parité des fonctions

 Fonctions paires :

Une fonction est dite paire si pour tout x dans son domaine, elle satisfait la condition suivante : 

\(f(−x) =f(x)\)

Cette fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple :

La fonction définie sur ℝ par` \(f(x) =2x^2\) est paire car

 \[f(-x) =2(-x)^2=2x^2=f(x)\]

Sa courbe representative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées comme le montre la figure ci-dessous 

Remarque si  \(f(x) =(x-a)^n\) avec n est un entier pair

 La droite  d'equation x =a est un axe de symétrie de la courbe

 representative  d'une fonction lorsque la condition suivante

  \(f (a- x) =f (a+ x) \) est satisfait

Si a=0   on obtient :   \(f(−x) =f(x)\)

exemple:

 \(f(x) =(x-a)^2\)    (a=3) a pour ensemble de définition l'ensemble des reels ℝ et aussi une fonction paire car:

 \(f (3- x)\)=\((3-x)-3)^{2}=(3-x-3)^{2}=(-x)^{2}=x^{2}\) et  \(f (3+ x)\)=\((3+x)-3)^{2}=(3+x-3)^{2}=(x)^{2}=x^{2}\) 

On voit que  \(f (a- x) =f (a+ x) \)=\(x^{2}\)ce qui montre que la fonction est symétrique par rapport à la droite d'équation 𝑥=3

Fonctions impaires

Une fonction est dite impaire si pour tout x dans son domaine, elle satisfait la condition suivante : 

\(f(−x) =-f(x)\)

Cette fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

Exemple :

La fonction définie sur ℝ par` \(f(x) =3x^3\) est impaire car:

 \[f(-x) =3(-x) ^3=-3x^3=-f(x)\]

Sa courbe representative est symétrique par rapport à l'origine comme le montre la figure ci-dessous 

Remarque : si \(f(x) =(x-a)^n+b\) avec n est un entier impair

 le point M de coordonnées (a;b) est centre de symétrie de la

 courbe representative  d'une fonction lorsque la condition

 suivante   \(f (a+ x) + f(a-x) =2b\) est satisfait

Si (a ; b)= (0 ; 0)  on obtient   \(f (0+ x) + f(0-x) =0\)  donc \(f(−x) =-f(x)\)

Exemples : si a≠ 0 et    b ≠0

Exemple 1:   \(f(x) =(x-3)^5+1\)

 \(f(x) =(x-3)^5+1\) dans cette exemple ( a=3 et b=1)

Le domaine de définition de la fonction  \(f(x) =(x-3)^5+1\) est l'ensemble ℝ

Vérifiant \(f (3+ x) + f(3-x) =2\)

\(f (3+ x)=((3+x)-3)^5+1=(x)^5\)+1

\(f (3- x)=((3-x)-3)^5+1=(-x)^5\)+1

d'ou :

\(f (3+ x) + f(3-x) \)  =\((x)^5\)+1 - \((x)^5\)+1= 2=2b (b=1)

le point A de coordonnées (3;1) est centre de symétrie de la courbe

 representative de la fonction\(f(x) =(x+3)^5+1\) 

car   \(f (3+ x) + f(3-x) =2\) est satisfait  

Exemple 2:\(f(x)=\frac{(x-1)^3}{1-(x-1)^2}\)+2

 \(f(x)=\frac{(x-1)^3}{1-(x-1)^2}\)+2 dans cette exemple ( a=1 et b=2)

Le domaine de définition de la fonction   \(f(x)=\frac{(x-1)^3}{1-(x-1)^2}\)+2   est en fait

   $$

D= {\(x\) ∈ ℝ / 1 –\( (x-1)^2\) ≠ 0} 

  Le dénominateur     \( 1 -(1- x)^2 \) doit être différent de zéro.

Résoudre :  \[1 -(1- x)^2 \neq 0 \implies 1 -(1- 2x+x^2) \neq 0 \implies 2x-x^2 \neq 0 \implies -x(x-1) \neq 0 \implies \quad(x-2 \neq0 \\\text{et}\quad -x \neq 0\ \implies \quad(x \neq0 \\\text{et}\quad x \neq 2\]

Donc D = ℝ – {0, 2}

Le centre de symétrie de la courbe représentative de cette fonction 

\(f(x)=\frac{(x-1)^3}{1-(x-1)^2}\)+2

est le point M (1,2)   car    \(f (1+ x) + f(1-x) =4\)

Calculons donc  \(f (1+ x) + f(1-x) \)

=[ \(\frac{(1+x-1)^3}{1 - (1+x-1)^2} + 2 \) ]+[ \( \frac{(1-x-1)^3}{1 - (1-x-1)^2} + 2 \)]

=[ \(\frac{x^3}{1 - x^2} + 2 \) ]+[ \( \frac{-x^3}{1 - x^2} + 2 \)]

 = (\(\frac{x^3}{1 - x^2}  \) )+ (\( \frac{-x^3}{1 - x^2}  \))+\(2+2\)

=(\(\frac{x^3}{1 - x^2}  \) )- (\( \frac{x^3}{1 - x^2}  \))+\(4\)

=\(0+4\)=\(4\)=2b (b=2)

Ce qui montre que le centre de symétrie de la fonction \

(f(x)=\frac{(x-1)^3}{1-(x-1)^2}\)+2  est le point M (1,2) et

 présente des asymptotes verticales aux points x=0 et x=2  comme

 le montre le graphe de la fonction