➡️ 3 méthodes simples pour tout comprendre
Comprendre les systèmes de 2 équations à 2 inconnues (niveau 3ème)
Les systèmes d’équations font partie des bases importantes en mathématiques au collège. Ils permettent de résoudre des problèmes où plusieurs conditions doivent être vérifiées en même temps.
Dans cet article, tu vas découvrir les méthodes essentielles, des explications simples et des conseils pour réussir.
1. Qu’est-ce qu’un système d’équations ?
Un système de 2 équations à 2 inconnues contient deux variables : x et y.
On écrit :
\[ \begin{cases} {\color{red}a}x + {\color{blue}b}y = {\color{purple}c} \\ {\color{red}a'}x + {\color{blue}b'}y = {\color{purple}c'} \end{cases} \]
Les principales méthodes de résolution
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système. Voici les trois plus importantes à connaître au collège.
🔹 1. Méthode de substitution
- Isoler x ou y
- Remplacer dans l’autre équation
- Résoudre
- Revenir à l’inconnue
Exemple :
\[ \begin{cases} {\color{red}2}x + {\color{blue}4}y = {\color{purple}7} \\ {\color{red}3}x + {\color{blue}2}y = {\color{purple}4} \end{cases} \]
1️⃣ On isole x
\( {\color{red}2}x + {\color{blue}4}y = {\color{purple}7} \Rightarrow {\color{red}2}x = 7 - {\color{blue}4}y \Rightarrow x = \frac{7 - {\color{blue}4}y}{2} \)
2️⃣ On remplace
\( 3\left(\frac{7 - {\color{blue}4}y}{2}\right) + {\color{blue}2}y = 4 \)
3️⃣ On développe
\( \frac{21 - {\color{blue}12}y}{2} + {\color{blue}2}y = 4 \Rightarrow \frac{21 - {\color{blue}8}y}{2} = 4 \)
4️⃣ On résout
\( 21 - {\color{blue}8}y = 8 \Rightarrow -{\color{blue}8}y = -13 \Rightarrow y = \frac{13}{8} \)
5️⃣ On calcule x
\( x = \frac{7 - {\color{blue}4}\cdot\frac{13}{8}}{2} = \frac{\frac{56}{8} - \frac{52}{8}}{2} = \frac{\frac{4}{8}}{2} = \frac{1}{4} \)
✔ Solution finale
\( x = \frac{1}{4} \) et \( y = \frac{13}{8} \) ⇒ couple \( \left(\frac{1}{4} ; \frac{13}{8}\right) \)
🔹 2. Méthode d’élimination
- Additionner ou soustraire les équations
- Supprimer une inconnue
- Résoudre
\[ \begin{cases} {\color{red}2}x + {\color{blue}4}y = {\color{purple}7} (\color{Blue} E_1 )\\ {\color{red}3}x + {\color{blue}2}y = {\color{purple}4} ( \color{Purple} E_2 ) \end{cases} \]
On veut éliminer \(y\) :
On multiplie la 2ème équation par 2 : 2\(E_2\) =\(6x + 4y = 8 \)
On soustrait :
\(2{\color{purple}E_2} - {\color{blue}E_1}\)
\(\Rightarrow 6x + 4y-(2x + 4y)=8-7\Rightarrow 4x=1\Rightarrow x=\frac{1}{4} \)
On remplace \(x \) dans l'une déquation soit \({\color{purple}:E_2}\)
\(3\frac{1}{4}+2y=4\Rightarrow 2y=4-\frac{3}{4}=\frac{16-3}{4}=\frac{13}{4}\Rightarrow y=\frac{13}{8}\)
donc : \( x = \frac{1}{4} \) et \( y = \frac{13}{8} \) ⇒ couple \( \left(\frac{1}{4} ; \frac{13}{8}\right) \)
🔹 3. Méthode du déterminant \(\Delta\)
| Δ | Δx | Δy | Formules de Cramer |
|---|---|---|---|
| \[ \Delta = \begin{vmatrix} \color{red}{a} & \color{blue}{b} \\ \color{red}{a'} & \color{blue}{b'} \end{vmatrix} = \color{red}{a}\color{blue}{b'} - \color{red}{a'}\color{blue}{b} \] | \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} \color{purple}{c} & \color{blue}{b} \\ \color{purple}{c'} & \color{blue}{b'} \end{vmatrix} = \color{purple}{c}\color{blue}{b'} - \color{purple}{c'}\color{blue}{b} \] | \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} \color{red}{a} & \color{purple}{c} \\ \color{red}{a'} & \color{purple}{c'} \end{vmatrix} = \color{red}{a}\color{purple}{c'} - \color{red}{a'}\color{purple}{c} \] | \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \quad ; \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \] |
Conditions: cas de \(delta\)
| Condition | Résultat (solutions + nature) |
|---|---|
| \(\Delta \neq 0\) |
\[
x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}
\]
✔️ Solution unique → système compatible déterminé |
| \(\Delta = 0,\ \Delta_x = 0,\ \Delta_y = 0\) |
Infinité de solutions ✔️ Système compatible indéterminé |
| \(\Delta = 0,\ (\Delta_x \neq 0 \text{ ou } \Delta_y \neq 0)\) |
Aucune solution ❌ Système incompatible |
Exemple : Méthode du déterminant
On considère le système :
\[ \begin{cases} {\color{red}2}x + {\color{blue}3}y = {\color{purple}5} \\ {\color{red}4}x + {\color{blue}1}y = {\color{purple}6} \end{cases} \]
1️⃣ Calcul du déterminant Δ
\[ \Delta = \begin{vmatrix} {\color{red}2} & {\color{blue}3} \\ {\color{red}4} & {\color{blue}1} \end{vmatrix} = {\color{red}2} \times {\color{blue}1} - {\color{red}4} \times {\color{blue}3} = 2 - 12 = -10 \]
✔️ Comme Δ ≠ 0, le système admet une solution unique.
2️⃣ Calcul de Δx
\[ \Delta_x = \begin{vmatrix} {\color{purple}5} & {\color{blue}3} \\ {\color{purple}6} & {\color{blue}1} \end{vmatrix} = {\color{purple}5} \times {\color{blue}1} - {\color{purple}6} \times {\color{blue}3} = 5 - 18 = -13 \]
3️⃣ Calcul de Δy
\[ \Delta_y = \begin{vmatrix} {\color{red}2} & {\color{purple}5} \\ {\color{red}4} & {\color{purple}6} \end{vmatrix} = {\color{red}2} \times {\color{purple}6} - {\color{red}4} \times {\color{purple}5} = 12 - 20 = -8 \]
4️⃣ Calcul de x et y
\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-13}{-10} = \frac{13}{10} \]
\[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-8}{-10} = \frac{4}{5} \]
✔️ Solution finale
\[ x = \frac{13}{10} \quad ; \quad y = \frac{4}{5} \]
⇒ Le couple solution est : \[ \left(\frac{13}{10} ; \frac{4}{5}\right) \]
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