Mathématiques · Terminale
Les Intégrales
Notion de primitive
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On appelle primitive de \(f\) sur \(I\) toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que :
$$F'(x) = f(x) \quad \forall x \in I$$
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors toute primitive de \(f\) sur \(I\) est de la forme :
$$G(x) = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$
Il existe donc une infinité de primitives, toutes parallèles, séparées d'une constante.
Cherchons les primitives de \(f(x) = 3x^2\).
On remarque que \((x^3)' = 3x^2\), donc \(F(x) = x^3\) est une primitive.
Toutes les primitives sont : \(F(x) = x^3 + C\), avec \(C \in \mathbb{R}\).
Trouver la primitive passant par un point
Si on impose \(F(a) = b\), on détermine la constante \(C\) :
Primitive de \(f(x) = 2x\) avec \(F(1) = 3\).
Forme générale : \(F(x) = x^2 + C\)
\(F(1) = 1 + C = 3 \Rightarrow C = 2\)
Donc : \(\boxed{F(x) = x^2 + 2}\)
Définition de l'intégrale
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a, b]\). On appelle intégrale de \(f\) de \(a\) à \(b\) le réel :
$$\int_a^b f(x)\, dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$$
où \(F\) est une primitive quelconque de \(f\) sur \([a, b]\).
Cette valeur ne dépend pas du choix de la primitive : si \(G = F + C\), alors \(G(b) - G(a) = F(b) - F(a)\).
Approximation de Riemann · \(f(x) = x^2\) sur \([0, b]\) · Valeur exacte : 9.00
Dans \(\int_a^b f(x)\,dx\), la lettre \(x\) est une variable muette. On a :
$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b f(u)\,du$$
Propriétés fondamentales
Linéarité
Pour toutes fonctions continues \(f\) et \(g\) sur \([a,b]\), et tout réel \(\lambda\) :
$$\int_a^b \bigl(f(x) + g(x)\bigr)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$$
$$\int_a^b \lambda f(x)\,dx = \lambda \int_a^b f(x)\,dx$$
Relation de Chasles
Pour tout \(c \in [a, b]\) :
$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$$
Propriétés géométriques
| Propriété | Formule / Condition |
|---|---|
| Inversion des bornes | \(\displaystyle\int_a^b f = -\int_b^a f\) |
| Bornes identiques | \(\displaystyle\int_a^a f = 0\) |
| Positivité | Si \(f \geq 0\) sur \([a,b]\) alors \(\displaystyle\int_a^b f \geq 0\) |
| Croissance | Si \(f \leq g\) sur \([a,b]\) alors \(\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g\) |
| Valeur absolue | \(\displaystyle\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|\) |
Parité et intégrale
Si \(f\) est paire : \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx\)
Si \(f\) est impaire : \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0\)
Primitives usuelles
Tableau des primitives à connaître impérativement pour le Bac :
| \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Conditions |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(x \in \mathbb{R}\) |
| \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n \neq -1\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x \neq 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(x \in \mathbb{R}\) |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\) | \(a \neq 0\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(x \in \mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(x \in \mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(x > 0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) | \(x \geq 0\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u \neq 0\) |
| \(u' \cdot u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n \neq -1\) |
| \(u' \cdot e^u\) | \(e^u\) | — |
La forme \(\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C\) est très fréquente. Reconnaître que le numérateur est la dérivée du dénominateur est une compétence clé.
Techniques de calcul
1. Calcul direct
$$\int_1^3 (2x^2 - 3x + 1)\,dx$$
Trouver une primitive : \(F(x) = \dfrac{2x^3}{3} - \dfrac{3x^2}{2} + x\)
Calculer \(F(3) - F(1)\) :
$$F(3) = \frac{54}{3} - \frac{27}{2} + 3 = 18 - 13{,}5 + 3 = 7{,}5$$
$$F(1) = \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{4 - 9 + 6}{6} = \frac{1}{6}$$
$$\int_1^3 (2x^2 - 3x + 1)\,dx = 7{,}5 - \frac{1}{6} = \boxed{\frac{44}{6} = \frac{22}{3}}$$
2. Reconnaissance de forme \(u'\cdot u^n\)
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx\)
On pose \(u = x^2 + 1\), donc \(u' = 2x\). On reconnaît la forme \(u' \cdot u^3\).
$$F(x) = \frac{(x^2+1)^4}{4}$$
$$\left[\frac{(x^2+1)^4}{4}\right]_0^1 = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \boxed{\frac{15}{4}}$$
3. Reconnaissance de forme \(\frac{u'}{u}\)
Calculer \(\displaystyle\int_1^e \frac{2x+1}{x^2+x}\,dx\)
On remarque que \((x^2+x)' = 2x+1\). On est dans la forme \(\dfrac{u'}{u}\).
$$\Big[\ln|x^2+x|\Big]_1^e = \ln(e^2+e) - \ln(2) = \ln\!\left(\frac{e^2+e}{2}\right) = \ln\!\left(\frac{e(e+1)}{2}\right)$$
4. Intégration par parties (IPP)
$$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx$$
Règle de choix : on choisit \(u\) de façon que \(u'\) simplifie, et \(v'\) de façon que \(v\) soit facile à trouver.
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx\)
On pose \(u = x\) et \(v' = e^x\), donc \(u' = 1\) et \(v = e^x\).
$$\int_0^1 xe^x\,dx = \Big[xe^x\Big]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x\,dx$$
$$= e^1 - 0 - \Big[e^x\Big]_0^1 = e - (e - 1) = \boxed{1}$$
Interprétation géométrique
Si \(f\) est positive sur \([a, b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) est l'aire de la région délimitée par la courbe \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses, et les droites \(x = a\) et \(x = b\).
Lorsque \(f\) change de signe, on découpe avec la relation de Chasles :
$$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\,dx = \int_a^c f(x)\,dx - \int_c^b f(x)\,dx$$
où \(c\) est le zéro de \(f\) sur \([a,b]\) et \(f \geq 0\) sur \([a,c]\), \(f \leq 0\) sur \([c,b]\).
Interprétation géométrique de l'intégrale · Zone bleue = positive · Zone rouge = négative
Aire entre deux courbes
L'aire comprise entre les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) sur \([a,b]\) (avec \(f \geq g\)) est :
$$\mathcal{A} = \int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx$$
Aire entre \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\).
Intersections : \(x^2 = x \Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x \in \{0, 1\}\). Sur \([0,1]\), \(g \geq f\).
$$\mathcal{A} = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \boxed{\frac{1}{6}}$$
Valeur moyenne
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a,b]\) est :
$$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
Applications
Fonction définie par une intégrale
Si \(f\) est continue sur \(I\) et \(a \in I\), alors la fonction :
$$g(x) = \int_a^x f(t)\,dt$$
est l'unique primitive de \(f\) sur \(I\) qui s'annule en \(a\), et \(g'(x) = f(x)\).
Soit \(g(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{1}{t}\,dt\).
Alors \(g'(x) = \dfrac{1}{x}\) et \(g(1) = 0\).
On reconnaît \(g(x) = \ln x\) — c'est même la définition du logarithme naturel !
Probabilités continues
Si \(X\) est une variable aléatoire de densité \(f\) sur \([a, b]\), alors :
$$P(c \leq X \leq d) = \int_c^d f(x)\,dx, \quad \text{avec } \int_a^b f(x)\,dx = 1$$
Espérance : \(\displaystyle E(X) = \int_a^b x\,f(x)\,dx\)
Soit \(f(x) = \frac{3}{8}x^2\) sur \([0, 2]\). Vérification : \(\displaystyle\int_0^2 \frac{3}{8}x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{8}\right]_0^2 = 1\) ✓
$$P(1 \leq X \leq 2) = \int_1^2 \frac{3}{8}x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{8}\right]_1^2 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$
Exercices types Bac
Exercice 1 — Calcul d'intégrale
Calculer \(\displaystyle I = \int_0^{\pi} x\sin x\,dx\).
IPP avec \(u = x\), \(v' = \sin x\), donc \(u' = 1\), \(v = -\cos x\).
$$I = \Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,dx$$
$$= \Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi} + \Big[\sin x\Big]_0^{\pi}$$
$$= (-\pi\cos\pi + 0\cos 0) + (\sin\pi - \sin 0) = \pi + 0 = \boxed{\pi}$$
Exercice 2 — Aire entre deux courbes
Calculer l'aire entre \(f(x) = e^x\) et \(g(x) = ex\) sur \([0, 1]\).
On vérifie \(f(0) = 1 > 0 = g(0)\) et \(f(1) = g(1) = e\). Sur \([0,1]\), \(f \geq g\).
$$\mathcal{A} = \int_0^1(e^x - ex)\,dx = \Big[e^x - \frac{ex^2}{2}\Big]_0^1$$
$$= \left(e - \frac{e}{2}\right) - (1 - 0) = \frac{e}{2} - 1 \approx \boxed{0{,}359}$$
Exercice 3 — Intégrale et signe de \(f\)
Calculer l'aire délimitée par \(f(x) = x^2 - 1\) et l'axe des abscisses sur \([-2, 2]\).
\(f(x) = 0 \Rightarrow x = \pm 1\). \(f \leq 0\) sur \([-1,1]\) et \(f \geq 0\) ailleurs.
$$\mathcal{A} = \int_{-2}^{-1}(x^2-1)\,dx - \int_{-1}^{1}(x^2-1)\,dx + \int_1^2(x^2-1)\,dx$$
Chaque morceau vaut \(\frac{2}{3}\) et le terme central vaut \(-\frac{4}{3}\) (en valeur absolue \(\frac{4}{3}\)).
$$\mathcal{A} = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \boxed{\frac{8}{3}}$$
\(\displaystyle\int_a^b f = F(b)-F(a)\)
\(\displaystyle\int_a^b |f-g|\,dx\)
\([uv]_a^b - \displaystyle\int u'v\)
\(\Rightarrow \ln|u| + C\)
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