Géométrie dans l’espace Produit vectoriel

Terminale · Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace — Partie II

I. Orientation de l'espace | II. Produit vectoriel | III. Coordonnées de u∧v | IV. Distance point–droite | V. Règles du produit vectoriel | VI. Exercices

Après avoir étudié le produit scalaire, nous introduisons une nouvelle opération fondamentale de la géométrie tridimensionnelle : le produit vectoriel. Contrairement au produit scalaire qui associe un scalaire (un nombre) à deux vecteurs, le produit vectoriel associe deux vecteurs pour en former un troisième. Cet outil nécessite au préalable de définir l'orientation de notre espace.

I — Orientation de l'espace : trièdre, base et repère orientés

1. Trièdre

Un trièdre est formé par trois demi-droites de même origine \(O\), non coplanaires, prises dans un ordre donné, noté \((Ox, Oy, Oz)\). On parle également du trièdre associé à trois vecteurs non coplanaires \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\).

2. Règle du bonhomme d'Ampère

Pour distinguer les deux manières possibles d'ordonner ces axes, on utilise une analogie appelée la règle du bonhomme d'Ampère. Imaginons un observateur traversé des pieds à la tête par le troisième axe (\(Oz\)) et regardant le premier axe (\(Ox\)). Si son bras gauche se lève naturellement vers le deuxième axe (\(Oy\)), le système est dit direct (ou positif). Dans le cas contraire, il est dit indirect.

3. Base et repère orientés

Une base \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) ou un repère \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) est dit orthonormé direct si les vecteurs sont unitaires, deux à deux orthogonaux, et s'ils respectent la règle du bonhomme d'Ampère. En particulier :

\(\vec{i} \wedge \vec{j} = \vec{k}, \quad \vec{j} \wedge \vec{k} = \vec{i}, \quad \vec{k} \wedge \vec{i} = \vec{j}\)

Fig. 1 — Base directe

Orientation positive : \(\vec{i} \wedge \vec{j} = \vec{k}\)

Fig. 2 — Base indirecte

Orientation négative (inversion de \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\))

Fig. 3 — Bonhomme d'Ampère

Couché sur \(\vec{i}\), regardant \(\vec{j}\) : son bras gauche indique \(\vec{k}\)

Fig. 4 — Debout sur \(\vec{k}\), regardant \(\vec{i}\)

Le bras gauche valide l'orientation directe de \((\vec{i},\vec{j})\)

II — Produit vectoriel de deux vecteurs

1. Définition géométrique

Définition. Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de l'espace. Le produit vectoriel \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) est l'unique vecteur \(\vec{w}\) défini par :

• Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires : \(\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}\).
• Sinon, \(\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}\) est défini par trois conditions :
  1. Direction : \(\vec{w}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\) (normal au plan \((\vec{u}, \vec{v})\)).
  2. Sens : Le triplet \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) forme une base directe de l'espace.
  3. Norme : \(\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \sin\theta\), où \(\theta = (\widehat{\vec{u},\vec{v}})\).

Fig. 5 — Représentation géométrique du produit vectoriel

2. Interprétation géométrique de la norme

La norme \(\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|\) est égale à l'aire du parallélogramme construit sur \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Il s'ensuit que l'aire du triangle de côtés \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) vaut : $$\mathcal{A}_{\text{triangle}} = \frac{1}{2}\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|$$

3. Anti-symétrie et bilinéarité

Propriétés fondamentales.

• Anti-symétrie : \(\vec{v} \wedge \vec{u} = -(\vec{u} \wedge \vec{v})\)
• Bilinéarité à gauche : \((\alpha\vec{u} + \beta\vec{v}) \wedge \vec{w} = \alpha(\vec{u} \wedge \vec{w}) + \beta(\vec{v} \wedge \vec{w})\)
• Bilinéarité à droite : \(\vec{u} \wedge (\alpha\vec{v} + \beta\vec{w}) = \alpha(\vec{u} \wedge \vec{v}) + \beta(\vec{u} \wedge \vec{w})\)

III — Coordonnées de \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) dans une base orthonormée directe

Dans un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), si \(\vec{u} = (x,\, y,\, z)\) et \(\vec{v} = (x',\, y',\, z')\), les coordonnées du produit vectoriel se calculent à l'aide de déterminants \(2 \times 2\) :

$$\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix} x & x' \\ z & z' \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}\vec{k}$$

Ce qui donne explicitement :

$$\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} yz' - zy' \\ zx' - xz' \\ xy' - yx' \end{pmatrix}$$

Remarque — Moyen mnémotechnique. On peut retenir la formule sous la forme d'un développement de déterminant formel le long de la première colonne : $$\vec{u} \wedge \vec{v} = \det\begin{pmatrix} \vec{i} & x & x' \\ \vec{j} & y & y' \\ \vec{k} & z & z' \end{pmatrix}$$ (développement formel, les \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) jouant le rôle de « pivot ».)

IV — Distance d'un point à une droite

Soit \(\mathcal{D}\) une droite définie par un point \(A\) et un vecteur directeur non nul \(\vec{u}\). La distance d'un point \(M\) à la droite \(\mathcal{D}\) est :

$$d(M, \mathcal{D}) = \frac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$$

Justification. Notons \(H\) le projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathcal{D}\). Dans le triangle \(AHM\) rectangle en \(H\), on a \(d(M,\mathcal{D}) = MH = AM \sin\theta\), où \(\theta = (\widehat{\overrightarrow{AM}, \vec{u}})\). Or \(\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\| = \|\overrightarrow{AM}\|\cdot\|\vec{u}\|\cdot\sin\theta = MH \cdot \|\vec{u}\|\). On divise par \(\|\vec{u}\|\) pour conclure.

V — Règles de calcul du produit vectoriel

À retenir.

• Vecteurs de base : \(\vec{i} \wedge \vec{j} = \vec{k}\), \(\quad \vec{j} \wedge \vec{k} = \vec{i}\), \(\quad \vec{k} \wedge \vec{i} = \vec{j}\)
• Produit nul : \(\vec{u} \wedge \vec{u} = \vec{0}\) pour tout \(\vec{u}\) (un vecteur est colinéaire à lui-même).
• Condition de colinéarité : \(\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}\).
• Non-associativité : En général, \((\vec{u} \wedge \vec{v}) \wedge \vec{w} \neq \vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w})\).

Attention ! Le produit vectoriel n'est pas commutatif : \(\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}\). L'ordre des facteurs est crucial.

VI — Exercices d'application

Exercice 1 — Calcul analytique de coordonnées

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct, on considère \(\vec{u}(1,\,-2,\,3)\) et \(\vec{v}(2,\,1,\,-1)\).

1. Déterminer les coordonnées de \(\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}\).
2. Vérifier que \(\vec{w} \perp \vec{u}\) en calculant \(\vec{w} \cdot \vec{u}\).
3. Vérifier de même que \(\vec{w} \perp \vec{v}\).

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1) Calcul de \(\vec{w}\). On applique la formule par cofacteurs :

• \(x_w = yz' - zy' = (-2)(-1) - (3)(1) = 2 - 3 = -1\)
• \(y_w = zx' - xz' = (3)(2) - (1)(-1) = 6 + 1 = 7\)
• \(z_w = xy' - yx' = (1)(1) - (-2)(2) = 1 + 4 = 5\)

Donc \(\displaystyle\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}\).

2) Vérification \(\vec{w} \perp \vec{u}\). \(\vec{w} \cdot \vec{u} = (-1)(1) + (7)(-2) + (5)(3) = -1 - 14 + 15 = 0\). ✓

3) Vérification \(\vec{w} \perp \vec{v}\). \(\vec{w} \cdot \vec{v} = (-1)(2) + (7)(1) + (5)(-1) = -2 + 7 - 5 = 0\). ✓

Exercice 2 — Distance d'un point à une droite

Soit la droite \(\mathcal{D}\) passant par \(A(1,\,0,\,2)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(0,\,1,\,1)\). Calculer la distance du point \(M(3,\,2,\,0)\) à \(\mathcal{D}\).

Afficher la correction

Étape 1 — Vecteur \(\overrightarrow{AM}\). \(\overrightarrow{AM} = M - A = \begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\).

Étape 2 — Produit vectoriel \(\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\).

• \(x = (2)(1) - (-2)(1) = 2 + 2 = 4\)
• \(y = (-2)(0) - (2)(1) = 0 - 2 = -2\)
• \(z = (2)(1) - (2)(0) = 2 - 0 = 2\)

Donc \(\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u} = \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}\).

Étape 3 — Normes. \(\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\| = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\).
\(\|\vec{u}\| = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}\).

Étape 4 — Distance. \(\displaystyle d(M, \mathcal{D}) = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3}\).

Exercice 3 — Aire d'un triangle (bonus)

Dans un repère orthonormé direct, on donne \(A(1,\,0,\,0)\), \(B(0,\,2,\,0)\) et \(C(0,\,0,\,3)\). Calculer l'aire du triangle \(ABC\).

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\(\overrightarrow{AB} = (-1,\,2,\,0)\) et \(\overrightarrow{AC} = (-1,\,0,\,3)\).

Produit vectoriel :

• \(x = (2)(3)-(0)(0) = 6\)
• \(y = (0)(-1)-(-1)(3) = 3\)
• \(z = (-1)(0)-(2)(-1) = 2\)

\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = (6,\,3,\,2)\).

\(\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{36+9+4} = 7\).

\(\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{1}{2}\times 7 = \dfrac{7}{2}\).