Géométrie dans l’espace

Terminale · Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace — Partie I

I. Produit scalaire | II. Repère orthonormé | III. Expression analytique | IV. \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=k\) | V. Plan & vecteur normal | VI. Distance | VII. Parallélisme | VIII. Sphère | IX. Exercices

Ce cours présente les outils fondamentaux de la géométrie analytique dans l'espace : produit scalaire, repères, plans, sphères et relations d'orthogonalité.

I — Produit scalaire dans l'espace

Définition

Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de l'espace et \(H\) le projeté orthogonal de l'extrémité de \(\overrightarrow{v}\) sur la droite portant \(\overrightarrow{u}\). On appelle produit scalaire de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) le nombre réel : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\|\cdot\|\overrightarrow{v}\|\cos\theta \] où \(\theta = \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}\) est l'angle entre les deux vecteurs (\(0 \leq \theta \leq \pi\)).

\[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\|\cdot\|\overrightarrow{v}\|\cos\theta \]

Remarques

• Si \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\) ou \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}\), alors \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 0\).
• \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u} = \|\overrightarrow{u}\|^2\) (carré scalaire).
• \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 0\) si et seulement si \(\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}\) ou l'un des vecteurs est nul.
• Le produit scalaire est commutatif : \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}\).

Propriétés

Le produit scalaire vérifie les propriétés suivantes pour tous vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\) et tout réel \(k\) :

• Symétrie : \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}\)
• Bilinéarité : \(\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}\)
• Homogénéité : \((k\overrightarrow{u})\cdot\overrightarrow{v} = k(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})\)
• Identité du parallélogramme : \(\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^2 = \|\overrightarrow{u}\|^2 + 2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2\)
• Identité remarquable : \((\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{v}\|^2\)

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II — Base et repère orthonormé

Rappel

Dans le plan, un repère orthonormé \((O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) est formé d'un point \(O\) (origine) et de deux vecteurs unitaires perpendiculaires. Dans l'espace, on ajoute un troisième vecteur.

Technique

Pour vérifier qu'une base \((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\) est orthonormée, on vérifie :

• \(\|\overrightarrow{i}\| = \|\overrightarrow{j}\| = \|\overrightarrow{k}\| = 1\) (vecteurs unitaires)
• \(\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j} = 0\), \(\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{k} = 0\), \(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{k} = 0\) (orthogonalité deux à deux)

Définitions

On dit que \((O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\) est un repère orthonormé de l'espace si :

• \(O\) est un point de l'espace (l'origine)
• \((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\) est une base orthonormée de l'espace

Tout point \(M\) admet alors des coordonnées uniques \((x;y;z)\) telles que \(\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\).

Dans ce repère : \(\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{i}=1\), \(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{j}=1\), \(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{k}=1\) et \(\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{k}=\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{k}=0\).

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III — Expression analytique de \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\)

Dans un repère orthonormé \((O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\), si \(\overrightarrow{u}(x;y;z)\) et \(\overrightarrow{v}(x';y';z')\), alors : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz' \] En particulier : \(\|\overrightarrow{u}\|^2 = x^2 + y^2 + z^2\), soit \(\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\).

Exemple : Soient \(\overrightarrow{u}(2;-1;3)\) et \(\overrightarrow{v}(1;4;-2)\). \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 2\times1 + (-1)\times4 + 3\times(-2) = 2 - 4 - 6 = -8 \] \[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14} \]

Distance entre deux points \(A(x_A;y_A;z_A)\) et \(B(x_B;y_B;z_B)\) : \[ AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} \]

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IV — Ensemble des points \(M(x;y;z)\) tel que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=k\)

Soit \(A(a;b;c)\) un point fixe, \(\overrightarrow{u}(\alpha;\beta;\gamma)\) un vecteur non nul et \(k\in\mathbb{R}\). L'ensemble des points \(M(x;y;z)\) vérifiant : \[ \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u} = k \] est le plan perpendiculaire à \(\overrightarrow{u}\) passant par le point \(H\) tel que \(\overrightarrow{AH} = \dfrac{k}{\|\overrightarrow{u}\|^2}\overrightarrow{u}\).

Analytiquement, cet ensemble est défini par l'équation :

\[ \alpha(x-a) + \beta(y-b) + \gamma(z-c) = k \]

Exemple : Soit \(A(1;2;-1)\) et \(\overrightarrow{u}(3;0;-1)\). L'ensemble \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=5\) donne : \[ 3(x-1) + 0(y-2) + (-1)(z+1) = 5 \implies 3x - z - 4 = 5 \implies 3x - z = 9 \]

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V — Plan déterminé par un point et un vecteur normal

Vecteur normal à un plan

Un vecteur \(\overrightarrow{n}\) est dit normal à un plan \(\mathcal{P}\) si \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à tout vecteur directeur de \(\mathcal{P}\), c'est-à-dire si \(\overrightarrow{n}\) est perpendiculaire au plan.

• Tout plan possède une infinité de vecteurs normaux (tous colinéaires entre eux).
• Un plan est entièrement déterminé par un point et un vecteur normal.

Ensemble des points \(M(x;y;z)\) tel que \(ax+by+cz+d=0\)

Tout plan de l'espace admet une équation de la forme : \[ ax + by + cz + d = 0 \] où \((a,b,c)\neq(0,0,0)\). Le vecteur \(\overrightarrow{n}(a;b;c)\) est un vecteur normal au plan.

Réciproquement, toute équation de cette forme définit un plan de l'espace de vecteur normal \(\overrightarrow{n}(a;b;c)\).

Ensemble des points \(M(x;y;z)\) tel que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0\)

Le plan \(\mathcal{P}\) passant par \(A(x_0;y_0;z_0)\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}(a;b;c)\) est l'ensemble des points \(M(x;y;z)\) vérifiant : \[ \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n} = 0 \] ce qui s'écrit : \[ a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0 \]

Exemple : Plan passant par \(A(2;-1;3)\) de vecteur normal \(\overrightarrow{n}(1;2;-1)\) : \[ 1(x-2)+2(y+1)+(-1)(z-3)=0 \implies x+2y-z+3=0 \]

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VI — Distance d'un point à un plan

Définition

La distance d'un point \(A\) à un plan \(\mathcal{P}\) est la distance \(AH\) où \(H\) est le pied de la perpendiculaire menée de \(A\) au plan \(\mathcal{P}\). On la note \(d(A,\mathcal{P})\).

Propriété

Soit le plan \(\mathcal{P}\) d'équation \(ax+by+cz+d=0\) et \(A(x_0;y_0;z_0)\) un point. Alors : \[ d(A,\mathcal{P}) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \]

Exemple : Distance du point \(A(1;2;3)\) au plan \(\mathcal{P}: 2x-y+2z-1=0\) : \[ d(A,\mathcal{P}) = \frac{|2(1)-2+2(3)-1|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2-2+6-1|}{3} = \frac{5}{3} \]

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VII — Parallélisme et orthogonalité des droites et des plans

Parallélisme et orthogonalité de deux plans

Soient \(\mathcal{P}_1\) d'équation \(a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\) et \(\mathcal{P}_2\) d'équation \(a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\), de vecteurs normaux \(\overrightarrow{n_1}(a_1;b_1;c_1)\) et \(\overrightarrow{n_2}(a_2;b_2;c_2)\).

• \(\mathcal{P}_1 \parallel \mathcal{P}_2 \iff \overrightarrow{n_1} \parallel \overrightarrow{n_2} \iff \overrightarrow{n_{1}}=k\overrightarrow{n_{2}} \iff \dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}\)
• \(\mathcal{P}_1 \perp \mathcal{P}_2 \iff \overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}=0 \iff a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0\)
  

Parallélisme et orthogonalité d'une droite et un plan

Soit la droite \(\mathcal{D}\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) et le plan \(\mathcal{P}\) de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\).

• \(\mathcal{D} \parallel \mathcal{P} \iff \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}=0 \iff \overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{n}\)
• \(\mathcal{D} \perp \mathcal{P} \iff \overrightarrow{v} \parallel \overrightarrow{n} \iff \overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{n}\) sont colinéaires \(\iff \overrightarrow{u}\) =k'\(\overrightarrow{n} \)
  

Attention : Une droite parallèle à un plan peut être contenue dans ce plan ou strictement à l'extérieur. Vérifier si le point de la droite appartient au plan pour distinguer les deux cas.

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VIII — Étude analytique de la sphère

1. Définition d'une sphère

La sphère de centre \(\Omega\) et de rayon \(r > 0\) est l'ensemble des points \(M\) de l'espace tels que \(\Omega M = r\), soit : \[ \mathcal{S}(\Omega,r) = \{M \in \mathbb{R}^3 \mid \Omega M = r\} \]

2. Équation cartésienne d'une sphère

La sphère de centre \(\Omega(a;b;c)\) et de rayon \(r\) a pour équation cartésienne : \[ (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2 \]

Exemple : La sphère de centre \(\Omega(1;-2;3)\) et de rayon \(r=4\) a pour équation : \[ (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 16 \]

3. Équation d'une sphère déterminée par un diamètre \([AB]\)

Si \([AB]\) est un diamètre de la sphère \(\mathcal{S}\), alors \(M\in\mathcal{S}\) si et seulement si : \[ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0 \] Le centre est le milieu \(I\) de \([AB]\) et le rayon est \(r = \dfrac{AB}{2}\).

4. L'ensemble des points \(M(x;y;z)\) tel que \(x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0\)

L'équation développée d'une sphère s'écrit : \[ x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0 \] En complétant le carré, on identifie : \[ \text{Centre : } \Omega\!\left(-\frac{\alpha}{2};-\frac{\beta}{2};-\frac{\gamma}{2}\right), \quad r^2 = \frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}+\frac{\gamma^2}{4}-\delta \] Cette équation représente une sphère si et seulement si \(r^2 > 0\).

Si \(r^2 = 0\), l'ensemble est réduit à un point. Si \(r^2 < 0\), l'ensemble est vide.

5. Positions relatives d'une sphère et un plan

Soit la sphère \(\mathcal{S}(\Omega,r)\) et le plan \(\mathcal{P}\). On note \(d = d(\Omega,\mathcal{P})\) la distance du centre au plan.

• Si \(d > r\) : le plan et la sphère sont sans intersection (sécants en dehors).
• Si \(d = r\) : le plan est tangent à la sphère (un seul point commun).
• Si \(d < r\) : le plan coupe la sphère selon un cercle de rayon \(\rho = \sqrt{r^2 - d^2}\).
  

6. Positions relatives d'une sphère et une droite

Soit la sphère \(\mathcal{S}(\Omega,r)\) et la droite \(\mathcal{D}\). On note \(d = d(\Omega,\mathcal{D})\) la distance du centre à la droite.

• Si \(d > r\) : la droite et la sphère sont sans intersection.
• Si \(d = r\) : la droite est tangente à la sphère (un seul point commun).
• Si \(d < r\) : la droite coupe la sphère en deux points.
  

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IX — Exercices

Exercice 1 — Produit scalaire et orthogonalité

On se place dans un repère orthonormé \((O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\). On donne les points \(A(1;2;-1)\), \(B(3;0;2)\), \(C(-1;1;4)\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
2. Les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont-elles perpendiculaires ?
3. Calculer \(\|\overrightarrow{AB}\|\) et \(\|\overrightarrow{AC}\|\) puis en déduire \(\cos(\widehat{BAC})\).

Voir la solution

1. \(\overrightarrow{AB}(2;-2;3)\), \(\overrightarrow{AC}(-2;-1;5)\).

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 2\times(-2)+(-2)\times(-1)+3\times5 = -4+2+15 = 13\)

2. Le produit scalaire est \(13 \neq 0\), donc les droites ne sont pas perpendiculaires.

3. \(\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}\), \(\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{4+1+25}=\sqrt{30}\).

\(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{13}{\sqrt{17}\times\sqrt{30}} = \dfrac{13}{\sqrt{510}}\approx 0{,}576\)

Exercice 2 — Équation de plan

Déterminer l'équation du plan \(\mathcal{P}\) passant par \(A(2;1;-3)\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}(4;-1;2)\). Vérifier que \(B(0;-1;0)\) appartient à \(\mathcal{P}\).

Voir la solution

L'équation du plan est : \(4(x-2)-1(y-1)+2(z+3)=0\)

\(4x - 8 - y + 1 + 2z + 6 = 0 \implies 4x - y + 2z - 1 = 0\)

Vérification pour \(B(0;-1;0)\) : \(4(0)-(-1)+2(0)-1 = 0+1+0-1 = 0\) ✓

Exercice 3 — Distance d'un point à un plan

Calculer la distance du point \(A(3;-1;2)\) au plan \(\mathcal{P}: 2x+y-2z+5=0\).

Voir la solution

\(d(A,\mathcal{P}) = \dfrac{|2(3)+(-1)-2(2)+5|}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{|6-1-4+5|}{3} = \dfrac{6}{3} = 2\)

La distance est donc 2.

Exercice 4 — Sphère : centre, rayon et position relative

On donne la sphère \(\mathcal{S}\) d'équation \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z-2=0\) et le plan \(\mathcal{P}: x-2y+2z-7=0\).

1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(r\) de \(\mathcal{S}\).
2. Étudier la position relative de \(\mathcal{S}\) et \(\mathcal{P}\).

Voir la solution

1.

le centre \(\Omega \) et le rayon \(r\):

l équation canonique de la sphère \(\mathcal{S}\) est :

\((x-x_{\Omega})^2 + (y-y_{\Omega})^2 + (z-z_{\Omega})^2 = r^2\).

or L'équation cartésienne est :\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+2y-6z-2=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)²-4+(y+1)²-1+(z-3)-9 -2=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)²+(y+1)²+(z-3)²-4-1-9-2=0 \)

\(\Leftrightarrow (x-2)²+(y+1)²+(z-3)²=4² \)

donc :Le centre est \(\Omega(2, -1, 3)\) etLe rayon est \(r = 4\)

2.

Pour déterminer la position relative de la sphère et du plan

calculans la distance \(d\) entre le centre \(\Omega(2, -1, 3)\) et le plan \(\mathcal{P} : x - 2y + 2z - 7 = 0\).

la distance d'un point à un plan :\(d(\Omega ,\mathcal{P})=\frac{|x_{\Omega }-2y_{\Omega }+2z_{\Omega }-7|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}\)

\(\Omega(2, -1, 3)\) donne :

\(d(\Omega ,\mathcal{P})=\frac{|2-2(-1)+2(3)-7|}{\sqrt{1+4+4}}\)

\(d(\Omega ,\mathcal{P})=\frac{|2+2+6-7|}{\sqrt{9}}\)

\(d(\Omega ,\mathcal{P})=\frac{|3|}{3}=1\)

on a obtenue \(d = 1\) et le rayon \(r = 4\) de la sphère :

Puisque \(d < r\) (\(1 < 4\)).

donc le plan \(\mathcal{P}\) et la sphère \(\mathcal{S}\) sont sécants.

Leur intersection est un cercle de centre \(H\)

(H le projeté orthogonal de \(\Omega \) sur le plan) et de rayon \(R = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}\).

Exercice 5 — Type Bac Terminale

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1 ; 0 ; 2)\), \(B(3;2;0)\), \(C(0 ; 1 ; 2)\).

1. Déterminer si le triangle \(ABC\) est rectangle.
2. Déterminer l'équation du plan \((ABC)\).
3. Calculer l'aire du triangle \(ABC\).

Voir la solution

1.Calculons d'abord les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{BC}\) :

\(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 2 - 0 \\ 0 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\)\(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 1 - 0 \\ 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\)\(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 - 3 \\ 1 - 2 \\ 2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

Calculons le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) :.

\(\vec{AB}\cdot \vec{AC}=(2\times -1)+(2\times 1)+(-2\times 0)=-2+2+0=0\)

Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont orthogonaux.Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).

2. Un vecteur normal \(\vec{n}(a; b; c)\) au plan est tel que \(\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0\) et \(\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0\)

le produit vectoriel \(\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}\) :

\(\vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\ 2\\ -2\end{matrix}\right)\land \left(\begin{matrix}-1\\ 1\\ 0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}(2\times 0)-(-2\times 1)\\ (-2\times -1)-(2\times 0)\\ (2\times 1)-(2\times -1)\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\ 2\\ 4\end{matrix}\right)\)

simplifiant par 2 : \(\vec{n'}(1; 1; 2)\)

L'équation est de la forme \(x + y + 2z + d = 0\)

On a: \(A(1; 0; 2)\) : \(1 + 0 + 2(2) + d = 0 \Rightarrow d = -5\).

L'équation du plan est : \(x + y + 2z - 5 = 0\).

3.Aire du triangle \(ABC\)

\(\text{Aire} = \frac{AB \times AC}{2}\)

\(AB = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)

\(AC = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}\)

\(\text{Aire}=\frac{2\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}\)

Donc L'aire du triangle \(ABC\) est \(\sqrt{6}\) unités d'aire.

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Bon travail ! Ce cours couvre l'essentiel de la géométrie analytique dans l'espace au niveau Terminale. Entraînez-vous sur les exercices et n'hésitez pas à revoir chaque section si nécessaire.