Fonctions paires :
Une fonction est dite paire si pour tout x dans son domaine, elle satisfait la condition suivante :
\(f(−x) =f(x)\)
Cette fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Exemple :
La fonction définie sur ℝ par` \(f(x) =2x^2\) est paire car
\[f(-x) =2(-x)^2=2x^2=f(x)\]
Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées comme le montre la figure ci-dessous
Remarque si \(f(x) =(x-a)^n\) avec n est un entier pair
La droite d’équation \(x=a\) est un axe de symétrie de la courbe
Représentative d’une fonction lorsque la condition suivante
\(f (a- x) =f (a+ x) \) est satisfait
Si \(a=0\) on obtient : \(f(−x) =f(x)\)
Exemple :
\(f(x) =(x-a)^2\) (\(a=3\)) a pour ensemble de définition l'ensemble des réels ℝ et aussi une fonction paire car :
\(f (3- x)\)=\((3-x)-3)^{2}\)
\(=(3-x-3)^{2}=(-x)^{2}=x^{2}\)
et \(f (3+ x)\)=\((3+x)-3)^{2}\)
\(=(3+x-3)^{2}=(x)^{2}=x^{2}\)
On voit que \(f (a- x) =f (a+ x) \)=\(x^{2}\)ce qui montre que la fonction est symétrique par rapport à la droite d'équation 𝑥=3
Fonctions impaires
Une fonction est dite impaire si pour tout x dans son domaine, elle satisfait la condition suivante :
\(f(−x) =-f(x)\)
Cette fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
Exemple :
La fonction définie sur ℝ par` \(f(x) =3x^3\) est impaire car :
\[f(-x) =3(-x) ^3=-3x^3=-f(x)\]
Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine comme le montre la figure ci-dessous
Remarque : si \(f(x) =(x-a)^n+b\) avec n est un entier impair
Le point \(M\) de coordonnées \((a;b)\) est centre de symétrie de
La courbe représentative d’une fonction lorsque la condition
Suivante \(f (a+ x) + f(a-x) =2b\) est satisfait
Si (a ; b)= (0 ; 0) on obtient \(f (0+ x) + f(0-x) =0\) donc \(f(−x) =-f(x)\)
Exemples : si \(a\neq0\) et \(b\neq0\)
Exemple 1: \(f(x) =(x-3)^5+1\)
\(f(x) =(x-3)^5+1\) dans cette exemple ( \(a=3\) et \(b=1\))
Le domaine de définition de la fonction \(f(x) =(x-3)^5+1\) est l'ensemble ℝ
Vérifiant \(f (3+ x) + f(3-x) =2\)
\(f (3+ x)=((3+x)-3)^5+1\)
\(=(x)^5+1\)
\(f (3- x)=((3-x)-3)^5+1\)
\(=(-x)^5+1\)
D’ou :
\(f (3+ x) + f(3-x) =(x)^5+1 - (x)^5+1=2\)
\(=2b\) car (\(b=1\))
Le point \(A\) de coordonnées \((3;1)\) est centre de symétrie de la courbe
Représentative de la fonction\(f(x) =(x+3)^5+1\)
Car \(f (3+ x) + f(3-x) =2\) est satisfait
Exemple 2 : \(f(x)= \frac{(x-1)^3}{1-(x-1)^2}+2\)
\(f(x)=\frac{(x-1)^3}{1-(x-1)^2}+2\) dans cette exemple ( \(a=1 et b=2\))
Le domaine de définition de la fonction \(f(x)=\frac{(x-1)^3}{1-(x-1)^2}+2\) est en fait
\(D= \left\{ x ∈ ℝ / 1 – (x-1)^2\ \neq 0 \right\}\)
Le dénominateur \( 1 -(1- x)^2 \) doit être différent de zéro.
Résoudre : \(1 -(1- x)^2 \neq 0\) ce qui donne
\(1 -(1- 2x+x^2) \neq 0\) \(\implies 2x-x^2 \neq 0\)
\(\implies x(2-x) \neq 0 \)
\(\implies 2-x \neq0\) et \(x \neq 0\)
donc \(x \neq2\) et \(x \neq 0\)
Donc D = ℝ – {0, 2}
Le centre de symétrie de la courbe représentative de cette fonction
\(f(x)=\frac{(x-1)^3}{1-(x-1)^2}+2\)
Est le point \(M (1,2)\) car \(f (1+ x) + f(1-x) =4\)
Calculons donc \(f (1+ x) + f(1-x) \)
=[ \(\frac{(1+x-1)^3}{1 - (1+x-1)^2} + 2 \) ]+[ \( \frac{(1-x-1)^3}{1 - (1-x-1)^2} + 2 \)]
=[ \(\frac{x^3}{1 - x^2} + 2 \) ]+[ \( \frac{-x^3}{1 - x^2} + 2 \)]
= (\(\frac{x^3}{1 - x^2} \) )+ (\( \frac{-x^3}{1 - x^2} \))+\(2+2\)
=\(\frac{x^3}{1 - x^2} )- ( \frac{x^3}{1 - x^2} )+4\)
\(= 0+4=4= 2b \ (b=2)\)
Ce qui montre que le centre de symétrie de la fonction \
\(f(x)=\frac{(x-1)^3}{1-(x-1)^2}+2\) est le point \(M (1,2)\) et
Présente des asymptotes verticales aux points \(x=0\) et \(x=2\) comme le montre le graphe de la fonction
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