Fonction de forme \(f(x) = ax^2 + bx + c\)

     Domaine de définition : La fonction f(x) = ax^2 + bx + c est  un polynôme Donc, son domaine de définition est l'ensemble des réels :\(D_f=\mathbb{R}\)

Signe de \(f(x)=ax²+bx+c\)

 Le discriminant (Δ) : Le discriminant permet de savoir si la fonction a des racines réelles ou non. \(\Delta=b^2-4ac\)

Signe de \(f(x)=ax²+bx+c\)

•      Si Δ>0, \(f(x)=0\) a deux racines distinctes réelles: \(f\) est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines et du signe opposé à \(a\) entre les racines.

\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty &x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}  & +\infty \\ \hline f(x)  & \color{Red} {signe}de a  & 0  \color{blue}{signede(-a)}  & 0     \color{Red} {signe}\ de a\\ \hline \end{array}

si \(a\gt 0\) Le tableau de signe est donc :

\begin{array}{c|ccccc|} x & -\infty & \  x_1&    x_{2} & +\infty \\ \hline f(x) = ax^{2} + bx+c &\color{blue} +  & 0  \color{Magenta}-&-0 & \color{blue} +\\\hline \end{array}

si \(a\lt 0\) Le tableau de signe est donc :

\begin{array}{c|ccccc|} x & -\infty &x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} &  x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}  & +\infty \\ \hline f(x)  & \color{Red}-  -  & 0 \ \color{blue}   + & +0     \color{Red}  --\\ \hline \end{array}

•      Si Δ=0,\(f(x)=0\) a une racine double réelle, \(f\) est de signe de \(a\) :Le tableau de signe est donc :

\begin{array}{c|cc} x & -\infty & \quad \color{Red} {x_0=\frac{-b}{2a}} & \quad +\infty \\ \hline f(x) & + & 0 & + \\ \end{array}

•      Si Δ<0, \(f(x)=0\) n' a pas de racines réelles (les racines sont complexes), \(f\) est toujours strictement signe de \(a\)

Le tableau de signe est donc :

si \(a\gt 0\)  \begin{array}{c|cc} x & -\infty & \quad \color{Red} {x_s=\frac{-b}{2a}} & \quad +\infty \\ \hline f(x) & + & \color{Magenta} {f(x_{s})=\frac{4ac-b²}{4a}} & + \\  \hline \end{array}

si \(a\lt 0\) \begin{array}{c|cc} x & -\infty & \quad \color{Red} {x_s=\frac{-b}{2a}} & \quad +\infty \\ \hline f(x) & - & \color{Magenta} {f(x_{s})=\frac{4ac-b²}{4a}} & - \\  \hline \end{array}

Etude de la fonction \(f(x)=ax²+bx+c\)

   1) Le sommet de la parabole : Le sommet S de la parabole est le point où la fonction atteint son minimum ou son maximum

si a > 0 atteint son minimum

si a < 0 atteint son maximum

Le sommet S a  pour coordonnées : \((x_s;y_s)\)=\(( \frac{-b}{2a};\frac{-\Delta}{4a})\)

2) La concavité et le signe de a 

 

• Si > 0, la parabole est ouverte vers le haut (concave vers le haut).

• Si a < 0, la parabole est ouverte vers le bas (concave vers le bas).

3) Les variations de la fonction

Si >0 (parabole ouverte vers le haut) :

•La fonction est décroissante avant le sommet \(x_s\).

•La fonction est croissante après le sommet \(x_s\)

•Le tableau de variations sera le suivant :

\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty &  & x_s &  & +\infty \\ \hline f(x) & \searrow & & min=f\left(-\frac{b}{a}\right) & & \nearrow \\ \end{array}

Si< 0 (parabole ouverte vers le haut) :

•La fonction est croissante avant le sommet \(x_s\).

•La fonction est décroissante après le sommet \(x_s\)

•Le tableau de variations sera le suivant \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & \cdots & x_s & \cdots & +\infty \\ \hline f(x) & \nearrow & & \text{max} & & \searrow \\ \end{array}

 6) Dérivée de la fonction   

\(f'(x) = 2ax + b\) 

les points critiques Les points où \(f′(x)=2ax+b=0\) correspondent aux points où la fonction peut avoir un extremum Cela donne :\(x_{ext}=\frac{-b}{2a}\)

Le signe de \(f′(x)\) détermine les variations de la fonction \(f\):

Si \(f′(x)>0\), la fonction est croissante après :\(x_{ext}= \frac{-b}{2a}\) (si   \( x>\frac{-b}{2a}\)). Si \(f′(x)<0\), la fonction est décroissante. avant :\(x_{ext}= \frac{-b}{2a}\) (si  \(x< \frac{-b}{2a}\)).

7) Tableau de variation

si a>0 (parabole tournée vers le haut)

\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty &  & x_s = -\frac{b}{2a} &  & +\infty \\ \hline f'(x) & + & & 0 & & - \\ \hline f(x) & _{-\infty }\searrow  & & \min = f\left(-\frac{b}{2a}\right) & & \nearrow ^ {+\infty }\\ \end{array}

• la fonction est décroissante (\(\searrow\)) Avant \(x_s = -\frac{b}{2a}\)
• la fonction atteint un minimum :  \(f(x_s) = f(-\frac{b}{2a})\)   En \(x_s\)
• la fonction est croissante ( \(\nearrow\))   Après\( x_s = -\frac{b}{2a}\)

a=0 (parabole tournée vers le bas)

a<0 (parabole tournée vers le bas)

\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty &  & x_s = -\frac{b}{2a} &  & +\infty \\ \hline f'(x) & + & & 0 & & - \\ \hline f(x) & _{-\infty }\nearrow & & \max = f\left(-\frac{b}{2a}\right) & & \searrow _{-\infty }\\ \end{array}

• la fonction est croissante (\(\nearrow\)) Avant \(x_s = -\frac{b}{2a}\), 
•  la fonction atteint un maximum \(x_s = -\frac{b}{2a}\) en  \(x_s\)
•  la fonction est décroissante (\(\searrow\))   Après \(x_s = -\frac{b}{2a}\)

Représentation graphique : 

\(f(x) = ax^2 + bx + c\)

1-Cas : \(a>0\)

\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty &  & x_s = -\frac{b}{2a} &  & +\infty \\ \hline f'(x) & + & & 0 & & - \\ \hline f(x) & _{+\infty}\searrow  & & \min = f\left(-\frac{b}{2a}\right) & & \nearrow   ^{+\infty }\\ \end{array}

2-Cas \(a<0\)  \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty &  & x_s = -\frac{b}{2a} &  & +\infty \\ \hline f'(x) & + & & 0 & & - \\ \hline f(x) & _{-\infty }\nearrow & & \max = f\left(-\frac{b}{2a}\right) & & \searrow _{-\infty }\\ \end{array}

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