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 Fonctions paires :

Une fonction est dite paire si pour tout x dans son domaine, elle satisfait la condition suivante : 

f(x)=f(x)

Cette fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple :

La fonction définie sur ℝ par` f(x)=2x2 est paire car

 f(x)=2(x)2=2x2=f(x)

Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées comme le montre la figure ci-dessous 

Remarque si  f(x)=(xa)n avec n est un entier pair

 

 La droite d’équation x=a est un axe de symétrie de la courbe

 

 Représentative d’une fonction lorsque la condition suivante

  f(ax)=f(a+x) est satisfait

 

Si a=0 on obtient :   f(x)=f(x)

Exemple :

 f(x)=(xa)2    (a=3) a pour ensemble de définition l'ensemble des réels ℝ et aussi une fonction paire car :

 f(3x)=(3x)3)2

=(3x3)2=(x)2=x2 

et  f(3+x)=(3+x)3)2

=(3+x3)2=(x)2=x2 

On voit que  f(ax)=f(a+x)=x2ce qui montre que la fonction est symétrique par rapport à la droite d'équation 𝑥=3

Fonctions impaires

Une fonction est dite impaire si pour tout x dans son domaine, elle satisfait la condition suivante : 

f(x)=f(x)

Cette fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

Exemple :

La fonction définie sur ℝ par` f(x)=3x3 est impaire car :

 f(x)=3(x)3=3x3=f(x)

Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine comme le montre la figure ci-dessous

Remarque : si f(x)=(xa)n+b avec n est un entier impair

 

 Le point M de coordonnées (a;b) est centre de symétrie de 

  La courbe représentative d’une fonction lorsque la condition

 

 

 Suivante   f(a+x)+f(ax)=2b est satisfait

 

Si (a ; b)= (0 ; 0)  on obtient   f(0+x)+f(0x)=0  donc f(x)=f(x)

 

Exemples : si a0 et    b0

 

Exemple 1:   f(x)=(x3)5+1

 

 f(x)=(x3)5+1 dans cette exemple ( a=3 et b=1)

 

Le domaine de définition de la fonction f(x)=(x3)5+1 est l'ensemble 

 

Vérifiant f(3+x)+f(3x)=2

 

f(3+x)=((3+x)3)5+1

=(x)5+1

 

f(3x)=((3x)3)5+1

=(x)5+1

 

D’ou :

f(3+x)+f(3x)=(x)5+1(x)5+1=2

=2b car (b=1)

 

Le point A de coordonnées (3;1) est centre de symétrie de la courbe

 Représentative de la fonctionf(x)=(x+3)5+1 

 

Car   f(3+x)+f(3x)=2 est satisfait  




Exemple 2 :   f(x)=(x1)31(x1)2+2

 

 f(x)=(x1)31(x1)2+2 dans cette exemple ( a=1etb=2)

 

Le domaine de définition de la fonction   f(x)=(x1)31(x1)2+2   est en fait

   

D={x/1(x1)2 0} 

  Le dénominateur     1(1x)2 doit être différent de zéro.

 

Résoudre :  1(1x)20 ce qui donne

    1(12x+x2)0 2xx20

                         x(2x)0

                           2x0 et x0

                 donc x2 et x0

Donc D = ℝ – {0, 2}

 

Le centre de symétrie de la courbe représentative de cette fonction 

 

 

f(x)=(x1)31(x1)2+2

 

Est le point M(1,2)   car    f(1+x)+f(1x)=4

Calculons donc f(1+x)+f(1x)

 

=[ (1+x1)31(1+x1)2+2 ]+[ (1x1)31(1x1)2+2]

 

 

=[ x31x2+2 ]+[ x31x2+2]

 

 

 = (x31x2 )+ (x31x2)+2+2

 

=x31x2)(x31x2)+4

=0+4=4=2b (b=2)

 

Ce qui montre que le centre de symétrie de la fonction \

f(x)=(x1)31(x1)2+2  est le point M(1,2) et

 Présente des asymptotes verticales aux points x=0 et x=2 comme le montre le graphe de la fonction

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