Barycentre : cours complet et exercices corrigés – 1ère Bac

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Cours complet + 19 exercices corrigés · 11 pages · gratuit

Le barycentre permet de remplacer plusieurs points pondérés par un seul point : il sert à construire des points, démontrer des alignements et déterminer des ensembles de points. Ce cours de 1ère Bac est présenté dans un tableau à deux colonnes : à gauche le cours, à droite les exercices corrigés correspondant à chaque notion.

🎯 Objectifs Vérifier l'existence d'un barycentre • le construire et calculer ses coordonnées • savoir réduire une somme vectorielle • utiliser l'homogénéité • utiliser l'associativité • démontrer un alignement ou un concours • déterminer des ensembles de points.

📚 Sommaire

• I. Barycentre de deux points pondérés
• II. Position selon les signes des coefficients
• III. Réduction
• IV. Homogénéité
• V. Coordonnées du barycentre
• VI. Barycentre de trois points
• VII. Associativité
• VIII. Barycentre de quatre points
• IX. Ensembles de points (1) : norme de aMA + bMB
• X. Ensembles de points (2) : aMA² + bMB² = k
• XI. Erreurs fréquentes, aide-mémoire et FAQ

Cours	Exercices
I. Barycentre de deux points pondérés
Définitions et théorème d'existence Point pondéré Un couple \((A,a)\) formé d'un point \(A\) et d'un réel \(a\) (coefficient ou poids). Un système de deux points pondérés se note \(\{(A,a),(B,b)\}\). Existence et unicité Si \(a+b\neq0\), il existe un unique point \(G\) tel que \(a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}\). C'est le barycentre du système. Position de \(G\) \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BG}=\dfrac{a}{a+b}\overrightarrow{BA}\). \(G\) est sur la droite \((AB)\). Isobarycentre Si \(a=b\neq0\), \(G\) est le milieu de \([AB]\). Cas \(b=0\) Si \(b=0\) et \(a\neq0\), alors \(G=A\). Somme nulle Si \(a+b=0\), il n'y a pas de barycentre. Exemple Soit \(G=\operatorname{bar}\{(A,3),(B,1)\}\). On a \(3+1=4\neq0\) et \(\overrightarrow{AG}=\frac14\overrightarrow{AB}\) : \(G\) est au quart de \([AB]\) en partant de \(A\). Remarque \(G\) est « attiré » par le point de plus grand coefficient : si \(a\gt b\gt0\), alors \(G\) est plus proche de \(A\) que de \(B\). Méthode Pour montrer que \(G=\operatorname{bar}\{(A,a),(B,b)\}\) : vérifier que \(a+b\neq0\), puis que \(a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}\) (ou que \(\overrightarrow{AG}=\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\)). 📖 Démonstration Par Chasles, \(\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}\), donc \[ \begin{gathered}a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}\iff(a+b)\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\\\iff\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}.\end{gathered} \] Comme \(a+b\neq0\), ce point est unique. \(\square\)	Exercice 1 ⭐ Soit \(A\) et \(B\) deux points distincts. 1) Si \(\overrightarrow{AG}=\frac34\overrightarrow{AB}\), trouver \(a\) et \(b\) tels que \(G=\operatorname{bar}\{(A,a),(B,b)\}\). 2) Même question pour \(\overrightarrow{AH}=-2\overrightarrow{AB}\). Voir la correction 1) On veut \(\dfrac{b}{a+b}=\dfrac34\). Avec \(a=1\), \(b=3\) : \(\dfrac34\). ✔ Donc \(G=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,3)\}\). 2) On veut \(\dfrac{b}{a+b}=-2\), soit \(3b=-2a\). Avec \(a=3\), \(b=-2\) : \(\dfrac{-2}{1}=-2\). ✔ Donc \(H=\operatorname{bar}\{(A,3),(B,-2)\}\). Exercice 2 ⭐ Vrai ou faux ? Justifier. a) \(\{(A,3),(B,-3)\}\) admet un barycentre. b) Le barycentre de \(\{(A,1),(B,-3)\}\) est sur le segment \([AB]\). c) Si \(a+b=0\), \(a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}\) ne dépend pas de \(M\). Voir la correction a) Faux : \(3+(-3)=0\). b) Faux : \(1-3=-2\neq0\) et \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{-3}{-2}\overrightarrow{AB}=\dfrac32\overrightarrow{AB}\). Comme \(\frac32\gt1\), \(G\) est hors de \([AB]\), au-delà de \(B\). c) Vrai : \(a\overrightarrow{MA}-a\overrightarrow{MB}=a\overrightarrow{BA}\).
II. Position du barycentre selon les signes des coefficients
\(a=b\) Milieu de \([AB]\). \(a\) et \(b\) de même signe \(G\) est entre \(A\) et \(B\) (dans \([AB]\)), plus proche du point de plus grand coefficient en valeur absolue. Ex. : \(\{(A,2),(B,1)\}\), \(\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AB}\) (figure 1). Signes contraires, \(\lvert a\rvert\gt\lvert b\rvert\) \(G\) est sur \((AB)\), hors du segment, côté de \(A\). Ex. : \(\{(A,2),(B,-1)\}\), \(A\) est le milieu de \([BG]\) (figure 2). Signes contraires, \(\lvert b\rvert\gt\lvert a\rvert\) \(G\) est sur \((AB)\), hors du segment, côté de \(B\). Ex. : \(\{(A,-1),(B,2)\}\), \(B\) est le milieu de \([AG]\). Figure 1 : G = bar{(A,2),(B,1)}, G est dans [AB]. Figure 2 : G = bar{(A,2),(B,−1)}, G est hors de [AB].	Exercice 3 ⭐⭐ Soit \(A\) et \(B\) deux points distincts et \(m\) un réel. 1) Pour quelles valeurs de \(m\) le système \(\{(A,m),(B,2)\}\) admet-il un barycentre ? 2) Pour tout réel \(m\), on note \(G_m=\operatorname{bar}\{(A,m),(B,1-m)\}\). Justifier que \(G_m\) existe, exprimer \(\overrightarrow{AG_m}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et déterminer \(G_{1/2}\), \(G_1\), \(G_0\). 3) Quel est l'ensemble des points \(G_m\) quand \(m\) décrit \(\mathbb{R}\) ? Voir la correction 1) Il faut \(m+2\neq0\), c'est-à-dire \(m\neq-2\). 2) \(m+(1-m)=1\neq0\) pour tout \(m\) : \(G_m\) existe et \(\overrightarrow{AG_m}=(1-m)\overrightarrow{AB}\). \(m=\frac12\) : \(G_{1/2}\) est le milieu de \([AB]\). \(m=1\) : \(G_1=A\). \(m=0\) : \(G_0=B\). 3) Tous les \(G_m\) sont sur \((AB)\). Réciproquement, si \(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}\), alors \(P=G_{1-t}\). L'ensemble cherché est la droite \((AB)\).
III. Réduction
Définition On dit réduction lorsqu'on regroupe plusieurs points pondérés en un seul barycentre : la somme de vecteurs pondérés se réduit à un seul vecteur, celui du barycentre \(G\) affecté de la somme des coefficients. \(a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=(a+b)\overrightarrow{MG}\) pour tout point \(M\), avec \(a+b\neq0\). Explication Au lieu de deux vecteurs d'origine \(M\), il n'en reste qu'un seul : \(\overrightarrow{MG}\). On peut alors calculer une norme, résoudre \(\lVert a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}\rVert=k\), ou exprimer \(\overrightarrow{AG}\) (en prenant \(M=A\)). La réduction s'étend à trois points : \(a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=(a+b+c)\overrightarrow{MG}\), et à quatre points. Condition : la somme des coefficients est non nulle. Exemple Soit \(G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,3)\}\) (somme \(=5\neq0\)). Pour tout \(M\) : \(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=5\overrightarrow{MG}\). Avec \(M=A\) : \(3\overrightarrow{AB}=5\overrightarrow{AG}\), donc \(\overrightarrow{AG}=\frac35\overrightarrow{AB}\). On retrouve la formule \(\frac{b}{a+b}\). Somme nulle Si \(a+b=0\) : \(a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=a\overrightarrow{BA}\), un vecteur constant (indépendant de \(M\)). Cas du milieu Si \(I\) est le milieu de \([AB]\) (\(a=b=1\)) : pour tout \(M\), \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\). Centre de gravité Si \(G\) est le centre de gravité de \(ABC\) : pour tout \(M\), \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\). Exprimer \(\overrightarrow{AG}\) En prenant \(M=A\) : \((a+b)\overrightarrow{AG}=b\overrightarrow{AB}\) (deux points), et \((a+b+c)\overrightarrow{AG}=b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}\) (trois points). Remarque La réduction est vraie pour tout point \(M\) : choisir \(M\) astucieusement (l'un des points du système, ou une origine) simplifie les calculs. Méthode 1) Calculer la somme des coefficients. 2) Si elle est non nulle, introduire le barycentre \(G\) et écrire la somme vectorielle sous la forme (somme) \(\overrightarrow{MG}\). 3) Si elle est nulle, regrouper les vecteurs avec la relation de Chasles pour obtenir un vecteur constant. Exemple (somme non nulle) Réduire \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\). Somme : \(2+1-1=2\neq0\). Donc \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MG}\) où \(G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,1),(C,-1)\}\). Exemple (somme nulle) Réduire \(\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\). Somme : \(1-2+1=0\). On regroupe : \[ \begin{gathered}\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\\=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})\\=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC},\end{gathered} \] vecteur constant. 📖 Démonstration \[ \begin{gathered}a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=a\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)+b\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)\\=(a+b)\overrightarrow{MG}+\underbrace{\left(a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}\right)}_{=\overrightarrow{0}}.\end{gathered} \] D'où le résultat. \(\square\)	Exercice 4 ⭐ Soit \(A\) et \(B\) deux points et \(G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,3)\}\). 1) Réduire \(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\) pour tout point \(M\). 2) Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\left\lVert2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right\rVert=10\). 3) Réduire \(3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\). Voir la correction 1) \(2+3=5\neq0\) donc \(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=5\overrightarrow{MG}\). 2) La condition devient \(5MG=10\), soit \(MG=2\) : le cercle de centre \(G\) et de rayon \(2\). 3) \(3-1=2\neq0\) : \(3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MH}\) où \(H=\operatorname{bar}\{(A,3),(B,-1)\}\), avec \(\overrightarrow{AH}=\dfrac{-1}{2}\overrightarrow{AB}\). Exercice 5 ⭐⭐ Soit \(ABC\) un triangle et \(G=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,2),(C,3)\}\). 1) Réduire \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\). 2) En déduire \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). 3) Montrer que \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\) est un vecteur constant et l'exprimer. Voir la correction 1) \(1+2+3=6\neq0\) donc \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MG}\). 2) Avec \(M=A\) : \(2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AG}\), donc \(\overrightarrow{AG}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}\). 3) Ici \(1+2-3=0\) : pas de barycentre, mais \[ \begin{gathered}\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\\=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})+2(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})\\=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB},\end{gathered} \] vecteur indépendant de \(M\). ✔ Exercice 6 ⭐⭐ Soit \(ABC\) un triangle, \(G\) son centre de gravité et \(I\) le milieu de \([BC]\). 1) Montrer que, pour tout point \(M\) : \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\). 2) Montrer que \(2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\) est un vecteur constant et l'exprimer. 3) En déduire que \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}\). Voir la correction 1) \(G=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\}\) et \(1+1+1=3\neq0\) : la réduction donne \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\). 2) \(2-1-1=0\), donc pas de barycentre, mais \[ \begin{gathered}2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\\=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})\\=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA},\end{gathered} \] vecteur constant. 3) \(I=\operatorname{bar}\{(B,1),(C,1)\}\), donc \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}\). Avec \(M=A\) dans la question 1 : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}\). Donc \(3\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AI}\), soit \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}\). ✔
IV. Homogénéité
Définition On dit homogénéité lorsqu'on multiplie tous les coefficients par un même nombre non nul : le barycentre ne change pas. Pour tout réel \(k\neq0\) : \(\operatorname{bar}\{(A,a),(B,b)\}=\operatorname{bar}\{(A,ka),(B,kb)\}\). Explication Seule compte la proportion entre les coefficients, pas leur valeur. En effet : \(\dfrac{kb}{ka+kb}=\dfrac{b}{a+b}\), donc \(\overrightarrow{AG}\) est le même. On s'en sert pour simplifier : supprimer des fractions, des signes négatifs ou un diviseur commun. Il faut \(k\neq0\) : avec \(k=0\), tous les coefficients seraient nuls (somme nulle). Exemple • \(\{(A,6),(B,9)\}\) : on divise par \(3\) (\(k=\frac13\)) et on obtient \(\{(A,2),(B,3)\}\), même barycentre. • \(\left\{\left(A,\frac12\right),\left(B,\frac13\right)\right\}\) : on multiplie par \(6\) et on obtient \(\{(A,3),(B,2)\}\). • \(\{(A,-2),(B,-6)\}\) : on multiplie par \(-\frac12\) et on obtient \(\{(A,1),(B,3)\}\). ⚠️ Attention On peut multiplier tous les coefficients par un même nombre, mais pas leur ajouter un même nombre. Par exemple \(\{(A,2),(B,3)\}\) et \(\{(A,3),(B,4)\}\) n'ont pas le même barycentre (\(\frac35\neq\frac47\)). 📖 Démonstration Soit \(G'\) le barycentre de \(\{(A,ka),(B,kb)\}\) (\(ka+kb=k(a+b)\neq0\)). Alors \(\overrightarrow{AG'}=\dfrac{kb}{k(a+b)}\overrightarrow{AB}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}\), donc \(G'=G\). \(\square\)	Exercice 7 ⭐ 1) Simplifier les systèmes pour obtenir des coefficients entiers sans diviseur commun : \(\{(A,6),(B,9)\}\) ; \(\left\{\left(A,\frac12\right),\left(B,\frac13\right)\right\}\) ; \(\{(A,-2),(B,-6),(C,-4)\}\). 2) Soit \(A(0,1)\) et \(B(5,6)\). Calculer le barycentre de \(\{(A,6),(B,9)\}\), puis celui du système simplifié, et comparer. 3) Pourquoi impose-t-on \(k\neq0\) ? Voir la correction 1) \(\{(A,6),(B,9)\}\to\{(A,2),(B,3)\}\) (division par 3). \(\left\{\left(A,\frac12\right),\left(B,\frac13\right)\right\}\to\{(A,3),(B,2)\}\) (multiplication par 6). \(\{(A,-2),(B,-6),(C,-4)\}\to\{(A,1),(B,3),(C,2)\}\) (multiplication par \(-\frac12\)). 2) Avec \(\{(A,6),(B,9)\}\) (somme 15) : \(x=\dfrac{0+45}{15}=3\), \(y=\dfrac{6+54}{15}=4\). Avec \(\{(A,2),(B,3)\}\) (somme 5) : \(x=\dfrac{0+15}{5}=3\), \(y=\dfrac{2+18}{5}=4\). Dans les deux cas \(G(3,4)\) : l'homogénéité est vérifiée. ✔ 3) Si \(k=0\), tous les coefficients deviennent nuls et leur somme vaut 0 : le barycentre n'existerait plus.
V. Coordonnées du barycentre
Formules Dans un repère, avec \(a+b\neq0\) : \[ x_G=\frac{a\,x_A+b\,x_B}{a+b},\qquad y_G=\frac{a\,y_A+b\,y_B}{a+b}. \] (C'est la réduction avec une origine \(O\) : \(\overrightarrow{OG}=\dfrac{a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}}{a+b}\).) Exemple \(A(2,1)\), \(B(8,4)\), \(\{(A,2),(B,1)\}\) : somme \(=3\), \(x_G=\frac{2\times2+1\times8}{3}=4\), \(y_G=\frac{2\times1+1\times4}{3}=2\). Donc \(G(4,2)\). Méthode 1) Vérifier \(a+b\neq0\). 2) Calculer la somme pondérée des abscisses puis des ordonnées. 3) Diviser par la somme des coefficients. Milieu Pour \(a=b=1\) : \(x_I=\frac{x_A+x_B}{2}\) et \(y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\) : on retrouve les coordonnées du milieu de \([AB]\). Exemple (coefficient négatif) \(A(1,2)\), \(B(4,-1)\), \(G=\operatorname{bar}\{(A,3),(B,-1)\}\) : somme \(=2\neq0\), \(x_G=\frac{3\times1-4}{2}=-\frac12\), \(y_G=\frac{3\times2+1}{2}=\frac72\). Donc \(G\left(-\frac12,\frac72\right)\). Exemple (point inconnu) \(A(1,1)\), \(G(3,2)\) et \(G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,1)\}\). Alors \(\frac{2+x_B}{3}=3\) donne \(x_B=7\), et \(\frac{2+y_B}{3}=2\) donne \(y_B=4\). Donc \(B(7,4)\). Méthode : construire \(G\) Écrire \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\), puis placer \(G\) sur \((AB)\) en respectant le rapport et le signe.	Exercice 8 ⭐ Soit \(A(1,2)\), \(B(7,5)\) et \(G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,4)\}\). 1) Vérifier que \(G\) existe. 2) Calculer ses coordonnées. 3) Exprimer \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\). Voir la correction 1) \(2+4=6\neq0\) : \(G\) existe. 2) \(x_G=\dfrac{2\times1+4\times7}{6}=5\), \(y_G=\dfrac{2\times2+4\times5}{6}=4\). Donc \(G(5,4)\). 3) \(\overrightarrow{AG}=\dfrac46\overrightarrow{AB}=\dfrac23\overrightarrow{AB}\). Vérification : \(\overrightarrow{AB}(6,3)\), \(\frac23\overrightarrow{AB}(4,2)\), \(A+(4,2)=(5,4)\). ✔ Exercice 9 ⭐ Soit \(A(-1,2)\), \(B(5,-4)\) et \(G(3,-2)\). Déterminer le réel \(k\) tel que \(G=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,k)\}\). Voir la correction \(x_G=\dfrac{-1+5k}{1+k}=3\Rightarrow-1+5k=3+3k\Rightarrow k=2\). Vérification : \(y_G=\dfrac{2+(-4)\times2}{3}=-2\). ✔ Donc \(k=2\) et \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AB}\).
VI. Barycentre de trois points pondérés
Définition Si \(a+b+c\neq0\), il existe un unique \(G\) tel que \(a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\). Réduction Pour tout \(M\) : \(a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=(a+b+c)\overrightarrow{MG}\). Coordonnées \(x_G=\dfrac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c}\), \(y_G=\dfrac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}\). Ex. : \(A(0,0)\), \(B(6,0)\), \(C(0,3)\), \(\{(A,1),(B,2),(C,3)\}\) : somme \(=6\), \(G\left(2,\frac32\right)\). Centre de gravité Si \(a=b=c\neq0\), \(G\) est l'isobarycentre : le centre de gravité du triangle, point de concours des médianes. Si \(I\) est le milieu de \([BC]\) : \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}\). Position Trois coefficients strictement positifs : \(G\) est à l'intérieur du triangle. Avec un coefficient négatif, \(G\) peut être à l'extérieur. Figure 3 : G = bar{(A,1),(B,1),(C,1)}, centre de gravité.	Exercice 10 ⭐ Soit \(A(2,0)\), \(B(0,4)\), \(C(4,2)\). Déterminer le barycentre \(G\) de \(\{(A,1),(B,2),(C,1)\}\). Voir la correction \(1+2+1=4\neq0\). \(x_G=\dfrac{2+0+4}{4}=\dfrac32\) et \(y_G=\dfrac{0+8+2}{4}=\dfrac52\). Donc \(G\left(\dfrac32,\dfrac52\right)\). Exercice 11 ⭐⭐ Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(G=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,1),(C,2)\}\). Montrer que \(G\) est le milieu de \([IC]\). Voir la correction \(1+1+2=4\neq0\) : \(G\) existe. \(I=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,1)\}\). Par associativité, \(G=\operatorname{bar}\{(I,2),(C,2)\}\), l'isobarycentre de \(I\) et \(C\) : le milieu de \([IC]\). ✔
VII. Associativité (barycentre partiel)
Énoncé Soit \(G=\operatorname{bar}\{(A,a),(B,b),(C,c)\}\). Si \(a+b\neq0\) et \(I=\operatorname{bar}\{(A,a),(B,b)\}\), alors \(G=\operatorname{bar}\{(I,\,a+b),\,(C,\,c)\}\). Utilité On remplace deux points par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients. \(G\) est alors sur \((IC)\) : outil pour les alignements, les constructions et les concours. Exemple (centre de gravité) Soit \(I\) le milieu de \([BC]\) : \(I=\operatorname{bar}\{(B,1),(C,1)\}\). Donc \(G=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\}=\operatorname{bar}\{(A,1),(I,2)\}\), d'où \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}\) : \(G\) est aux deux tiers de la médiane \([AI]\) à partir de \(A\). Remarque On peut regrouper les points dans l'ordre que l'on veut, à condition que les sommes partielles soient non nulles. Chaque regroupement donne une droite qui passe par \(G\). Exemple (alignement) \(G=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,1),(C,2)\}\) et \(I\) milieu de \([AB]\). Alors \(G=\operatorname{bar}\{(I,2),(C,2)\}\) : \(G\) est le milieu de \([IC]\), donc \(I\), \(G\) et \(C\) sont alignés. Alignement Trois points sont alignés si l'un est barycentre des deux autres, ou barycentre d'un point et d'un barycentre partiel de la même droite. Concours Pour montrer que trois droites sont concourantes, on montre qu'un même point \(G\) appartient aux trois droites, en écrivant \(G\) de trois façons comme barycentre de deux points (exercice 13). 📖 Démonstration La réduction avec \(M=G\) donne \(a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=(a+b)\overrightarrow{GI}\). Donc \(a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=(a+b)\overrightarrow{GI}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\). \(\square\) Figure 4 : I = bar{(A,1),(B,2)} avec AI = 2/3 AB ; G = bar{(I,3),(C,3)} est le milieu de [IC].	Exercice 12 ⭐⭐ Soit \(ABC\) un triangle et \(G=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,2),(C,-1)\}\). 1) Justifier l'existence de \(G\). 2) Exprimer \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). 3) Soit \(J=\operatorname{bar}\{(B,2),(C,-1)\}\). Montrer que \(J\) est le symétrique de \(C\) par rapport à \(B\), puis que \(G\) est le milieu de \([AJ]\). Voir la correction 1) \(1+2-1=2\neq0\) : \(G\) existe. 2) Réduction avec \(M=A\) : \(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AG}\), donc \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}-\dfrac12\overrightarrow{AC}\). 3) \(2-1=1\neq0\) : \(\overrightarrow{BJ}=\dfrac{-1}{1}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}\), donc \(B\) est le milieu de \([CJ]\) : \(J\) est le symétrique de \(C\) par rapport à \(B\). Par associativité, \(G=\operatorname{bar}\{(A,1),(J,1)\}\) (car \(2-1=1\)) : \(G\) est le milieu de \([AJ]\). ✔ Exercice 13 ⭐⭐ Soit \(ABC\) un triangle, \(G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,1),(C,1)\}\), \(I\) le milieu de \([BC]\), \(P=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,1)\}\) et \(Q=\operatorname{bar}\{(A,2),(C,1)\}\). Montrer que \((AI)\), \((BQ)\) et \((CP)\) sont concourantes en \(G\), et que \(G\) est le milieu de \([AI]\). Voir la correction \(2+1+1=4\neq0\), \(2+1=3\neq0\) : \(G\), \(P\), \(Q\) existent. • \(G=\operatorname{bar}\{(P,3),(C,1)\}\), donc \(G\in(PC)\). • \(G=\operatorname{bar}\{(Q,3),(B,1)\}\), donc \(G\in(QB)\). • \(I=\operatorname{bar}\{(B,1),(C,1)\}\), donc \(G=\operatorname{bar}\{(A,2),(I,2)\}\) : milieu de \([AI]\), et \(G\in(AI)\). Les trois droites passent par \(G\) : elles sont concourantes. ✔
VIII. Barycentre de quatre points pondérés
Définition Si \(a+b+c+d\neq0\), il existe un unique \(G\) tel que \(a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}+d\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\). Réduction : \(\sum a_i\overrightarrow{MA_i}=\left(\sum a_i\right)\overrightarrow{MG}\). Coordonnées \(x_G=\dfrac{ax_A+bx_B+cx_C+dx_D}{a+b+c+d}\), et de même pour \(y_G\). Associativité Si \(a+b\neq0\), \(c+d\neq0\), \(I=\operatorname{bar}\{(A,a),(B,b)\}\), \(J=\operatorname{bar}\{(C,c),(D,d)\}\), alors \(G=\operatorname{bar}\{(I,a+b),(J,c+d)\}\). Parallélogramme L'isobarycentre d'un parallélogramme \(ABCD\) est son centre, milieu commun des diagonales. Ex. : \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(4,4)\), \(D(0,4)\) : \(G(2,2)\). Quatrième sommet \(ABCD\) est un parallélogramme \(\iff D=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,-1),(C,1)\}\) (somme \(=1\)), car \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) équivaut à \(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\). Exemple (quatrième sommet) \(A(0,0)\), \(B(4,1)\), \(C(5,4)\) : \(x_D=0-4+5=1\) et \(y_D=0-1+4=3\). Donc \(D(1,3)\). Vérification : \(\overrightarrow{AB}(4,1)\) et \(\overrightarrow{DC}(4,1)\). Exemple (coefficients quelconques) \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(0,4)\), \(D(2,6)\) et \(\{(A,2),(B,1),(C,1),(D,-2)\}\) : somme \(=2\), \(x_G=\frac{0+4+0-4}{2}=0\), \(y_G=\frac{0+0+4-12}{2}=-4\). Donc \(G(0,-4)\). Méthode Pour simplifier, regrouper les points deux par deux : \(I=\operatorname{bar}\{(A,a),(B,b)\}\), \(J=\operatorname{bar}\{(C,c),(D,d)\}\), puis chercher \(G\) sur la droite \((IJ)\). Figure 5 : l'isobarycentre de ABCD est le milieu commun O des diagonales.	Exercice 14 ⭐ Soit \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(0,6)\), \(D(6,4)\). Calculer le barycentre de \(\{(A,1),(B,2),(C,1),(D,2)\}\). Voir la correction \(1+2+1+2=6\neq0\). \(x_G=\dfrac{0+8+0+12}{6}=\dfrac{10}{3}\), \(y_G=\dfrac{0+0+6+8}{6}=\dfrac73\). Donc \(G\left(\dfrac{10}{3},\dfrac73\right)\). Exercice 15 ⭐⭐ Soit \(ABC\) un triangle et \(G=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,1),(C,-1)\}\). 1) Montrer que \(\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\). Que dire de \(CAGB\) ? 2) Avec \(A(1,1)\), \(B(5,2)\), \(C(2,4)\), calculer les coordonnées de \(G\). Voir la correction 1) \(1+1-1=1\neq0\) et \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\). Avec Chasles : \((\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB})-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\), donc \(\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\). \(CAGB\) est un parallélogramme. 2) \(x_G=\dfrac{1+5-2}{1}=4\), \(y_G=\dfrac{1+2-4}{1}=-1\). Donc \(G(4,-1)\). Vérification : \(\overrightarrow{CA}(-1,-3)+\overrightarrow{CB}(3,-2)=(2,-5)\) et \(C+(2,-5)=(4,-1)\). ✔
IX. Ensembles de points (1) : norme de aMA + bMB
Résultat Avec \(a+b\neq0\), \(G=\operatorname{bar}\{(A,a),(B,b)\}\) et \(k\geq0\) : \(\lVert a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}\rVert=k\iff MG=\dfrac{k}{\lvert a+b\rvert}\). Pour \(k\gt0\) : cercle de centre \(G\) et de rayon \(\dfrac{k}{\lvert a+b\rvert}\). Pour \(k=0\) : le point \(G\). Méthode 1) Vérifier \(a+b\neq0\). 2) Réduire : \(a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=(a+b)\overrightarrow{MG}\). 3) Passer à la norme : \(\lvert a+b\rvert\,MG=k\). 4) Conclure. Exemple \(AB=6\), \(G=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,2)\}\) (donc \(AG=\frac23AB=4\)). Alors \(\lVert\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\rVert=9\iff3MG=9\iff MG=3\) : cercle de centre \(G\) et de rayon \(3\). Cas \(a+b=0\) Si \(b=-a\) : \(\lVert a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}\rVert=\lVert a\overrightarrow{BA}\rVert=\lvert a\rvert\,AB\), valeur constante. L'ensemble est le plan entier si \(k=\lvert a\rvert\,AB\), et vide sinon. Exemple (milieu) \(I\) milieu de \([AB]\) : \(\lVert\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\rVert=6\iff2MI=6\iff MI=3\) : cercle de centre \(I\) et de rayon \(3\). Exemple (coefficient négatif) \(G=\operatorname{bar}\{(A,3),(B,-1)\}\) (somme \(=2\)). Alors \(\lVert3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\rVert=6\iff2MG=6\iff MG=3\) : cercle de centre \(G\) et de rayon \(3\). Ici \(\overrightarrow{AG}=-\frac12\overrightarrow{AB}\) : \(G\) est hors de \([AB]\). Exemple (\(k=0\)) \(\lVert2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\rVert=0\iff3MG=0\iff M=G\) : l'ensemble est le point \(G\). À retenir Le centre du cercle est toujours le barycentre \(G\) ; le rayon est \(\dfrac{k}{\lvert a+b\rvert}\) : il se lit directement après la réduction. Figure 6 : les points M pour lesquels la norme de aMA + bMB vaut k forment le cercle de centre G et de rayon k / |a+b|.	Exercice 16 ⭐⭐⭐ Soit \(A\), \(B\) tels que \(AB=6\) et \(G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,1)\}\). 1) Calculer \(GA\) et \(GB\). 2) Déterminer l'ensemble \((\Gamma_1)\) des \(M\) tels que \(\left\lVert2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right\rVert=9\). 3) Déterminer l'ensemble \((\Gamma_2)\) des \(M\) tels que \(2MA^2+MB^2=36\). Voir la correction 1) \(\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AB}\), donc \(GA=2\) et \(GB=4\). 2) \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MG}\), donc \(3MG=9\), \(MG=3\) : cercle de centre \(G\) et de rayon \(3\). 3) \(2MA^2+MB^2=3MG^2+2\times4+16=3MG^2+24\). L'égalité \(3MG^2+24=36\) donne \(MG=2\) : cercle de centre \(G\) et de rayon \(2\). Exercice 17 ⭐⭐⭐ Soit \(A\), \(B\) distincts. Déterminer l'ensemble des \(M\) tels que \(\left\lVert\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right\rVert=\left\lVert\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right\rVert\). Voir la correction Soit \(I\) le milieu de \([AB]\) : \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\). Et \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\) de norme \(AB\). La condition s'écrit \(2MI=AB\), soit \(MI=\dfrac{AB}{2}\) : le cercle de diamètre \([AB]\).
X. Ensembles de points (2) : aMA² + bMB² = k
Formule Avec \(a+b\neq0\) et \(G=\operatorname{bar}\{(A,a),(B,b)\}\), pour tout \(M\) : \[ aMA^2+bMB^2=(a+b)MG^2+aGA^2+bGB^2. \] Discussion Si \(a+b\gt0\), on isole \(MG^2=\dfrac{k-aGA^2-bGB^2}{a+b}=c\). Si \(c\lt0\) : ensemble vide ; si \(c=0\) : le point \(G\) ; si \(c\gt0\) : cercle de centre \(G\) et de rayon \(\sqrt c\). Si \(a+b\lt0\), on multiplie d'abord l'égalité par \(-1\). Cas du milieu Si \(a=b=1\) et \(I\) est le milieu de \([AB]\) : \(MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}\). Exemple \(AB=6\) et \(MA^2+MB^2=26\) : \(2MI^2+18=26\), donc \(MI^2=4\) : cercle de centre \(I\) et de rayon \(2\). Méthode Calculer \(GA\) et \(GB\) (avec \(\overrightarrow{AG}=\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\)), appliquer la formule, isoler \(MG^2\), puis discuter selon le signe. Cas \(a+b=0\) Si \(b=-a\) : \(aMA^2+bMB^2=a\left(MA^2-MB^2\right)\), et \(MA^2-MB^2=\overrightarrow{BA}\cdot2\overrightarrow{MI}\). L'ensemble est une droite perpendiculaire à \((AB)\) (et non un cercle). Exemple (\(a+b=0\)) Dans un repère orthonormé, \(A(0,0)\), \(B(4,0)\) : \(MA^2-MB^2=8x-16\). Donc \(MA^2-MB^2=8\iff x=3\) : la droite perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(H(3,0)\) (figure 7). Figure 7 : MA² − MB² = 8 est la droite d'équation x = 3, perpendiculaire à (AB). 📖 Démonstration de la formule On écrit \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\), \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\), puis on élève au carré : \[ \begin{gathered}aMA^2+bMB^2=(a+b)MG^2+2\,\overrightarrow{MG}\cdot\underbrace{\left(a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}\right)}_{=\overrightarrow{0}}\\+aGA^2+bGB^2.\end{gathered} \] D'où la formule. \(\square\)	Exercice 18 ⭐⭐⭐ Soit \(A\), \(B\) tels que \(AB=4\) et \(G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,-1)\}\). 1) Montrer que \(G\) existe, le construire et calculer \(GA\), \(GB\). 2) Montrer que \(2MA^2-MB^2=MG^2-32\) pour tout \(M\). 3) Déterminer l'ensemble des \(M\) tels que \(2MA^2-MB^2=-7\). Que devient-il pour \(k=-32\) et \(k=-40\) ? Voir la correction 1) \(2-1=1\neq0\). \(\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{AB}\) : \(G\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\). Donc \(GA=4\), \(GB=8\). 2) D'après la formule avec \(a=2\) et \(b=-1\) : \[ \begin{gathered}2MA^2-MB^2=(2-1)MG^2+2GA^2-GB^2\\=MG^2+32-64=MG^2-32.\end{gathered} \] 3) \(MG^2-32=-7\Rightarrow MG=5\) : cercle de centre \(G\) et de rayon \(5\). \(k=-32\) : \(MG^2=0\), l'ensemble est \(\{G\}\). \(k=-40\) : \(MG^2=-8\lt0\), l'ensemble est vide. Exercice 19 ⭐⭐⭐ Soit \(A\), \(B\) tels que \(AB=4\) et \(I\) le milieu de \([AB]\). 1) Montrer que \(MA^2+MB^2=2MI^2+8\) pour tout point \(M\). 2) Déterminer l'ensemble des \(M\) tels que \(MA^2+MB^2=20\). 3) Même question avec \(MA^2+MB^2=8\), puis avec \(MA^2+MB^2=6\). Voir la correction 1) \(I=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,1)\}\) et \(IA=IB=2\). La formule donne \(MA^2+MB^2=2MI^2+IA^2+IB^2=2MI^2+8\). 2) \(2MI^2+8=20\Rightarrow MI^2=6\) : cercle de centre \(I\) et de rayon \(\sqrt6\). 3) Pour \(8\) : \(MI^2=0\), l'ensemble est \(\{I\}\). Pour \(6\) : \(MI^2=-1\lt0\), l'ensemble est vide.

XI. Erreurs fréquentes, aide-mémoire et FAQ

Erreur fréquente	Ce qu'il faut faire	Pourquoi
Oublier de vérifier \(a+b\neq0\)	Calculer la somme des coefficients avant tout.	Sans cette condition, pas de barycentre.
Écrire \(\overrightarrow{AG}=\frac{a}{a+b}\overrightarrow{AB}\)	\(\overrightarrow{AG}=\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\)	Le coefficient de \(B\) donne la position à partir de \(A\).
Oublier d'additionner les coefficients (associativité, réduction)	Le barycentre partiel \(I\) porte \(a+b\).	La réduction donne \((a+b)\overrightarrow{GI}\).
Ajouter un même nombre aux coefficients	On peut seulement les multiplier par un même \(k\neq0\).	C'est l'homogénéité ; l'addition change le barycentre.
Croire que \(G\) est toujours dans le segment ou le triangle	Regarder le signe des coefficients.	Des coefficients de signes contraires placent \(G\) à l'extérieur.

Aide-mémoire	Formule	Condition
Définition	\(\sum a_i\overrightarrow{GA_i}=\overrightarrow{0}\)	\(\sum a_i\neq0\)
Réduction	\(\sum a_i\overrightarrow{MA_i}=\left(\sum a_i\right)\overrightarrow{MG}\)	pour tout \(M\)
Homogénéité	\(\operatorname{bar}\{(A_i,a_i)\}=\operatorname{bar}\{(A_i,ka_i)\}\)	\(k\neq0\)
Coordonnées	\(x_G=\dfrac{\sum a_ix_i}{\sum a_i}\), \(y_G=\dfrac{\sum a_iy_i}{\sum a_i}\)	repère du plan
Position (2 points)	\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\)	\(a+b\neq0\)
Associativité	barycentre partiel affecté de la somme des coefficients	somme partielle non nulle
Norme	\(\lVert a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}\rVert=\lvert a+b\rvert\,MG\)	\(a+b\neq0\)

Question	Réponse
Quelle est la condition d'existence ?	La somme des coefficients est non nulle (\(a+b\neq0\), \(a+b+c\neq0\), etc.).
Un coefficient peut-il être négatif ?	Oui, si la somme reste non nulle. Le barycentre peut alors être hors du segment ou du triangle.
Barycentre et centre de gravité ?	Le centre de gravité d'un triangle est l'isobarycentre de ses sommets (coefficients égaux). Le barycentre admet des coefficients quelconques.
Que faire si la somme est nulle ?	Il n'y a pas de barycentre, mais \(a\overrightarrow{MA}-a\overrightarrow{MB}=a\overrightarrow{BA}\) est un vecteur constant.

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