Les Logarithmes (Cours Complet & Approfondissements)
Le logarithme népérien (noté \(\ln\)) est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. C'est un outil fondamental en analyse pour résoudre des équations, transformer des produits en sommes et étudier des croissances.
01 Définition et Valeurs Particulières
La fonction logarithme népérien est l'unique primitive de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) sur \(]0 ; +\infty[\) qui s'annule en 1.
\( \ln(x) = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt \quad \text{pour tout } x > 0 \)
- Domaine de définition : \(\mathcal{D}_f = ]0 ; +\infty[\)
- Valeurs clés : \( \ln(1) = 0 \) | \( \ln(e) = 1 \) (où \(e \approx 2,718\))
- Relation réciproque : \( \ln(x) = y \iff x = e^y \)
02 Propriétés Algébriques Fondamentales
Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\), et pour tout entier relatif \(n \in \mathbb{Z}\) :
- Relation fonctionnelle : \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \)
- Quotient : \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \)
- Inverse : \( \ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a) \)
- Puissance : \( \ln(a^n) = n \ln(a) \)
- Racine carrée : \( \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a) \)
03 Dérivée, Variations et Limites
- Dérivée simple : La fonction \(\ln\) est dérivable sur \( ]0 ; +\infty[ \) et \( (\ln(x))' = \frac{1}{x} \).
- Variations : Comme \(\frac{1}{x} > 0\) sur \(]0 ; +\infty[\), la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur son domaine.
Limites Fondamentales :
\( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \quad \text{(asymptote verticale de l'axe des ordonnées } x=0\text{)} \)
\( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \)
\( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \)
Croissances Comparées (Incontournables au Bac) :
Pour tout entier \(n > 0\) :
\( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \) | \( \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \) | \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \)
04 Dérivation de la forme \(\ln(u(x))\)
Soit \(u\) une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\).
- La fonction \(f(x) = \ln(u(x))\) est dérivable sur \(I\).
- Sa dérivée est donnée par la formule : \( f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} \)
- Exemple : Si \(f(x) = \ln(x^2 + 3)\), alors \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 3}\).
05 Étude Graphique
La courbe \(y = \ln(x)\) admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale. Elle coupe l'axe des abscisses au point \((1,0)\) avec une tangente de coefficient directeur 1.
- Si \(0 < x < 1\), alors \( \ln(x) < 0 \) (la courbe est en dessous de l'axe des abscisses).
- Si \(x > 1\), alors \( \ln(x) > 0 \) (la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses).
06 Le Logarithme Décimal (\(\log\))
Très utilisé dans les disciplines scientifiques (calcul du pH en chimie, intensité en décibels, échelle de Richter) :
\( \log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} \quad \text{donc } \log(10) = 1 \text{ et } \log(10^n) = n \)
07 Tableau des Primitives Usuelles
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Conditions / Intervalle |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) | \(x \in ]-\infty ; 0[\) ou \(x \in ]0 ; +\infty[\) |
| \(\ln(x)\) | \(x\ln(x) - x + C\) | \(x \in ]0 ; +\infty[\) |
| \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) | \(\ln|u(x)| + C\) | Sur tout intervalle où \(u(x) \neq 0\) |
08 Exercices Classiques Corrigés
Exercice 1 : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation : \( \ln(x^2) = 4 \).
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L'équation est définie pour \(x^2 > 0\), soit \(\mathcal{D} = \mathbb{R}^*\).
\( \ln(x^2) = 4 \iff x^2 = e^4 \iff x = \sqrt{e^4} \text{ ou } x = -\sqrt{e^4} \).
Les solutions sont donc : \( S = \{-e^2 \;; e^2\} \).
\( \ln(x^2) = 4 \iff x^2 = e^4 \iff x = \sqrt{e^4} \text{ ou } x = -\sqrt{e^4} \).
Les solutions sont donc : \( S = \{-e^2 \;; e^2\} \).
Exercice 2 : Calculer l'intégrale \( I = \int_1^e \ln(x)\,dx \).
👀 Afficher la solution cachée
En utilisant une intégration par parties (IPP) avec \(u'(x)=1 \implies u(x)=x\) et \(v(x)=\ln(x) \implies v'(x)=\frac{1}{x}\) :
\( I = [x\ln(x)]_1^e - \int_1^e x \times \frac{1}{x}\,dx \)
\( I = (e\ln(e) - 1\ln(1)) - \int_1^e 1\,dx \)
\( I = e - [x]_1^e = e - (e - 1) = \mathbf{1} \).
\( I = [x\ln(x)]_1^e - \int_1^e x \times \frac{1}{x}\,dx \)
\( I = (e\ln(e) - 1\ln(1)) - \int_1^e 1\,dx \)
\( I = e - [x]_1^e = e - (e - 1) = \mathbf{1} \).
09 Exercices d'Approfondissement (Sujets récents du Bac)
Exercice 3 (Étude de fonction & Croissances comparées) :
Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0 ; +\infty[\) par \(f(x) = x^2 - 2\ln(x)\).
1. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
2. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations complet de \(f\).
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1. Limites :
• En \(0^+\) : \(\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0\) et \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \implies \lim_{x \to 0^+} -2\ln(x) = +\infty\). Par somme, \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\).
• En \(+\infty\) : On est face à une forme indéterminée "\(+\infty - \infty\)". On factorise par le terme prépondérant \(x^2\) : \(f(x) = x^2 \left(1 - 2\frac{\ln(x)}{x^2}\right)\).
Par croissance comparée, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0\), donc \(\lim_{x \to +\infty} \left(1 - 2\frac{\ln(x)}{x^2}\right) = 1\).
Comme \(\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\), par produit : \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
2. Dérivée et Variations :
\(f\) est dérivable sur \(]0 ; +\infty[\) comme somme de fonctions dérivables.
• En \(0^+\) : \(\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0\) et \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \implies \lim_{x \to 0^+} -2\ln(x) = +\infty\). Par somme, \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\).
• En \(+\infty\) : On est face à une forme indéterminée "\(+\infty - \infty\)". On factorise par le terme prépondérant \(x^2\) : \(f(x) = x^2 \left(1 - 2\frac{\ln(x)}{x^2}\right)\).
Par croissance comparée, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0\), donc \(\lim_{x \to +\infty} \left(1 - 2\frac{\ln(x)}{x^2}\right) = 1\).
Comme \(\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\), par produit : \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
2. Dérivée et Variations :
\(f\) est dérivable sur \(]0 ; +\infty[\) comme somme de fonctions dérivables.
10 Grand Exercice de Synthèse (Type Bac)
Ce problème comporte deux parties indépendantes. La Partie A permet d'étudier une fonction auxiliaire dont le signe sera indispensable pour résoudre la Partie B.
PARTIE A : Étude d'une fonction auxiliaire
Soit la fonction \(g\) définie sur \(]0 ; +\infty[\) par :
\(g(x) = x^2 - 1 + \ln(x)\)
- Calculer \(g(1)\).
- Déterminer les variations de la fonction \(g\) sur \(]0 ; +\infty[\) (le calcul des limites n'est pas demandé).
- En déduire le signe de \(g(x)\) suivant les valeurs de \(x\).
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1. Calcul de \(g(1)\) :
\(g(1) = 1^2 - 1 + \ln(1) = 1 - 1 + 0 = \mathbf{0}\).
2. Variations de \(g\) :
\(g\) est dérivable sur \(]0 ; +\infty[\) comme somme de fonctions dérivables.
Pour tout \(x > 0\), \(g'(x) = 2x + \frac{1}{x}\).
Puisque \(x > 0\), alors \(2x > 0\) et \(\frac{1}{x} > 0\). Par somme, \(g'(x) > 0\).
La fonction \(g\) est donc strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\).
3. Signe de \(g(x)\) :
La fonction \(g\) est strictement croissante et s'annule en \(x = 1\) (d'après la question 1) :
• Si \(0 < x < 1\), alors \(g(x) < 0\).
• Si \(x = 1\), alors \(g(1) = 0\).
• Si \(x > 1\), alors \(g(x) > 0\).
\(g(1) = 1^2 - 1 + \ln(1) = 1 - 1 + 0 = \mathbf{0}\).
2. Variations de \(g\) :
\(g\) est dérivable sur \(]0 ; +\infty[\) comme somme de fonctions dérivables.
Pour tout \(x > 0\), \(g'(x) = 2x + \frac{1}{x}\).
Puisque \(x > 0\), alors \(2x > 0\) et \(\frac{1}{x} > 0\). Par somme, \(g'(x) > 0\).
La fonction \(g\) est donc strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\).
3. Signe de \(g(x)\) :
La fonction \(g\) est strictement croissante et s'annule en \(x = 1\) (d'après la question 1) :
• Si \(0 < x < 1\), alors \(g(x) < 0\).
• Si \(x = 1\), alors \(g(1) = 0\).
• Si \(x > 1\), alors \(g(x) > 0\).
PARTIE B : Étude d'une fonction principale et calcul d'aire
Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0 ; +\infty[\) par :
\(f(x) = x - 1 - \frac{\ln(x)}{x}\)
On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
- Déterminer la limite de \(f\) en \(0^+\). Interpréter graphiquement ce résultat.
- Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) en utilisant les croissances comparées.
- Montrer que pour tout \(x \in ]0 ; +\infty[\), la dérivée de \(f\) s'écrit :
\(f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}\)où \(g\) est la fonction étudiée dans la Partie A.
- En déduire le tableau de variations complet de la fonction \(f\).
- Calculer l'intégrale \(K = \int_1^e \frac{\ln(x)}{x} \,dx\) en reconnaissant la forme \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) ou \(u'(x)u(x)^n\).
👀 Afficher la solution partie B
1. Limite en \(0^+\) :
\(\lim_{x \to 0^+} (x - 1) = -1\).
On sait que \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to 0^+} x = 0^+\), donc par quotient \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x} = -\infty\).
Par conséquent, \(\lim_{x \to 0^+} -\frac{\ln(x)}{x} = +\infty\).
Par somme, \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\). La droite d'équation \(x = 0\) (axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe \(\mathcal{C}_f\).
2. Limite en \(+\infty\) :
\(\lim_{x \to +\infty} (x - 1) = +\infty\).
Par croissance comparée, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0\).
Par différence, \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
3. Calcul de la dérivée \(f'(x)\) :
Pour dériver le terme \(\frac{\ln(x)}{x}\), on utilise la formule du quotient \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) avec \(u(x)=\ln(x)\) et \(v(x)=x\) :
\(\left(\frac{\ln(x)}{x}\right)' = \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln(x) \times 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}\).
On en déduit \(f'(x)\) :
\(f'(x) = 1 - 0 - \frac{1 - \ln(x)}{x^2} = \frac{x^2}{x^2} - \frac{1 - \ln(x)}{x^2} = \frac{x^2 - 1 + \ln(x)}{x^2} = \mathbf{\frac{g(x)}{x^2}}\).
4. Variations de \(f\) :
Puisque pour tout \(x > 0\), \(x^2 > 0\), le signe de \(f'(x)\) est exactement le même que celui de \(g(x)\) déterminé dans la Partie A :
• Sur \(]0 ; 1[, f'(x) < 0 \Rightarrow f \) est strictement décroissante.
• Sur \(]1 ; +\infty[\), \(f'(x) > 0 \implies f\) est strictement croissante.
Le minimum local de \(f\) est atteint en \(x = 1\) et vaut \(f(1) = 1 - 1 - \frac{\ln(1)}{1} = \mathbf{0}\).
5. Calcul de l'intégrale \(K\) :
On peut écrire la fonction sous la forme : \(\frac{\ln(x)}{x} = \frac{1}{x} \times \ln(x)\).
On reconnaît la forme \(u'(x) \times u(x)\) avec \(u(x) = \ln(x)\). Une primitive est donc de la forme \(\frac{1}{2}u(x)^2\), soit \(G(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2\).
\(K = \left[ \frac{1}{2}(\ln(x))^2 \right]_1^e = \frac{1}{2}(\ln(e))^2 - \frac{1}{2}(\ln(1))^2 = \frac{1}{2}(1)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 = \mathbf{\frac{1}{2}}\).
\(\lim_{x \to 0^+} (x - 1) = -1\).
On sait que \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to 0^+} x = 0^+\), donc par quotient \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x} = -\infty\).
Par conséquent, \(\lim_{x \to 0^+} -\frac{\ln(x)}{x} = +\infty\).
Par somme, \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\). La droite d'équation \(x = 0\) (axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe \(\mathcal{C}_f\).
2. Limite en \(+\infty\) :
\(\lim_{x \to +\infty} (x - 1) = +\infty\).
Par croissance comparée, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0\).
Par différence, \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
3. Calcul de la dérivée \(f'(x)\) :
Pour dériver le terme \(\frac{\ln(x)}{x}\), on utilise la formule du quotient \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) avec \(u(x)=\ln(x)\) et \(v(x)=x\) :
\(\left(\frac{\ln(x)}{x}\right)' = \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln(x) \times 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}\).
On en déduit \(f'(x)\) :
\(f'(x) = 1 - 0 - \frac{1 - \ln(x)}{x^2} = \frac{x^2}{x^2} - \frac{1 - \ln(x)}{x^2} = \frac{x^2 - 1 + \ln(x)}{x^2} = \mathbf{\frac{g(x)}{x^2}}\).
4. Variations de \(f\) :
Puisque pour tout \(x > 0\), \(x^2 > 0\), le signe de \(f'(x)\) est exactement le même que celui de \(g(x)\) déterminé dans la Partie A :
• Sur \(]0 ; 1[, f'(x) < 0 \Rightarrow f \) est strictement décroissante.
• Sur \(]1 ; +\infty[\), \(f'(x) > 0 \implies f\) est strictement croissante.
Le minimum local de \(f\) est atteint en \(x = 1\) et vaut \(f(1) = 1 - 1 - \frac{\ln(1)}{1} = \mathbf{0}\).
5. Calcul de l'intégrale \(K\) :
On peut écrire la fonction sous la forme : \(\frac{\ln(x)}{x} = \frac{1}{x} \times \ln(x)\).
On reconnaît la forme \(u'(x) \times u(x)\) avec \(u(x) = \ln(x)\). Une primitive est donc de la forme \(\frac{1}{2}u(x)^2\), soit \(G(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2\).
\(K = \left[ \frac{1}{2}(\ln(x))^2 \right]_1^e = \frac{1}{2}(\ln(e))^2 - \frac{1}{2}(\ln(1))^2 = \frac{1}{2}(1)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 = \mathbf{\frac{1}{2}}\).
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