Exercices: signe des trinômes Résolution dans ℝ des'inéquations

ÉNONCÉ

1) signe des trinômes

P(x) = 7 x² + 12 x + 5

Δ= (12)² - 4 × 7 × 5=144 - 140 = 4

Δ= 4 >0 donc P(x) admet deux racines distincts : ${\color{Red} x_{1}}= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-12-2}{14}={\color{Red} -1}\ \\ et\ \ {\color{Red} x_{2}}= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-12+2}{14}={\color{Red}\frac{-5}{7}}$

d' ou

P (x) est supérieur à zéro l 'extérieur des racines ${\color{Red} x_{1}}\ et\ \ {\color{Red} x_{2}}$

( signe de 7)

P (x) est inférieur à zéro l 'intérieur des racines ${\color{Red} x_{1}}\ et\ \ {\color{Red} x_{2}}$

( signe de - 7)

tableau de signe de P(x)

Q(x)= 8 - 5 x²

Δ=(0)² - 4 × 8 ×(- 5) = 160

Δ= 160 > 0

tableau de signe de Q(x)

Q(x)= 8 - 5 x² < 0 sur $]-\infty \ ;\ \frac{-2\sqrt{10}}{5}[\ \cup \ ]\frac{2\sqrt{10}}{5}\ ;\ +\infty[$

Q(x)= 8 - 5 x² ≥ 0 sur $[\frac{-2\sqrt{10}}{5} \ ;\ \frac{2\sqrt{10}}{5}]$

H(x) = x² - 4 x + 5

Δ= 16 - 20 = - 4 < 0 donc le signe de H(x) est le signe de ( 1) pour tout x ∈ ℝ

c'est à dire ∀ x ∈ ℝ : H(x) > 0

L(x) = - x² +6 x - 9

Δ= 36 - 36 = 0 donc L(x) admet une seul racine (double) ${\color{Red} x_{0}}=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{-2}={\color{Red} 3}$

donc le signe de L(x) est le signe de (- 1) c'est à dire ∀ x ∈ ℝ L(x) ≤ 0

Autrement dit : L(x) = - (x - 3 )² puisque (x - 3)² ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ donc

- ( x - 3 )² ≤ 0 ∀ x ∈ ℝ

2 ) Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes:

i) (3 x -2)² > ( 2 x + 2)² ⇔ (3 x -2)² - ( 2 x + 2)² > 0

⇔ 5 x² - 20 x > 0

cherchons le signe du x² - 4 x on a Δ = 16 > 0 donc

x² - 4 x > 0 à l ' extérieur des racines ${\color{Red} x_{1}=0}\ et\ \ {\color{Red} x_{2}=4}$ ( signe de 5 est positif )

et par suite S = ]-∞ ; 0 [ ∪ ] 4 ; +∞[

ii) $\sqrt{x-2}< x-5$
$\sqrt{x-2}$ est définie sur [2 ; +∞[ $\left (\sqrt{f(x)} \Rightarrow f(x)\geq 0 \right )$

Si $\sqrt{f(x)}< g(x )$   ⇒ g(x) ≥ 0
$\sqrt{x-2}< x-5\ \Rightarrow \ x-5\geq 0\Rightarrow x\geq 5$
$\bg_white \sqrt{x-2}< x-5\Leftrightarrow (\sqrt{x-2})^{2}< (x-5)^{2}\\ \Leftrightarrow x-2< x^{2}-10x+25\\ \Leftrightarrow x-27+10x-x^{2}< 0\\ \Leftrightarrow -x^{2}+11x-27< 0$
donc pour résoudre  dans ℝ l 'inéquation $\sqrt{x-2}< x-5$ il suffit de trouver le signe du trinôme $- x^{2} +11 x -27$ avec (  x≥ 2 et x ≥ 5 donc x ≥ 5)
$\left (- x^{2} +11 x -27 \right )$ on a   Δ = (11)² - 4 × (-27) ×(- 1) = 121 - 108 = 13
Δ = 13 > 0  donc   $\left (- x^{2} +11 x -27 \right )$ admet deux racines distincts:

${\color{Red} x_{1}}= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-11+\sqrt{13}}{-2}={\color{Red} \frac{11-\sqrt{13}}{2}}\ \\ et\\ \ \ {\color{Red} x_{2}}= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-11-\sqrt{13}}{-2}={\color{Red}\frac{11+\sqrt{13}}{2}}$

d ' ou tableau de signe pour le trinôme $\left (- x^{2} +11 x -27 \right )$

le trinôme (- x² +11 x - 27 ) < 0 sur $\bg_green ] -\infty ; \frac{11-\sqrt{13}}{2} [\ \cup\ ] \frac{11+\sqrt{13}}{2};+\infty[$ et puisque x ≥ 2 et x ≥ 5

alors les solutions de l'inéquation $\sqrt{x-2}< x-5$ est l'ensemble $S= \left (] -\infty ; \frac{11-\sqrt{13}}{2} [\ \cup\ ] \frac{11+\sqrt{13}}{2};+\infty[ \right )\ \cap\ ]5 ;+\infty[$

Conclusion les les solutions de l'inéquation $\sqrt{x-2}< x-5$ est l'ensemble

$S=] \frac{11+\sqrt{13}}{2};+\infty[$

iii) $\frac{x+5}{2x+1}\geq 0$

$\frac{x+5}{2x+1}\geq 0\Rightarrow x+5\geq 0\ et \ 2x+1\geq 0\ ou\ x+5\leq 0\ et\ 2x+1\leq 0\\ \\ x\geq -5\ et\ x\geq \frac{-1}{2}\ \ ou\ x\leq -5\ \ et\ x\leq \frac{-1}{2}\\ \\ donc\ \ x\in \left [\left ( ]-\infty ;-5]\ \cap ]-\infty;\frac{-1}{2}] \right )\cup\ [-5 ;+\infty[\ \cap [-\frac{1}{2};+\infty[ \right ]$

les solutions de l'inéquation est : $\bg_orange {\color{Yellow} S= ]-\infty ;-5]\cup]-\frac{1}{2};+\infty[}$

On trouve le même résultat si on trace un tableau de signe de $\frac{x+5}{2x+1}$

Interprétation graphique:

3) $Soit\ F(x)= \frac{x^{2}-x-6}{x-1}$

i)Résolution dans ℝ l 'équation : F(x) = - 4
F(x) est définie sur ℝ - {1} ( x ≠ 1)
$\bg_white F(x)=-4\Leftrightarrow \frac{x^{2}-x-6}{x-1}+4=\frac{x^{2}-x-6}{x-1} +\frac{4(x-1)}{x-1}\\ \\ =\frac{x^{2}-x-6+4x-4}{x-1}\\ \\ donc\ \ F(x)=\frac{x^{2}+3x-10}{x-1}$ $\bg_white F(x)+4=0\ \Leftrightarrow F(x)=\frac{x^{2}+3x-10}{x-1}=0\Leftrightarrow x^{2}+3x-10=0\ \ \ \left (x\neq 1 \right )$
Δ= b² - 4 a c = 3² - 4 × (- 10) = 9 + 40 = 49
Δ= 49 > 0 d' où l 'équation : F(x) = - 4 admet deux racines distincts : ${\color{Red} x_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-7}{2}=\frac{-10}{2}={\color{Red} -5}\\ et\\ {\color{Red} x_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}={\color{Red} 2}\\$ donc S= {- 5 ; 2}
donc $\bg_blak {\color{White} F(x)+4=\frac{(x+5)(x-2)}{x-1}}$
ii) Résolution dans ℝ l 'inéquation : F(x) > - 4
x ≠ 1 : F(x) > - 4 ⇔ $\frac{x^{2}-x-6}{x-1}> -4\Leftrightarrow \frac{x^{2}-x-6}{x-1}+4> 0\\ \Leftrightarrow \frac{x+3x-10}{x-1}> 0$

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or d 'aprés i) $x^{2}-x-6=(x+5)(x-2)$
d' où $F(x) > - 4\Leftrightarrow \frac{(x+5)(x-2)}{x-1}> 0$

$\frac{(x+5)(x-2)}{x-1}> 0$ si (x + 5)( x - 2) < 0 et x - 1 < 0 ou
(x + 5)( x - 2) > 0 et x - 1> 0
traçons donc tableau de signe de $\frac{(x+5)(x-2)}{x-1}$

conclusion :
l'ensemble de solutions de l 'inéquation F(x) > - 4 est :
S=] - 5 ; 1 [ ∪ ] - 2 ; +∞ [
interprétation graphique

iii) a et b deux réels qui vérifier l égalité suivante : F(a) = F(b)

F(a) = F(b) ⇒ F(a) +4 = F(b) + 4
or d'apres i) on a   $F(x)+4=\frac{(x+5)(x-2)}{x-1}$
donc $F(a)+4=\frac{(a+5)(a-2)}{a-1}$
$F(a)+4=0\Leftrightarrow \frac{(a+5)(a-2)}{a-1}=0\Leftrightarrow {\color{Red} a=-5}\ \ ou\ {\color{Red} a=2}$
F(a) +4 = F(b) + 4 ⇒ b = - 5 ou b= 2
si on prend ( a ; b) = ( - 5 ; 2)
$F( - 5)= \frac{(-5)^{2}-(-5)-6}{-5-1}= \frac{25+5-6}{-6}=\frac{30-6}{-6}=\frac{24}{-6}=-4\\ \\ F( 2)= \frac{2^{2}-2-6}{2-1}= \frac{4-2-6}{1}=\frac{4-8}{1}=\frac{-4}{1}=-4$
donc : le couple ( - 5 ; 2) vérifié l'égalité   F(a) = F(b) et
le couple ( 2 ; -5)  vérifié l'égalité   F(a) = F(b)
a racine de t² - p t + p - 7 = 0 donc a² - p a + p - 7 = 0 ⇒ p( 1 - a) = 7 - a²  ⇒ $p = \frac{7-a^{2}}{1-a}$

$si\ a = -5 \Rightarrow p= \frac{7-25}{1+5}=\frac{-18}{6}=-3\\ \\ si\ a = 2 \Rightarrow p= \frac{7-4}{1-2}=\frac{3}{-1}=-3$ d' où p = - 3
donc l'équation t² - p t + p - 7 = 0 ⇔  t² +3 t - 10 = 0 qui admet deux racines a= - 5 et b = 2
remarque : l'équation t² - p t + p - 7 = 0 ⇔ t² - St +P = 0 avec S= a+ b et P = a b

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