Racine \(n\)-ième

I. Définition et Notation

\( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \)

\(x = \sqrt[n]{a} \iff x^n = a \quad (x \ge 0)\)

Exemple : \( \sqrt[3]{8} = 2 \) car \( 2^3 = 8 \).

II. La Fonction Racine \(n\)-ième

L'application \( f: x \mapsto \sqrt[n]{x} \) est :

• Domaine : \( D_f = [0, +\infty[ \)
• Croissance : Strictement croissante sur \( \mathbb{R}^+ \)

Exemple : La fonction \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) est continue et croissante sur \( [0, +\infty[ \).

III. Formule de la Dérivée

Pour tout \( x > 0 \) :

\( \left(\sqrt[n]{x}\right)' = \frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}} \)

Exemple pratique :
Calculer la dérivée de la racine quatrième (\(n=4\)) :
\( f(x) = \sqrt[4]{x} \implies f'(x) = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^3}} \)

IV. Dérivée de \( \sqrt[n]{u(x)} \)

\( \left(\sqrt[n]{u}\right)' = \frac{u'}{n\sqrt[n-1]{u^{n-1}}} \)

III. Représentation Graphique

Les courbes des fonctions racines \(n\)-ièmes passent toutes par les points \( (0,0) \) et \( (1,1) \). Elles sont les symétriques des fonctions puissances par rapport à la droite \( y=x \).

Allure des courbes selon l'indice \(n\).

Exemple :
Soit \( f(x) = \sqrt[n]{2x^2 + 1} \).
Ici \( u(x) = 2x^2 + 1 \) donc \( u'(x) = 4x \). On obtient : \( f'(x) = \frac{4x}{n \sqrt[n]{(2x^2 + 1)^{n-1}}} \)