➡️ 3 méthodes simples pour tout comprendre
Comprendre les systèmes de 2 équations à 2 inconnues (niveau 3ème)
Les systèmes d’équations font partie des bases importantes en mathématiques au collège. Ils permettent de résoudre des problèmes où plusieurs conditions doivent être vérifiées en même temps.
Dans cet article, tu vas découvrir les méthodes essentielles, des explications simples et des conseils pour réussir.
1. Qu’est-ce qu’un système d’équations ?
Un système de 2 équations à 2 inconnues contient deux variables : x et y.
On écrit :
\[ \begin{cases} {\color{red}a}x + {\color{blue}b}y = {\color{purple}c} \\ {\color{red}a'}x + {\color{blue}b'}y = {\color{purple}c'} \end{cases} \]
Les principales méthodes de résolution
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système. Voici les trois plus importantes à connaître au collège.
🔹 1. Méthode de substitution
- Isoler x ou y
- Remplacer dans l’autre équation
- Résoudre
- Revenir à l’inconnue
Exemple :
\[ \begin{cases} {\color{red}2}x + {\color{blue}4}y = {\color{purple}7} \\ {\color{red}3}x + {\color{blue}2}y = {\color{purple}4} \end{cases} \]
1️⃣ On isole x
\( {\color{red}2}x + {\color{blue}4}y = {\color{purple}7} \Rightarrow {\color{red}2}x = 7 - {\color{blue}4}y \Rightarrow x = \frac{7 - {\color{blue}4}y}{2} \)
2️⃣ On remplace
\( 3\left(\frac{7 - {\color{blue}4}y}{2}\right) + {\color{blue}2}y = 4 \)
3️⃣ On développe
\( \frac{21 - {\color{blue}12}y}{2} + {\color{blue}2}y = 4 \Rightarrow \frac{21 - {\color{blue}8}y}{2} = 4 \)
4️⃣ On résout
\( 21 - {\color{blue}8}y = 8 \Rightarrow -{\color{blue}8}y = -13 \Rightarrow y = \frac{13}{8} \)
5️⃣ On calcule x
\( x = \frac{7 - {\color{blue}4}\cdot\frac{13}{8}}{2} = \frac{\frac{56}{8} - \frac{52}{8}}{2} = \frac{\frac{4}{8}}{2} = \frac{1}{4} \)
✔ Solution finale
\( x = \frac{1}{4} \) et \( y = \frac{13}{8} \) ⇒ couple \( \left(\frac{1}{4} ; \frac{13}{8}\right) \)
🔹 2. Méthode d’élimination
- Additionner ou soustraire les équations
- Supprimer une inconnue
- Résoudre
\[ \begin{cases} {\color{red}2}x + {\color{blue}4}y = {\color{purple}7} (\color{Blue} E_1 )\\ {\color{red}3}x + {\color{blue}2}y = {\color{purple}4} ( \color{Purple} E_2 ) \end{cases} \]
On veut éliminer \(y\) :
On multiplie la 2ème équation par 2 : 2\(E_2\) =\(6x + 4y = 8 \)
On soustrait :
\(2{\color{purple}E_2} - {\color{blue}E_1}\)
\(\Rightarrow 6x + 4y-(2x + 4y)=8-7\Rightarrow 4x=1\Rightarrow x=\frac{1}{4} \)
On remplace \(x \) dans l'une déquation soit \({\color{purple}:E_2}\)
\(3\frac{1}{4}+2y=4\Rightarrow 2y=4-\frac{3}{4}=\frac{16-3}{4}=\frac{13}{4}\Rightarrow y=\frac{13}{8}\)
donc : \( x = \frac{1}{4} \) et \( y = \frac{13}{8} \) ⇒ couple \( \left(\frac{1}{4} ; \frac{13}{8}\right) \)
🔹 3. Méthode du déterminant \(\Delta\)
| Δ | Δx | Δy | Formules de Cramer |
|---|---|---|---|
| \[ \Delta = \begin{vmatrix} \color{red}{a} & \color{blue}{b} \\ \color{red}{a'} & \color{blue}{b'} \end{vmatrix} = \color{red}{a}\color{blue}{b'} - \color{red}{a'}\color{blue}{b} \] | \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} \color{purple}{c} & \color{blue}{b} \\ \color{purple}{c'} & \color{blue}{b'} \end{vmatrix} = \color{purple}{c}\color{blue}{b'} - \color{purple}{c'}\color{blue}{b} \] | \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} \color{red}{a} & \color{purple}{c} \\ \color{red}{a'} & \color{purple}{c'} \end{vmatrix} = \color{red}{a}\color{purple}{c'} - \color{red}{a'}\color{purple}{c} \] | \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \quad ; \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \] |
Conditions: cas de \(delta\)
| Condition | Résultat (solutions + nature) |
|---|---|
| \(\Delta \neq 0\) |
\[
x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}
\]
✔️ Solution unique → système compatible déterminé |
| \(\Delta = 0,\ \Delta_x = 0,\ \Delta_y = 0\) |
Infinité de solutions ✔️ Système compatible indéterminé |
| \(\Delta = 0,\ (\Delta_x \neq 0 \text{ ou } \Delta_y \neq 0)\) |
Aucune solution ❌ Système incompatible |
Exemple : Méthode du déterminant
On considère le système :
\[ \begin{cases} {\color{red}2}x + {\color{blue}3}y = {\color{purple}5} \\ {\color{red}4}x + {\color{blue}1}y = {\color{purple}6} \end{cases} \]
1️⃣ Calcul du déterminant Δ
\[ \Delta = \begin{vmatrix} {\color{red}2} & {\color{blue}3} \\ {\color{red}4} & {\color{blue}1} \end{vmatrix} = {\color{red}2} \times {\color{blue}1} - {\color{red}4} \times {\color{blue}3} = 2 - 12 = -10 \]
✔️ Comme Δ ≠ 0, le système admet une solution unique.
2️⃣ Calcul de Δx
\[ \Delta_x = \begin{vmatrix} {\color{purple}5} & {\color{blue}3} \\ {\color{purple}6} & {\color{blue}1} \end{vmatrix} = {\color{purple}5} \times {\color{blue}1} - {\color{purple}6} \times {\color{blue}3} = 5 - 18 = -13 \]
3️⃣ Calcul de Δy
\[ \Delta_y = \begin{vmatrix} {\color{red}2} & {\color{purple}5} \\ {\color{red}4} & {\color{purple}6} \end{vmatrix} = {\color{red}2} \times {\color{purple}6} - {\color{red}4} \times {\color{purple}5} = 12 - 20 = -8 \]
4️⃣ Calcul de x et y
\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-13}{-10} = \frac{13}{10} \]
\[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-8}{-10} = \frac{4}{5} \]
✔️ Solution finale
\[ x = \frac{13}{10} \quad ; \quad y = \frac{4}{5} \]
⇒ Le couple solution est : \[ \left(\frac{13}{10} ; \frac{4}{5}\right) \]
🔹 4. Méthode graphique
On considère un système d’équations du premier degré à deux inconnues :
\[ \begin{cases} {\color{red}a}x + {\color{blue}b}y = {\color{purple}c} \\ {\color{red}a'}x + {\color{blue}b'}y = {\color{purple}c'} \end{cases} \]
La méthode graphique permet de résoudre ce système en représentant chaque équation sous forme de droite dans un repère.
🔹 Étapes de la méthode graphique
- 1. Mettre chaque équation sous la forme : y = ax + b
- 2. Choisir deux valeurs de x
- 3. Calculer les valeurs de y
- 4. Tracer les deux droites dans un repère
- 5. Lire le point d’intersection
🔹 Interprétation graphique
1. Les droites se coupent → une seule solution
Exemple :
y = 2x + 1
y = -x + 4 Solution : (1 ; 3)
2. Les droites sont parallèles → aucune solution
Exemple :
Les droites ont le même coefficient directeur (2) → elles ne se coupent jamais.
3. Les droites sont confondues → infinité de solutions
Exemple :
y = -x + 2
2y = -2x + 4
La deuxième équation est un multiple de la première → mêmes droites.(droites confondues)
🔹 Exemple complet (cas 1 : solution unique)
Résoudre graphiquement :
3x+y =-3
4x+4y = -4
Table de valeurs :
x
y = -3x + 3
y = -x - 1
0
3
-1
-1
0
0
2
-3
-3
| x | y = -3x + 3 | y = -x - 1 |
|---|---|---|
| 0 | 3 | -1 |
| -1 | 0 | 0 |
| 2 | -3 | -3 |
Conclusion : Les droites se coupent au point (2 ; -3).
y = x + 2
y = -2x + 5
🔸 Exercice 2
y = 3x - 1
y = 3x + 2
🔸 Exercice 3
y = -x + 2
y = -x + 2
🔸 Exercice 4
Un élève trouve le point (2 ; 1) comme intersection. Quelle est la solution du système ?
Exercices∶ Résoudre les systèmes d’équations suivants
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