Les Fonctions Exponentielles
Cours complet · Exercices de type examen avec corrigés
I. Définition générale
Une fonction exponentielle de base \(a\) est une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
La distinction fondamentale avec les fonctions puissance est que la variable se trouve à l'exposant :
| Type | Forme | Variable | Exemple |
|---|---|---|---|
| Fonction puissance | \(f(x) = x^n\) | la base | \(f(x)=x^3\) |
| Fonction exponentielle | \(f(x) = a^x\) | l'exposant | \(f(x)=3^x\) |
On distingue deux comportements selon la valeur de \(a\) :
II. Propriétés algébriques
Ces règles de calcul sont indispensables et doivent être parfaitement maîtrisées pour le Baccalauréat :
Injectivité — clé pour résoudre les équations
Puisque \(x \mapsto a^x\) est strictement monotone, elle est injective :
Cette propriété permet de résoudre des équations exponentielles en comparant directement les exposants lorsque les bases sont identiques.
III. Le nombre \(e\) et la fonction \(\exp\)
Parmi toutes les bases, le nombre d'Euler \(e\) occupe une place centrale :
La fonction exponentielle naturelle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^x\), est définie par :
Sa particularité extraordinaire : elle est l'unique fonction égale à sa propre dérivée, avec \(f(0)=1\).
| x | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(e^x\) | 0,050 | 0,135 | 0,368 | 1 | 2,718 | 7,389 | 20,09 | 148,4 | 22026 |
IV. Dérivée et variations
Pour une fonction composée \(u(x)\), la règle de la chaîne donne :
Exemples de dérivées
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Justification |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(e^x\) | Formule de base |
| \(e^{3x}\) | \(3e^{3x}\) | \(u=3x,\;u'=3\) |
| \(e^{-x}\) | \(-e^{-x}\) | \(u=-x,\;u'=-1\) |
| \(e^{x^2}\) | \(2x\,e^{x^2}\) | \(u=x^2,\;u'=2x\) |
| \(e^{2x+3}\) | \(2e^{2x+3}\) | \(u=2x+3,\;u'=2\) |
| \(x\,e^x\) | \(e^x + x\,e^x = (1+x)e^x\) | Produit \((uv)'=u'v+uv'\) |
Tableau de variations de \(e^x\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|
| \((e^x)' = e^x\) | \(> 0\) partout (toujours positif) | ||||
| \(e^x\) | \(0^+\) | ↗ croissante | \(+\infty\) | ||
V. Limites et croissances comparées
Croissances comparées — théorèmes clés
Ces résultats expriment que l'exponentielle "l'emporte" sur tout polynôme :
Et l'application directe en \(0\) :
VI. Représentations graphiques
Le graphe de \(e^x\) passe par \((0,1)\), possède \(y=0\) comme asymptote en \(-\infty\), et croît sans borne à droite :
🎛️ Explorateur interactif — calculer \(a^x\)
VII. Applications réelles
La fonction exponentielle modélise tous les phénomènes de croissance ou décroissance proportionnelle au temps :
Biologie — Démographie
Prolifération bactérienne, croissance de population
Finance
Intérêts composés en capitalisation continue
Physique nucléaire
Désintégration radioactive — demi-vie
Thermodynamique
Loi du refroidissement de Newton
Télécommunications
Atténuation d'un signal optique ou électrique
Chimie cinétique
Vitesse de réaction, loi d'Arrhenius
VIII. Exercices de type Baccalauréat
Question 1 — Calcul de \(f'(x)\)
On applique la règle de dérivation d'un produit \((uv)' = u'v + uv'\) avec \(u = 2x-1\) et \(v = e^x\) :
\[f'(x) = 2 \cdot e^x + (2x-1) \cdot e^x = e^x\bigl[2 + 2x - 1\bigr]\]Question 2 — Signe de \(f'(x)\) et tableau de variations
Puisque \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \((2x+1)\) :
\[2x + 1 = 0 \;\Leftrightarrow\; x = -\tfrac{1}{2}\]Donc : \(f'(x) < 0\) sur \(\left]-\infty\,;\,-\frac{1}{2}\right[\) et \(f'(x) > 0\) sur \(\left]-\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[\).
Valeur en \(x = -\frac{1}{2}\) :
\[f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = \left(2 \times \left(-\tfrac{1}{2}\right) - 1\right)e^{-1/2} = (-1-1)\,e^{\frac{-1}{2}} = \frac{-2}{\sqrt{e}}\]Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↘ | \(\dfrac{-2}{\sqrt{e}}\) | ↗ | \(+\infty\) |
Question 3 — Minimum
\(f\) admet un minimum global en \(x = -\frac{1}{2}\).
Question 4 — Limites
En \(+\infty\) : \(2x-1 \to +\infty\) et \(e^x \to +\infty\), donc :
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\]En \(-\infty\) : On écrit \(f(x) = (2x-1)\,e^x\). Lorsque \(x \to -\infty\), \((2x-1) \to -\infty\) et \(e^x \to 0^+\). On utilise le théorème des croissances comparées :
\[\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to -\infty}(2x-1)\,e^x = 0\]Question 5 — Asymptote
Puisque \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\), la courbe \(\mathcal{C}\) admet une asymptote horizontale en \(-\infty\).
Indication : poser \(X = e^x\) 4 pts
Question 1 — Calcul de \(N(5)\)
\[N(5) = 500\,e^{0{,}6 \times 5} = 500\,e^{3} \approx 500 \times 20{,}086 \approx 10\,043\]Interprétation : après 5 heures, la population a été multipliée par environ 20, passant de 500 à plus de 10 000 bactéries.
Question 2 — Instant où \(N(t) = 10\,000\)
\[500\,e^{0{,}6t} = 10\,000\] \[e^{0{,}6t} = 20\]On applique le logarithme naturel (bijectif et croissant) :
\[0{,}6\,t = \ln 20\] \[t = \frac{\ln 20}{0{,}6} = \frac{5\ln 20}{3}\]La population atteint 10 000 bactéries en un peu moins de 5 heures, ce qui est cohérent avec \(N(5) \approx 10\,043\).
Question 3 — Taux d'accroissement instantané
On calcule d'abord \(N'(t)\) :
\[N'(t) = 500 \times 0{,}6\,e^{0{,}6t} = 300\,e^{0{,}6t}\]Puis le taux :
\[\frac{N'(t)}{N(t)} = \frac{300\,e^{0{,}6t}}{500\,e^{0{,}6t}} = \frac{300}{500} = 0{,}6\]Biologiquement : à chaque instant, la population croît à un taux de 60 % de sa valeur actuelle par heure — c'est la définition d'une croissance exponentielle pure.
Question 4 — Résoudre \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\)
Changement de variable : On pose \(X = e^x\), avec \(X > 0\) (car \(e^x > 0\) toujours).
L'équation devient :
\[X^2 - 3X + 2 = 0\]C'est une équation du second degré. Calcul du discriminant :
\[\Delta = 9 - 8 = 1 > 0\]Deux solutions en \(X\) :
\[X_1 = \frac{3-1}{2} = 1 \qquad X_2 = \frac{3+1}{2} = 2\]On revient à \(x\) :
\[e^x = 1 \;\Rightarrow\; x = \ln 1 = 0\] \[e^x = 2 \;\Rightarrow\; x = \ln 2\]Question 5 — Résoudre \(g(x) \leq 0\)
On factorise \(g(x)\) grâce aux racines trouvées. En posant encore \(X = e^x\) :
\[g(x) = (e^x - 1)(e^x - 2)\]On étudie le signe de chaque facteur :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(\ln 2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(e^x - 1\) | \(-\) | 0 | \(+\) | \(+\) | ||
| \(e^x - 2\) | \(-\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| \(g(x)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) |
L'inéquation \(g(x) \leq 0\) est vérifiée lorsque \(g(x) < 0\) ou \(g(x) = 0\) :
Question 1 — Dérivée et variations de \(h\)
\(h\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) :
\[h'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}\]Pour \(x > 0\), \(x > 0\) donc le signe de \(h'(x)\) est celui de \(x - 1\) :
- \(h'(x) < 0\) sur \(]0\,;1[\) → \(h\) décroissante
- \(h'(1) = 0\)
- \(h'(x) > 0\) sur \(]1\,;+\infty[\) → \(h\) croissante
| \(x\) | \(0^+\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(h'(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| \(h(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(0\) | ↗ | \(+\infty\) |
Valeur minimale : \(h(1) = 1 - \ln 1 - 1 = 0\).
Question 2 — Inégalité \(\ln x \leq x - 1\)
Le minimum global de \(h\) est \(h(1) = 0\), donc pour tout \(x > 0\) :
\[h(x) \geq 0 \;\Longrightarrow\; x - \ln x - 1 \geq 0\]Question 3 — Limites de \(h\)
En \(0^+\) : \(x \to 0\) et \(-\ln x \to +\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} h(x) = +\infty\).
En \(+\infty\) : \(x\) l'emporte sur \(\ln x\) (croissances comparées), donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty\).
Question 4 — Reformulation via \(h\)
Pour \(x > 0\), \(3x > 0\), donc on peut prendre le logarithme :
\[e^x = 3x \;\Longleftrightarrow\; \ln(e^x) = \ln(3x) \;\Longleftrightarrow\; x = \ln 3 + \ln x\] \[\Longleftrightarrow\; x - \ln x - 1 = \ln 3 - 1 \;\Longleftrightarrow\; h(x) = \ln 3 - 1\]Question 5 — Deux solutions et encadrements
Puisque \(\ln 3 - 1 > 0\) et que \(h\) décroît de \(+\infty\) à \(0\) sur \(]0,1]\) puis croît de \(0\) à \(+\infty\) sur \([1,+\infty[\), par le théorème des valeurs intermédiaires :
- Il existe un unique \(x_1 \in ]0\,;1[\) tel que \(h(x_1) = \ln 3 - 1\)
- Il existe un unique \(x_2 \in ]1\,;+\infty[\) tel que \(h(x_2) = \ln 3 - 1\)
Encadrement par calcul numérique :
\[h(0{,}5) = 0{,}5 + 0{,}693 - 1 \approx 0{,}193 > 0{,}099 \quad h(0{,}9) \approx 0{,}005 < 0{,}099 \;\Rightarrow\; x_1 \in ]0{,}5\,;\,0{,}9[\] \[h(2) = 2 - 0{,}693 - 1 \approx 0{,}307 > 0{,}099 \quad h(1{,}5) \approx 0{,}095 < 0{,}099 \;\Rightarrow\; x_2 \in ]1{,}5\,;\,2[\]Question 6 — Variations de \(g\)
\(g\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) :
\[g'(x) = e^x - 3\]\(e^x = 3 \Leftrightarrow x = \ln 3\). Signe de \(g'(x)\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\ln 3\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(g'(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| \(g(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(1 - 3\ln 3\) | ↗ | \(+\infty\) |
\(g\) admet un minimum global en \(x = \ln 3\).
Question 7 — Minimum et conclusion
\[g(\ln 3) = e^{\ln 3} - 3\ln 3 = 3 - 3\ln 3 = 3(1 - \ln 3)\]Puisque \(\ln 3 \approx 1{,}099 > 1\), on a \(1 - \ln 3 < 0\) donc :
\[g(\ln 3) = 3(1 - \ln 3) \approx -2{,}296 < 0\]Le minimum est strictement négatif. Comme \(g(x) \to +\infty\) en \(\pm\infty\) et \(g\) est continue, le théorème des valeurs intermédiaires garantit :
- Une racine sur \(]-\infty\,;\,\ln 3[\)
- Une racine sur \(]\ln 3\,;\,+\infty[\)
Graphique interactif — \(f(x) = a \cdot b^x + c\)
Modifiez les paramètres pour explorer \(f(x) = a \cdot b^x + c\) en temps réel.
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