calcul trigonométrique : Equation et inéquation trigonométrique

1 Equationde la forme \(cos(x)=a;x\in\mathbb{R}\) et \(a\in\mathbb{R}\)

si \(a\in [-1 ;1]\) alors \(\exists \alpha\in \mathbb{R}\) tel que : \(cos(\alpha)=a\)

Donc

\(cos(x)=cos(\alpha)\Leftrightarrow \begin{cases} x=\alpha+2k\pi ; k\in \mathbb{Z}\\ou\\x=-\alpha+2k\pi; k\in \mathbb{Z}\end{cases}\)

Alors:

l’ensemble de solutions de l’équation est :

\(S=\left\{\alpha+2k\pi :k\in \mathbb{Z} \right\}\cup \left\{-\alpha+2k\pi :k\in \mathbb{Z}\right\}\)

si \(a\in ]-\infty ; -1[\cup ]1 ; +\infty [\) pas de solution alors \(S=\emptyset\)

Solution graphique : La solution de \( cos(x) = a\) est donc l'ensemble des intersections de la droite verticale \(x=a\) avec le cercle trigonométrique.

Si \(a=1\) alors \(S=\left\{ 2k\pi;k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Si \(a=0\) alors \(S=\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi:k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Si \(a=-1\ alors\ S=\left\{ -\pi +2k\pi: k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Exercice d'application:

Résoudre dans \( \mathbb{R} \)

L'équation : \( 2cos(x)=\sqrt{2} \)

\( 2cos(x)=\sqrt{2} \Leftrightarrow cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow cos(x)=cos(\frac{\pi}{4}) \Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\\ou & k\in \mathbb{Z}\\x=\frac{-\pi}{4}+2k\pi\end{cases}\)

donc l'ensemble de solution de l'éauation \(2 cos(x)=\sqrt{2} \) est:

\( S=\left\{- \frac{\pi}{4}+2k\pi: k\in\mathbb{Z} \right\}\cup \left\{ \frac{\pi}{4}+2k\pi: k\in\mathbb{Z} \right\} \)

2 Équation de la forme \(sin(x)=a :x\in\mathbb{R} \ et\ a\in\mathbb{R}\)

Si \(a\in [-1 ;1]\) alors \(\exists \alpha\in \mathbb{R}\) tel que : \(sin(\alpha)=a\)

Donc

\(sin(x)=sin(\alpha)\Leftrightarrow \begin{cases} x=\alpha+2k\pi ; k\in \mathbb{Z}\\ou\\x=(\pi -\alpha)+2k\pi; k\in \mathbb{Z}\end{cases}\)

Alors l’ensemble de solutions de l’équation est :

\(S=\left\{\alpha+2k\pi \ :k\in \mathbb{Z} \right\}\cup \left\{\pi-\alpha+2k\pi :k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Si \(a\in ]-\infty ; -1[\cup ]1 ; +\infty [\) l'équation \(sin(x)=a\) n'apas de solution alors \(S=\emptyset\)

Solution graphique : La solution de \(sin(x) = a\) est donc l'ensemble des intersections de la droite verticale \(y=a\) avec le cercle trigonométrique.

Si \(a=1\) alors \(S=\left\{ \frac{\pi}{2}+2k\pi:k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Si \(a=0\) alors \(S=\left\{ k\pi:k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Si \(a=-1\)alors \(S=\left\{ -\frac{\pi}{2}+2k\pi:k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Exercice d'application:

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation:\(sin(4x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(sin(4x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow sin(4x)=sin(-\frac{\pi}{3})\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}4x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\ou&k\in \mathbb{Z}\\ 4x=\pi-(-\frac{\pi}{3})+2k\pi\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=-\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{4}\\ou&k\in \mathbb{Z}\\ 4x=\frac{4\pi}{12}+\frac{2k\pi}{4}\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\\ou&k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2}\end{cases}\)

Donc l'ensemble de solution de l'équation \(sin(4x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) est:

\(S=\left\{ -\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}:k\in \mathbb{Z} \right\}\cup \left\{ \frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2}:k\in \mathbb{Z} \right\}\)

3 Équation de la forme: \(tan(x)=a: x\in \mathbb{R}-\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi:k\in \mathbb{Z} \right\}\) et \(a\in \mathbb{R}\)

Soit \(\alpha\in \mathbb{R}\) tel que \(tan(\alpha)=a\)

D’où : \(tan(x)=a\Leftrightarrow tan(x)=tan(\alpha)\)

\(\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi:k\in \mathbb{Z}\)

Alors l’ensemble de solutions de l’équation \(tan(x)=a\) est :\(S\left\{ \alpha+k\pi:k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Solution graphique:de l’équation \(tan(x)=a: x\in \mathbb{R}-\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi:k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Exercice d'application :

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) \( tan(x)=\sqrt{2}-1 \)

En déduire la résolution de l'équation :

\( tan(x)=\sqrt{2}-1 \) dans \( x\in ]0;\frac{\pi}{2}[ \)

pour resoudre l'équation \(tan(x)=\sqrt{2}-1\) calculons d'abord \( tan(2x) \)

on a: \(tan(2x)=\frac{2tan(x)}{1-tan^{2}(x)}=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=1\)

donc on doit résoudre l'équation \(tan(2x)=1\) pour trouver la solution de l'équation :

\(tan(x)=\sqrt{2}-1\)

Résolvant donc l'équaton:

\(tan(2x)=1\Leftrightarrow tan(2x)=tan(\frac{\pi}{4})\)

\(\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi}{4}+k\pi:k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}:k\in \mathbb{Z}\)

alors la solution de \(tan(x)=\sqrt{2}-1\) dans \( \mathbb{R} \) est \(S=\left\{ \frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}:k\in \mathbb{Z} \right\}\)

La solution de l'équation \(tan(x)=\sqrt{2}-1\) dans \(]0;\frac{\pi}{2}[\) est \(x=\frac{\pi}{8}\)

4 Equation de la forme : \(aco(x)+bsin(x)=c\) (\(x\in \mathbb{R}\)) et \(a;b \ et\ c\) des réels

La résolution de ce type d'équation consiste à transformer l'équation :\(acos(x)+bsin(x)=c\)

Soit à : \begin{cases}cos(x-\alpha)=cos(\beta) \\ou\\ sin(x+\alpha)=sin(\beta)\end{cases}

Transformant donc :\(aco(x)+bsin(x)=c\)

\( a;b \ et \ c \) des réels et \(\left( \frac{a}{\sqrt{a²+b²}} \right)^{2}+\left( \frac{b}{\sqrt{a²+b²}} \right)^{2}=1\)

donc il existe \(\alpha\in\mathbb{R}\) tel que: \(\begin{cases}cos(\alpha)=\frac{a}{\sqrt{a²+b²}} \ et \ sin(\alpha)=\frac{b}{\sqrt{a²+b²}}\\ ou \\ cos(\alpha)=\frac{b}{\sqrt{a²+b²}} \ et \ sin(\alpha)=\frac{a}{\sqrt{a²+b²}} \end{cases}\) alors:

\( aco(x)+bsin(x)=c \) \( \Leftrightarrow \) \(\begin{cases}\sqrt{a²+b²}\left(cos(\alpha)cos(x)+sin(\alpha)sin(x) \right)=c \\ ou\\ \sqrt{a²+b²}(sin(\alpha)cos(x)+cos(\alpha)sin(x))=c \end{cases}\)

\( \Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{a²+b²} (cos(x-\alpha)) =c \\ ou\\ \sqrt{a²+b²}(sin(x+\alpha))=c \end{cases} \)

\( \Leftrightarrow \begin{cases}cos(x-\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a²+b²}}\\ou\\sin(x+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a²+b²}}\end{cases}\)

si \(\frac{c}{\sqrt{a²+b²}}\notin \left[-1;1 \right]\) l'équation n'a pas de solution donc \(S=\emptyset \)

si \(\frac{c}{\sqrt{a²+b²}}\in \left[-1;1 \right]\) donc l'équation admet de solution il existe \(\beta\) tel que:

\( \begin{cases}cos(\beta)=\frac{c}{\sqrt{a²+b²}}\\ ou \\ sin(\beta)=\frac{c}{\sqrt{a²+b²}}\end{cases} \)

Alors :

\(acos(x)+bsin(x)=c\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}cos(x-\alpha)=cos(\beta)\\ou\\sin(x+\alpha)=sin(\beta)\end{cases}\)

Donc la résolution de l'équation \(acos(x)+bsin(x)=c\) c'est la résolution de l'equation:

\(\begin{cases}cos(x-\alpha)=cos(\beta)\\ou\\sin(x+\alpha)=sin(\beta)\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x-\alpha=\beta+2k\pi \ ou\ x-\alpha=-\beta+2k\pi\\ou&k\in \mathbb{Z}\\x+\alpha=\beta+2k\pi \ ou\ x+\alpha=(\pi-\beta)+2k\pi\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=\beta+\alpha+2k\pi \ ou\ x=-\beta+\alpha+2k\pi\\ou&k\in \mathbb{Z}\\x=(\beta-\alpha)+2k\pi \ ou\ x=(\pi-\beta)-\alpha+2k\pi\end{cases}\)

Exercice d'application :

Résoudre dans \(-cos(3x)+\sqrt{3}sin(3x)=-1\)

Transformant l'équation \(-cos(3x)+\sqrt{3}sin(3x)=-1\)

soit à \( \begin{cases}sin(x+\alpha)=sin(\beta) \\ou\\cos(x-\alpha)=cos(\beta) \end{cases} \)

1) Transformant l'équation à \( sin(x+\alpha)=sin(\beta)\)

\(-cos(3x)+\sqrt{3}sin(3x)=-1\)

\(\Leftrightarrow 2\left( \frac{-1}{2}co(3x)+ \frac{\sqrt{3}}{2}sin(3x)\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow 2\left(sin(\frac{-\pi}{6})cos(3x)+cos(\frac{-\pi}{6})sin(3x) \right)=-1\)

\(\Leftrightarrow 2\left( sin(\frac{-\pi}{6}+3x) \right)=-1\)

\(\Leftrightarrow sin(3x-\frac{\pi}{6})=\frac{-1}{2}\)

\(\Leftrightarrow sin(3x-\frac{\pi}{6})=sin(\frac{-\pi}{6})\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}(3x-\frac{\pi}{6})=\frac{-\pi}{6}+2k\pi \\ ou\\ (3x-\frac{\pi}{6})=\pi-(-\frac{\pi}{6})+2k\pi\end{cases} :k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}3x=\frac{-\pi}{6}+\frac{\pi}{6}+2k\pi \\ ou\\ 3x=\pi+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{cases}:k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{2k\pi}{3}\\ou\\x=\frac{8\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}\end{cases}: k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{2k\pi}{3}\\ou\\x=\frac{4\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\end{cases}: k\in \mathbb{Z}\)

\(S=\left\{ \frac{2k\pi}{3} ;k\in \mathbb{Z} \right\}\cup \left\{ \frac{4\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3};k\in \mathbb{Z} \right\}\)

2) Transformant l'équation à \( cos(x-\alpha)=cos(\beta)\)

\(-cos(3x)+\sqrt{3}sin(3x)=-1\)

\(\Leftrightarrow 2\left( \frac{-1}{2}co(3x)+ \frac{\sqrt{3}}{2}sin(3x)\right)=-1 \\\Leftrightarrow 2\left(cos(\frac{2\pi}{3})cos(3x)+sin(\frac{2\pi}{3})sin(3x) \right)=-1\)

\(\Leftrightarrow 2\left( cos(\frac{2\pi}{3}-3x) \right)=-1\\\Leftrightarrow cos(\frac{2\pi}{3}-3x)=\frac{-1}{2}\)

\(\Leftrightarrow cos(\frac{2\pi}{3}-3x)=cos(\frac{2\pi}{3})\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{2\pi}{3}-3x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \\ou\\ \frac{2\pi}{3}-3x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\end{cases} k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}-3x=\frac{2\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}+2k\pi \\ou\\ -3x=-\frac{2\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\end{cases} k\in \mathbb{Z}\\\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{-2k\pi }{3}\\ou\\ x=\frac{4\pi}{9}-\frac{2k\pi}{3}\end{cases} k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{2k\pi }{3}\\ou\\ x=\frac{4\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\end{cases} k\in \mathbb{Z}\)

\(S=\left\{ \frac{2k\pi}{3} ;k\in \mathbb{Z} \right\}\cup \left\{ \frac{4\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3};k\in \mathbb{Z} \right\}\)

5 Inéquations trigonométriques

Une inéquation trigonométrique est une inégalité qui implique des fonctions trigonométriques, comme le sinus, le cosinus, la tangente, etc. Résoudre une inéquation trigonométrique consiste à trouver l'ensemble des valeurs de l'argument (généralement un angle) qui satisfont l'inégalité donnée.

1)Les étapes pour résoudre des inéquations trigonométriques :

• Réduire l'inéquation à une forme plus simple.

• Résoudre l'équation associée (en remplaçant l'inégalité par une égalité).

• Analyser les intervalles dans lesquels la fonction trigonométrique est supérieure, inférieure ou égale à une valeur donnée.

• Donner la solution sous forme d'une union d'intervalles sur une période donnée, en prenant en compte la périodicité des fonctions trigonométriques.

2)Exemples d’inéquations trigonométriques :

Exemple1 :

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation :\( sin(x) \gtrdot\frac{1}{2}\)

L'équation associée est :\(\sin(x) = \frac{1}{2}\)

Trouver les solutions de l'équation associée:

On sait que \(\sin(x) = \frac{1}{2}\Leftrightarrow sin(x)sin(\frac{\pi}{6}) \) d'où

\begin{array}{cc}x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\ou&k\in\mathbb{Z}\\x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{array}

donc

\begin{array}{cc} x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\ou&k\in\mathbb{Z}\\x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{array}

Donc l'inégalité \( sin(x)\gtrdot\frac{1}{2} \) est satisfaite dans l'intervalle :

\(\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Alors l'ensemble de solution est :

\( S=]\frac{\pi}{6}+2k\pi;\frac{5\pi}{6}+2k\pi[ , k\in\mathbb{Z} \)

Exemple 2:

Résoudre dans\( [-\pi;\pi] \) l'inéquation :\( cos(3x)-3sin(x)+3\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})\leq\frac{1}{2}\)

Pour résoudre l'inéquation d'abord simplifiant l'expression :

\( cos(3x)-3sin(x)+3\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})\)

\(=cos(2x+x)-3sin(x)+3\sqrt{2}[sin(x)cos(\frac{\pi}{4})+cos(x)sin(\frac{\pi}{4})]\)

\( =cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)-3sin(x)+3\sqrt{2}[\dfrac{\sqrt{2}}{2}sin(x)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}cos(x)]\)

\( =(2cos^{2}(x)-1)cos(x)-2sin^{2}(x)cos(x)-3sin(x)+3sin(x)+3cos(x) \)

\( =2cos^{3}(x)-cos(x)+3cos(x)-2sin^{2}(x)cos(x) \)

\( =2cos^{3}+2cos(x)(1-sin^{2}(x)) \) et comme \( 1-sin^{2}(x)=cos^{2}(x) \) alors :

\( cos(3x)-3sin(x)+3\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})=4cos^{3}(x)\)

Et par suite l'équation associé a l'inéquation \( 4cos^{3}(x)\leq\frac{1}{2} \) est la suivante :

\( 4cos^{3}(x)=\frac{1}{8}\)

Donc on doit résoudre l'équation : \( 4cos^{3}(x)=\frac{1}{8}\) et en déduire la solution de l'inéquation :

\( cos(3x)-3sin(x)+3\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})\leq\frac{1}{2}\)

Résolvant :

\( 4cos^{3}(x)=\frac{1}{8}\)\(\Leftrightarrow\)\( 4cos^{3}(x)-\frac{1}{8}=0\)

\(\Leftrightarrow(cos(x)-\frac{1}{2})(cos^{2}(x)+\frac{1}{2}cos(x)+\frac{1}{4})=0\)

Ce qui donne : \begin{array}{cc} cos(x)-\frac{1}{2}=0 \quad\color{red}{(1)}\\ou\\cos^{2}(x)+\frac{1}{2}cos(x)+\frac{1}{4}=0\quad\color{blue}{(2)}\end{array}

En remarque l'équation \(\color{blue}{(2)}\) n'a pas de solution car son discriminant\( \Delta< 0 \) car en remplaçant \(cos(x)=X\) l'équation \(\color{blue}{(2)}\) devient \( X^{2}+\dfrac{1}{2}X+\dfrac{1}{4} \) Alors \( \Delta=(\dfrac{1}{2})^{2}-4(\dfrac{1}{4})=\dfrac{1}{4}-1< 0 \)

D'où \( cos^{2}(x)+\frac{1}{2}cos(x)+\frac{1}{4}>0\ \forall x\in\mathbb{R} \)

donc résolvant l'équation \(\color{red}{(1)}\):

\( cos(x)-\frac{1}{2}=0 \)\( \Leftrightarrow cos(x)=cos(\frac{\pi}{3}) \) d'où

\begin{array}{cc} x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\\ou&k\in\mathbb{Z}\\x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \end{array}

les solutions de l'équation \( cos(x)-\frac{1}{2}=0 \) dans \( [-\pi;\pi] \) est \( S=\left\lbrace - \frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3} \right\rbrace \)

Par conséquant la solution de l'inéquation :

\( cos(3x)-3sin(x)+3\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})\leq\frac{1}{2}\) dans \( [-\pi;\pi] \) est: \( \color{red}{S=\left[ -\pi;\frac{\pi}{3}\right] \cup\left[ \frac{\pi}{3};\pi\right] } \)