Exercice 4 :
Soit deux nombres réels \( a = \frac{37\pi}{6} \) et \( b = -\frac{11\pi}{6} \).
1. Montrer que ces deux nombres sont "conjugués" (congrus) modulo \( 2\pi \)
2. Déterminer leur abscisse curviligne principale commune.
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1. Détermination des abscisses principales
Pour chaque mesure d'angle \( x \), on cherche l'unique entier
\( k \in \mathbb{Z} \) tel que l'abscisse principale
\( \alpha \) appartienne à l'intervalle \( ]-\pi ; \pi] \)
avec la relation :
\[
\alpha = x + 2k\pi
\]
Abscisse de \( 9\pi \)
Inéquation :\(-\pi\lt 9\pi+2k\pi\le \pi\)
Simplification :\(-\pi\lt 9\pi+2k\pi\le \pi\)
Isolement de \(2k\) : \(-1-9\lt 2k\le 1-9\Rightarrow -10\lt 2k\le -8\)
on divise par \(2\):\(-5\lt k\le -4\)
On choisit l'entier : \( k = -4 \)
Résultat : \( \alpha = 9\pi + 2(-4)\pi = 9\pi - 8\pi = \mathbf{\pi} \)
Abscisse de \( \frac{19\pi}{4} \)
Inéquation : \(-\pi\lt \frac{19\pi}{4}+2k\pi\le \pi\)
Simplification : \( -1\lt \frac{19}{4}+2k\le 1 \)
Isolement de \(2k\) : \( -1\lt \frac{19}{4}+2k\le 1\Rightarrow -1-\frac{19}{4}\lt 2k\le 1-\frac{19}{4}\Rightarrow \frac{-23}{4}\lt 2k\le \frac{-15}{4} \)
on divise par \(2\) : \( \frac{-23}{8}\lt k\le \frac{-15}{8}\Rightarrow -2,875\lt k\le -1,875 \)
On choisit l'entier : \( k = -2 \)
Résultat : \( \alpha = \frac{19\pi}{4} - 4\pi = \frac{19\pi - 16\pi}{4} = \mathbf{\frac{3\pi}{4}} \)
Abscisse de \( \frac{17}{4} \)
Inéquation : \(-\pi\lt \frac{17\pi}{4}+2k\pi\le \pi\)
Simplification : \( -1\lt \frac{17}{4}+2k\le 1\)
Isolement de \(2k\) : \( -1 - \frac{17}{4} \lt 2k \le 1 - \frac{17}{4} \Rightarrow -\frac{21}{4} \lt 2k \le -\frac{13}{4} \)
on divise par \(2\) : \( \frac{-21}{8}\lt k\le \frac{-13}{8} \Rightarrow -2,62 \lt k \le -1,62 \)
On choisit l'entier : \( k = -2 \)
Résultat : \( \alpha = \frac{17\pi}{4} - 4\pi = \frac{17\pi - 16\pi}{4} = \mathbf{\frac{\pi}{4}} \)
Abscisse de \( \frac{29}{2} \)
Inéquation : \(-\pi\lt \frac{29\pi}{2}+2k\pi\le \pi\)
Simplification : \( -1 \lt \frac{29}{2} + 2k \le 1 \)
Isolement de \(2k\) : \( -1 - \frac{29}{2} \lt2k \le 1 - \frac{29}{2} \Rightarrow -\frac{31}{2} \lt2k \le -\frac{27}{2} \)
Encadrement : \( -\frac{31}{4} \lt k \le -\frac{27}{4} \Rightarrow -7,75 \lt k \le -6,75 \)
On choisit l'entier : \( k = -7 \)
Résultat : \( \alpha = \frac{29\pi}{2} - 14\pi = \frac{29\pi - 28\pi}{2} = \mathbf{\frac{\pi}{2}} \)
Abscisse de \(\frac{110}{3} \)
Inéquation : \(-\pi\lt \frac{110\pi}{3}+2k\pi\le \pi\)
Simplification : \( -1 \lt \frac{110}{3} + 2k \le 1 \)
Isolement de \(2k\) : \( -1 - \frac{110}{3} \lt 2k \le 1 - \frac{110}{3} \Rightarrow -\frac{113}{3} \lt 2k \le -\frac{107}{3} \)
on divise par \(2\) : \( \frac{113}{6} \lt k \le -\frac{107}{6}\Rightarrow -18,83\lt k \le -17,83 \)
On choisit l'entier : \( k = -18 \)
Résultat : \( \alpha = \frac{110\pi}{3} - 36\pi = \frac{110\pi - 108\pi}{3} = \mathbf{\frac{2\pi}{3}} \)
Abscisse de \(-\frac{121}{3} \)
Inéquation : \(-\pi\lt -\frac{121\pi}{3}+2k\pi\le \pi\)
Simplification : \( -1 \lt -\frac{121}{3} + 2k \le 1 \)
Isolement de \(2k\) : \( -1 + \frac{121}{3} \lt 2k \le 1 + \frac{121}{3} \Rightarrow \frac{118}{3} \lt 2k \le \frac{124}{3} \)
on divise par \(2\) : \( \frac{118}{6} \lt k \le \frac{124}{6} \Rightarrow 19,66 \lt k \le 20,66 \)
On choisit l'entier : \( k = 20 \)
Résultat : \( \alpha = -\frac{121\pi}{3} + 40\pi = \frac{-121\pi + 120\pi}{3} = \mathbf{-\frac{\pi}{3}} \)
Abscisse de \(-\frac{215}{6} \)
Inéquation : \(-\pi\lt -\frac{215\pi}{6}+2k\pi\le \pi\)
Simplification : \( -1 \lt -\frac{215}{6} + 2k \le 1 \)
Isolement de \(2k\) : \( -1 + \frac{215}{6} \lt 2k \le 1 + \frac{215}{6} \Rightarrow \frac{209}{6} \lt 2k \le \frac{221}{6} \)
on divise par \(2\) : \( \frac{209}{12} \lt k \le \frac{221}{12} \Rightarrow 17,416 \lt k \le 18,416 \)
On choisit l'entier : \( k = 18 \)
Résultat : \( \alpha = -\frac{215\pi}{6} + 36\pi = \frac{-215\pi + 216\pi}{6} = \mathbf{\frac{\pi}{6}} \)
2. Représentation sur le cercle trigonométrique
π
3π/4
π/4
π/2
2π/3
-π/3
π/6
π
3π/4
π/4
π/2
2π/3
-π/3
π/6
Exercice 2 : Points confondus
Montrons que \( \frac{96\pi}{7} \), \( -\frac{16\pi}{7} \) et \( \frac{12\pi}{7} \) correspondent au même point.
1. Comparaison de \( \frac{96\pi}{7} \) et \( \frac{12\pi}{7} \) :
\( \frac{96\pi}{7} - \frac{12\pi}{7} = \frac{84\pi}{7} = 12\pi = \mathbf{6 \times (2\pi)} \). C'est un multiple de \( 2\pi \).
2. Comparaison de \( \frac{12\pi}{7} \) et \( -\frac{16\pi}{7} \) :
\( \frac{12\pi}{7} - (-\frac{16\pi}{7}) = \frac{12\pi + 16\pi}{7} = \frac{28\pi}{7} = 4\pi = \mathbf{2 \times (2\pi)} \). C'est aussi un multiple de \( 2\pi \).
Conclusion : Les trois nombres diffèrent d'un nombre entier de tours, ils représentent donc le même point .
\(\frac{96\pi}{7}\equiv -\frac{16\pi}{7}\equiv \frac{12\pi}{7}(mod2\pi)\)
Exercice 3 : Positionnement des points A et B
Point A (\(x\)) : \(\cos x = -\frac{2}{5}\) et \(\sin x \le 0\).
Calcul : \(\sin^2 x = 1 - (-\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}\).
Comme \(\sin x \le 0\), alors \(\sin x = -\frac{\sqrt{21}}{5}\).
Position : 3ème quadrant (en bas à gauche).
Point B (\(y\)) : \(\sin y = \frac{1}{3}\) et \(\cos y \ge 0\).
Calcul : \(\cos^2 y = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\).
Comme \(\cos y \ge 0\), alors \(\cos y = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\).
Position : 1er quadrant (en haut à droite).
Exercice 4 : Nombres congrus modulo 2π
Solution :
Calculons la différence : \( a - b = \frac{37\pi}{6} - (-\frac{11\pi}{6}) = \frac{48\pi}{6} = 8\pi \).
Comme \( 8\pi = 4 \times (2\pi) \), les nombres sont congrus modulo \( 2\pi \).
Pour l'abscisse principale : \( \frac{37\pi}{6} - 6\pi = \frac{37\pi - 36\pi}{6} = \mathbf{\frac{\pi}{6}} \).
Visualisation graphique (Cercle réactif)
A
B
Exo 2
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