DIFFÉRENCE SYMÉTRIQUE

 

DEMONSTRATION DIFFÉRENCE SYMÉTRIQUE AΔ(BΔC) = (AΔB) ΔC

Pour démontrer que AΔ (BΔC) = (AΔB) ΔC, où Δ représente la différence symétrique, nous pouvons utiliser la définition de la différence symétrique.

La différence symétrique de deux ensembles X et Y est définie comme

X ΔY = (X ∖ Y) ∪ (Y ∖ X)

Preuve

1.  Calcul de AΔ (BΔC) D’abord, calculons BΔC

BΔC = (B ∖ C) ∪ (C ∖ B)

Ensuite, calculons AΔ (BΔC)

AΔ (BΔC) = AΔ ((B ∖ C) ∪ (C ∖ B))

Par définition de la différence symétrique

AΔ (BΔC) = (A ∖ ((B ∖ C) ∪ (C ∖ B))) ∪ (((B ∖ C) ∪ (C ∖ B)) ∖ A)

2.  Calcul de (AΔB) ΔC D’abord, calculons AΔB

AΔB = (A ∖ B) ∪ (B ∖ A)

Ensuite, calculons (AΔB) ΔC

(AΔB) ΔC = ((A ∖ B) ∪ (B ∖ A)) ΔC

En utilisant la définition de la différence symétrique

(AΔB) ΔC = (((A ∖ B) ∪ (B ∖ A)) ∖ C) ∪ (C ∖ ((A ∖ B) ∪ (B ∖ A)))

 

Comparaison des deux expressions

Pour montrer que les deux résultats sont identiques, nous devons prouver que chaque élément appartient à l'un ou l'autre ensemble.

Un élément x appartient à AΔ (BΔC) s'il appartient à A mais pas à (BΔC), ou s'il appartient à (BΔC) mais pas à A.

De même, un élément x appartient à (AΔB) ΔC s'il appartient à (AΔB) mais pas à C, ou s'il appartient à C mais pas à (AΔB).

Conclusion

En prouvant que les conditions d'appartenance des deux expressions sont identiques, nous établissons que

AΔ (BΔC) = (AΔB) ΔC

Ainsi, la différence symétrique est associative.