F(a) = F(b)
a racine de t² - p t + p - 7 = 0 donc a² - p a + p - 7 = 0 ⇒ p( 1 - a) = 7 - a² ⇒
donc l'équation t² - p t + p - 7 = 0 ⇔ t² +3 t - 10 = 0 qui admet deux racines a= - 5 et b = 2
remarque : l'équation t² - p t + p - 7 = 0 ⇔ t² - St +P = 0 avec S= a+ b et P = a b
Commentaires
Enregistrer un commentaire