Alignement & parallélisme faciles

 Sais-tu vérifier si des points sont alignés ou si des droites sont parallèles ? Avec les vecteurs et la colinéarité, c’est simple et rapide à comprendre !

Vecteurs colinéaires	Points alignés	Droites parallèles
Deux vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires si et seulement s’il existe \(k\in\mathbb{R}\)  tel  que:   \(\vec{AB}\)= \(k \vec{AC}\)	Si  \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires alors les points \(A , B \ et\  C\) sont alignés	Si  \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires alors les droites\( (AB)  \ et\  (AC)\) sont parallèles ou confondus

A retenir : Trois points sont alignés si les vecteurs formés par ces points sont colinéaires.

Deux droites sont parallèles ou confondues si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Exercice 1 :  

Dans un repère du plan   on considère les points : 

 \(A(1,2) ; B (3,6)  ; C(5,10) ; D(2,0)  ;  E(0,3) \ et\  H(-2,-1)\)

1) vérifier si les points \(A; B et C\) sont alignés

2) montrer que les droites \((AB) et (AD)\)  ne sont  pas parallèles 

3) montrer que les droites \((AC) et (HE)\)   sont  parallèles 

CORRECTION 

1) Calculons les  coordonnées  des vecteurs

 \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\)

 \(\vec{AB}= ( x_B -x_A ; y_B- y_A) = ( 3-1;6-2)=(2;4)\)

\(\vec{AC}= (x_C-x_A; y_C-y_A)= (5-1;10-2)=(4;8)\)

\(\vec{AC}\) = \((4;8) = 2(2;4) \) = 2 

 \(\vec{AB}\)  ou \(\vec{AB}= \frac{1}{2}\vec{AC}\)

donc il existe k = \(2   \in \mathbb{R}\)  telle que  \(\vec{AC}=2\vec{AB}\)

 donc les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\)  sont colinéaires alors les point \(A; B et C\) sont alignés ( voir figure 1)

2) Calculons les  coordonnées  des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\)

On a: 

 \(\vec{AB}= ( x_B -x_A ; y_B- y_A) = ( 3-1;6-2)=(2;4)\)

\(\vec{AD}= (x_D-x_A; y_D-y_A)= (2-1;0-2)=(1;-2)\) 

\(\vec{AB} = (2;4) \ et \  \vec{AD}=(1;-2)\)

\(vérifiant\  s'il\  existe \ k  \ tel \ que\   \vec{AB}= k \vec{AD}\) 

première composante : \(2=k\times 1\Rightarrow k=2 \)

deuxième composante : \(4=k\ \times -2 \ \Rightarrow \ k=-2\neq 2\) donc \(k\) n'existe pas alors 

  les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) ne sont pas  colinéaires c' est à dire  les droites \((AB) et (AD)\) ne  sont pas parallèles   donc les droites \((AB) et (AD)\) sont sécantes ( voir figure 1)

3) Calculons les  coordonnées  des vecteurs \(\vec{AC}\) et \(\vec{HE}\)

 on sait que \(\vec{AC} = (4;8) \) d' après 1)

on calcul les coordonnées de 

 \(\vec{HE} =(x_{E}-x_{H} ;y_{E}-y_{H})=(0-(-2);4-(-2))\)

\(= (2;4)=(0-(-2);4-(-2))= (2;4)\)

 \(\vec{HE}= (2;4)  \  et\  \vec{AC} = (4;8) \)vérifiant s'il existe 

 \(k\)  tel que:

\(\vec{HE}=  k \vec{AC}\Rightarrow (2;4)=k (4;8)\Rightarrow k=\frac{1}{2}\) 

donc les vecteurs :

\(\vec{HE}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires ce qui montre que les droites

\((AC) et (HE)\)   sont  parallèles ( voir figure 1)

figure 1

Exercice 2:

Soit ABC  un triangle et les points E  et F  sont tel que  :  \(\vec{CE}=\frac{1}{4}\vec{AB} \ et\ \vec{AF}=\frac{4}{3}\vec{AC}\)

1) construire une figure 

2) montrer que les points \(E , F  \ et \   B\)  sont alignés 

3) Que peut on dire des droites \((BA)  \ et\  (EC)\) 

                                                         

 CORRECTION 

figure 2

2) On a:

\(\vec{CE}=\frac{1}{4}\vec{AB} \ et\ \vec{AF}=\frac{4}{3}\vec{AC}\)

 On a \(\vec{AF}=\frac{4}{3}\vec{AC}\ \ et\ \vec{CE}=\frac{1}{4}\vec{AB} \ d'ou \ \vec{AB}=4\vec{CE}\)

\(\Rightarrow \vec{BA}=4\vec{EC}\)

\(\vec{BF}=\vec{BA}+\vec{AF}=4\vec{EC}+\frac{4}{3}\vec{AC}=4(\vec{EC}+\frac{1}{3}\vec{AC})\)

or  \(\vec{CF}=\frac{1}{3}\vec{AC}  \ donc\ \vec{BF}=4(\vec{EC}+\vec{CF})=4\vec{EF}\)

\(\vec{CF}=4\vec{EF}\)  alors \(\vec{CF}\ et\  \vec{EF}\)  sont colinéaires \(\longrightarrow\) les points \(E; F \ et \ B\) sont alignés  

3) Puisque  :  \(\vec{CE}=\frac{1}{4}\vec{AB} \ \ (\vec{BA}=4\vec{EC})\) Alors \(\vec{BA}\ et\ \vec{EC}\)  sont colinéaires ce qui montre que les droites \((BA)  \ et\  (EC)\) sont parallèles 

figure 3