Fonctions paires :
Une fonction est dite paire si pour tout x dans son domaine, elle satisfait la condition suivante :
f(−x)=f(x)
Cette fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Exemple :
La fonction définie sur ℝ par` f(x)=2x2 est paire car
f(−x)=2(−x)2=2x2=f(x)
Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées comme le montre la figure ci-dessous
Remarque si f(x)=(x−a)n avec n est un entier pair
La droite d’équation x=a est un axe de symétrie de la courbe
Représentative d’une fonction lorsque la condition suivante
f(a−x)=f(a+x) est satisfait
Si a=0 on obtient : f(−x)=f(x)
Exemple :
f(x)=(x−a)2 (a=3) a pour ensemble de définition l'ensemble des réels ℝ et aussi une fonction paire car :
f(3−x)=(3−x)−3)2
=(3−x−3)2=(−x)2=x2
et f(3+x)=(3+x)−3)2
=(3+x−3)2=(x)2=x2
On voit que f(a−x)=f(a+x)=x2ce qui montre que la fonction est symétrique par rapport à la droite d'équation 𝑥=3
Fonctions impaires
Une fonction est dite impaire si pour tout x dans son domaine, elle satisfait la condition suivante :
f(−x)=−f(x)
Cette fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
Exemple :
La fonction définie sur ℝ par` f(x)=3x3 est impaire car :
f(−x)=3(−x)3=−3x3=−f(x)
Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine comme le montre la figure ci-dessous
Remarque : si f(x)=(x−a)n+b avec n est un entier impair
Le point M de coordonnées (a;b) est centre de symétrie de
La courbe représentative d’une fonction lorsque la condition
Suivante f(a+x)+f(a−x)=2b est satisfait
Si (a ; b)= (0 ; 0) on obtient f(0+x)+f(0−x)=0 donc f(−x)=−f(x)
Exemples : si a≠0 et b≠0
Exemple 1: f(x)=(x−3)5+1
f(x)=(x−3)5+1 dans cette exemple ( a=3 et b=1)
Le domaine de définition de la fonction f(x)=(x−3)5+1 est l'ensemble ℝ
Vérifiant f(3+x)+f(3−x)=2
f(3+x)=((3+x)−3)5+1
=(x)5+1
f(3−x)=((3−x)−3)5+1
=(−x)5+1
D’ou :
f(3+x)+f(3−x)=(x)5+1−(x)5+1=2
=2b car (b=1)
Le point A de coordonnées (3;1) est centre de symétrie de la courbe
Représentative de la fonctionf(x)=(x+3)5+1
Car f(3+x)+f(3−x)=2 est satisfait
Exemple 2 : f(x)=(x−1)31−(x−1)2+2
f(x)=(x−1)31−(x−1)2+2 dans cette exemple ( a=1etb=2)
Le domaine de définition de la fonction f(x)=(x−1)31−(x−1)2+2 est en fait
D={x∈ℝ/1–(x−1)2 ≠0}
Le dénominateur 1−(1−x)2 doit être différent de zéro.
Résoudre : 1−(1−x)2≠0 ce qui donne
1−(1−2x+x2)≠0 ⟹2x−x2≠0
⟹x(2−x)≠0
⟹2−x≠0 et x≠0
donc x≠2 et x≠0
Donc D = ℝ – {0, 2}
Le centre de symétrie de la courbe représentative de cette fonction
f(x)=(x−1)31−(x−1)2+2
Est le point M(1,2) car f(1+x)+f(1−x)=4
Calculons donc f(1+x)+f(1−x)
=[ (1+x−1)31−(1+x−1)2+2 ]+[ (1−x−1)31−(1−x−1)2+2]
=[ x31−x2+2 ]+[ −x31−x2+2]
= (x31−x2 )+ (−x31−x2)+2+2
=x31−x2)−(x31−x2)+4
=0+4=4=2b (b=2)
Ce qui montre que le centre de symétrie de la fonction \
f(x)=(x−1)31−(x−1)2+2 est le point M(1,2) et
Présente des asymptotes verticales aux points x=0 et x=2 comme le montre le graphe de la fonction
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