Parité dune fonction

 Fonctions paires :

Une fonction est dite paire si pour tout x dans son domaine, elle satisfait la condition suivante : 

$f(-x)=f(x)$

Cette fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple :

La fonction définie sur ℝ par` $f(x)=2x^2$ est paire car

 $$f(-x)=2(-x{)}^2=2x^2=f(x)$$

Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées comme le montre la figure ci-dessous 

Remarque si  $f(x)=(x-a{)}^n$ avec n est un entier pair

 

 La droite d’équation $x=a$ est un axe de symétrie de la courbe

 

 Représentative d’une fonction lorsque la condition suivante

  $f(a-x)=f(a+x)$ est satisfait

 

Si $a=0$ on obtient :   $f(-x)=f(x)$

Exemple :

 $f(x)=(x-a{)}^2$    ($a=3$) a pour ensemble de définition l'ensemble des réels ℝ et aussi une fonction paire car :

 $f(3-x)$=$(3-x)-3{)}^2$

$=(3-x-3{)}^2=(-x{)}^2=x^2$ 

et  $f(3+x)$=$(3+x)-3{)}^2$

$=(3+x-3{)}^2=(x{)}^2=x^2$ 

On voit que  $f(a-x)=f(a+x)$=$x^2$ce qui montre que la fonction est symétrique par rapport à la droite d'équation 𝑥=3

Fonctions impaires

Une fonction est dite impaire si pour tout x dans son domaine, elle satisfait la condition suivante : 

$f(-x)=-f(x)$

Cette fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

Exemple :

La fonction définie sur ℝ par` $f(x)=3x^3$ est impaire car :

 $$f(-x)=3(-x{)}^3=-3x^3=-f(x)$$

Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine comme le montre la figure ci-dessous

Remarque : si $f(x)=(x-a{)}^n+b$ avec n est un entier impair

 

 Le point $M$ de coordonnées $(a;b)$ est centre de symétrie de 

  La courbe représentative d’une fonction lorsque la condition

 

 

 Suivante   $f(a+x)+f(a-x)=2b$ est satisfait

 

Si (a ; b)= (0 ; 0)  on obtient   $f(0+x)+f(0-x)=0$  donc $f(-x)=-f(x)$

 

Exemples : si $a\ne 0$ et    $b\ne 0$

 

Exemple 1:   $f(x)=(x-3{)}^5+1$

 

 $f(x)=(x-3{)}^5+1$ dans cette exemple ( $a=3$ et $b=1$)

 

Le domaine de définition de la fonction $f(x)=(x-3{)}^5+1$ est l'ensemble ℝ

 

Vérifiant $f(3+x)+f(3-x)=2$

 

$f(3+x)=((3+x)-3{)}^5+1$

$=(x{)}^5+1$

 

$f(3-x)=((3-x)-3{)}^5+1$

$=(-x{)}^5+1$

 

D’ou :

$f(3+x)+f(3-x)=(x{)}^5+1-(x{)}^5+1=2$

$=2b$ car ($b=1$)

 

Le point $A$ de coordonnées $(3;1)$ est centre de symétrie de la courbe

 Représentative de la fonction$f(x)=(x+3{)}^5+1$ 

 

Car   $f(3+x)+f(3-x)=2$ est satisfait  

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Exemple 2 :   $f(x)=\frac{(x-1{)}^3}{1-(x-1{)}^2}+2$

 

 $f(x)=\frac{(x-1{)}^3}{1-(x-1{)}^2}+2$ dans cette exemple ( $a=1etb=2$)

 

Le domaine de définition de la fonction   $f(x)=\frac{(x-1{)}^3}{1-(x-1{)}^2}+2$   est en fait

   

$D=\{x\in ℝ/1–(x-1{)}^2\ne 0\}$ 

  Le dénominateur     $1-(1-x{)}^2$ doit être différent de zéro.

 

Résoudre :  $1-(1-x{)}^2\ne 0$ ce qui donne

    $1-(1-2x+x^2)\ne 0$ $⟹2x-x^2\ne 0$

                         $⟹x(2-x)\ne 0$

                           $⟹2-x\ne 0$ et $x\ne 0$

                 donc $x\ne 2$ et $x\ne 0$

Donc D = ℝ – {0, 2}

 

Le centre de symétrie de la courbe représentative de cette fonction 

 

 

$f(x)=\frac{(x-1{)}^3}{1-(x-1{)}^2}+2$

 

Est le point $M(1,2)$   car    $f(1+x)+f(1-x)=4$

Calculons donc $f(1+x)+f(1-x)$

 

=[ $\frac{(1+x-1{)}^3}{1-(1+x-1{)}^2}+2$ ]+[ $\frac{(1-x-1{)}^3}{1-(1-x-1{)}^2}+2$]

 

 

=[ $\frac{x^3}{1-x^2}+2$ ]+[ $\frac{-x^3}{1-x^2}+2$]

 

 

 = ($\frac{x^3}{1-x^2}$ )+ ($\frac{-x^3}{1-x^2}$)+$2+2$

 

=$\frac{x^3}{1-x^2})-(\frac{x^3}{1-x^2})+4$

$=0+4=4=2b(b=2)$

 

Ce qui montre que le centre de symétrie de la fonction \

$f(x)=\frac{(x-1{)}^3}{1-(x-1{)}^2}+2$  est le point $M(1,2)$ et

 Présente des asymptotes verticales aux points $x=0$ et $x=2$ comme le montre le graphe de la fonction

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