Cours : Arithmétique dans N - PGCD, PPCM, nombres premiers

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Niveau : Tronc commun  |  Chapitre : Arithmétique dans \(\mathbb{N}\)  |  Matière : Mathématiques

L'arithmétique est la partie des mathématiques qui étudie les nombres entiers et leurs propriétés : parité, divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM… Dans ce cours, tout est expliqué pas à pas, avec des exemples résolus, des méthodes et des exercices corrigés. Dans tout le chapitre, \(\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\dots\}\) et \(\mathbb{N}^{*}=\{1;2;3;\dots\}\).

Sommaire

• I- Nombres pairs – Nombres impairs
• II- Critères de divisibilité
• III- Nombres premiers
• IV- Décomposition en facteurs premiers
• V- Diviseurs d'un entier naturel – PGCD
• VI- Multiples d'un entier naturel – PPCM
• VII- Division euclidienne dans \(\mathbb{N}\)
• VIII- Exercices (avec corrigés)

I- Nombres pairs – Nombres impairs

1-1/ Définition

Définition Soit \(n\in\mathbb{N}\).

• \(n\) est pair s'il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(n=2k\).
• \(n\) est impair s'il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(n=2k+1\).

Exemples \(0=2\times0\), \(8=2\times4\) et \(30=2\times15\) sont pairs. \(1=2\times0+1\), \(7=2\times3+1\) et \(2025=2\times1012+1\) sont impairs.

1-2/ Remarques

Propriétés

• Tout entier naturel est soit pair, soit impair, et jamais les deux à la fois.
• Le nombre 0 est pair.
• Un entier est pair si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
• pair \(+\) pair \(=\) pair ; impair \(+\) impair \(=\) pair ; pair \(+\) impair \(=\) impair.
• pair \(\times\) (n'importe quel entier) \(=\) pair ; impair \(\times\) impair \(=\) impair.
• \(n\) et \(n^{2}\) ont la même parité.
• Deux entiers consécutifs \(n\) et \(n+1\) ont des parités différentes : leur produit \(n(n+1)\) est toujours pair.

Démonstrations impair \(\times\) impair : \((2k+1)(2k'+1)=4kk'+2k+2k'+1=2(2kk'+k+k')+1\), qui est de la forme \(2m+1\) : impair.
\(n(n+1)\) est pair : si \(n\) est pair, alors \(n(n+1)\) est un produit contenant un facteur pair ; si \(n\) est impair, alors \(n+1\) est pair, et on conclut de même.

Utilisation en raisonnement Pour démontrer une propriété sur la parité, on écrit \(n=2k\) ou \(n=2k+1\) et on calcule. Exemple : si \(n\) est impair, alors \(n^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2(2k^{2}+2k)+1\) est impair.

II- Critères de divisibilité

On dit que \(a\) est divisible par \(b\) (avec \(b\ne0\)) s'il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(a=b\times k\). Les critères suivants permettent de le savoir sans faire la division.

Critères de divisibilité

Un entier est divisible par…	… si et seulement si
2	son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
3	la somme de ses chiffres est divisible par 3
4	le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4
5	son chiffre des unités est 0 ou 5
9	la somme de ses chiffres est divisible par 9
10	son chiffre des unités est 0
25	ses deux derniers chiffres sont 00, 25, 50 ou 75
11 (complément)	la somme alternée de ses chiffres (en partant des unités : \(+,-,+,-\dots\)) est divisible par 11

Exemples

• \(1\,530\) : \(1+5+3+0=9\), donc divisible par 3 et par 9 ; il se termine par 0, donc divisible par 2, 5 et 10.
• \(4\,716\) : les deux derniers chiffres forment 16, divisible par 4, donc \(4\,716\) est divisible par 4. De plus \(4+7+1+6=18\) : divisible par 3 et 9. On a \(4\,716=2^{2}\times3^{2}\times131\).
• \(3\,465\) : somme alternée \(5-6+4-3=0\), divisible par 11. Et \(3+4+6+5=18\) : divisible par 9, et il se termine par 5 : divisible par 5.

Pourquoi le critère du 3 et du 9 marche ? Prenons un nombre à 4 chiffres \(n=\overline{abcd}\). Alors \[n=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9\,(111a+11b+c)+S,\] où \(S=a+b+c+d\) est la somme des chiffres. Le premier terme est un multiple de 9 (donc de 3) : \(n\) est divisible par 3 (ou 9) si et seulement si \(S\) l'est.
Pour le critère du 4 : \(100=4\times25\), donc seules les deux derniers chiffres comptent.

Critères composés Si deux entiers premiers entre eux (voir plus loin) divisent \(n\), alors leur produit divise \(n\). Ainsi, \(n\) est divisible par 6 s'il est divisible par 2 et par 3 ; par 15 s'il l'est par 3 et par 5 ; par 12 s'il l'est par 3 et par 4.
Attention : divisible par 2 et 4 n'implique pas divisible par 8, car 2 et 4 ne sont pas premiers entre eux.

III- Nombres premiers

3-1/ Nombres premiers

Définition Un entier naturel \(p\) est premier s'il admet exactement deux diviseurs : \(1\) et \(p\). Un entier \(n\ge2\) qui n'est pas premier est dit composé.

Exemples Les nombres premiers inférieurs à 50 sont : \[2;\ 3;\ 5;\ 7;\ 11;\ 13;\ 17;\ 19;\ 23;\ 29;\ 31;\ 37;\ 41;\ 43;\ 47.\] \(0\) et \(1\) ne sont pas premiers (0 a une infinité de diviseurs, 1 n'en a qu'un seul). Le nombre 2 est le seul nombre premier pair.

Propriétés

• Tout entier \(n\ge2\) admet au moins un diviseur premier.
• Il existe une infinité de nombres premiers (Euclide).

Preuve de l'infinité des nombres premiers (par l'absurde) Supposons qu'il n'y ait qu'un nombre fini de premiers \(p_1,p_2,\dots,p_k\). Posons \(N=p_1\times p_2\times\cdots\times p_k+1\). Ce nombre \(N\ge2\) admet un diviseur premier \(p\), donc \(p\) est l'un des \(p_i\). Mais alors \(p\) divise \(p_1\cdots p_k\) et \(N\), donc il divise leur différence \(N-p_1\cdots p_k=1\) : impossible. Donc il y a une infinité de nombres premiers.

Le crible d'Ératosthène (pour trouver les premiers jusqu'à \(N\))

1. Écrire tous les entiers de 2 à \(N\).
2. Garder 2 et barrer tous ses multiples (4, 6, 8…).
3. Prendre le premier nombre non barré (3), le garder et barrer ses multiples.
4. Recommencer jusqu'à un nombre \(p\) tel que \(p^{2}>N\).
5. Les nombres non barrés sont les nombres premiers.

3-2/ Test de primalité

Théorème Soit \(n\ge2\). Si \(n\) n'est divisible par aucun nombre premier \(p\) tel que \(p^{2}\le n\), alors \(n\) est premier.
Autrement dit : un entier composé \(n\) possède toujours un diviseur premier \(p\le\sqrt{n}\).

Pourquoi ? Si \(n=a\times b\) avec \(1\lt a\le b\), alors \(a^{2}\le a\times b=n\), donc \(a\le\sqrt n\). Un diviseur premier de \(a\) est aussi un diviseur de \(n\) et il est \(\le\sqrt n\).

Exemple 1 : \(127\) est-il premier ? On a \(11^{2}=121\le127\) et \(13^{2}=169>127\). On teste donc les premiers 2, 3, 5, 7, 11.
2 : 127 est impair. 3 : \(1+2+7=10\), non divisible par 3. 5 : il ne se termine pas par 0 ou 5. 7 : \(7\times18=126\), reste 1. 11 : \(11\times11=121\), reste 6.
Aucun ne divise 127 : 127 est premier.

Exemple 2 : \(221\) est-il premier ? On a \(13^{2}=169\le221\) et \(17^{2}=289>221\). On teste 2, 3, 5, 7, 11, 13.
2, 3 (\(2+2+1=5\)), 5 : non. 7 : \(7\times31=217\), reste 4 : non. 11 : \(11\times20=220\), reste 1 : non. 13 : \(13\times17=221\) : oui !
Donc \(221=13\times17\) n'est pas premier.

IV- Décomposition en facteurs premiers

4-1/ Définition

Définition Décomposer un entier \(n\ge2\) en facteurs premiers, c'est l'écrire comme un produit de nombres premiers : \[n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times\cdots\times p_k^{\alpha_k}\] où les \(p_i\) sont des nombres premiers distincts et les \(\alpha_i\in\mathbb{N}^{*}\).

4-2/ Théorème

Théorème Tout entier naturel \(n\ge2\) se décompose en un produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique (à l'ordre des facteurs près).

Méthode : divisions successives On divise \(n\) par le plus petit nombre premier qui le divise, puis le quotient obtenu, etc., jusqu'à obtenir 1.

Exemple : décomposer 360.

Nombre	Diviseur premier
360	2
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1

Donc \(360=2^{3}\times3^{2}\times5\).

Autres exemples \(756=2^{2}\times3^{3}\times7\) ; \(\quad1\,260=2^{2}\times3^{2}\times5\times7\) ; \(\quad2\,310=2\times3\times5\times7\times11\) ; \(\quad1\,001=7\times11\times13\).

Applications de la décomposition

Applications

• Simplifier une fraction : \(\dfrac{756}{1260}=\dfrac{2^{2}\times3^{3}\times7}{2^{2}\times3^{2}\times5\times7}=\dfrac{3}{5}\).
• Trouver tous les diviseurs : les diviseurs de \(n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\) sont les nombres \(p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k}\) avec \(0\le\beta_i\le\alpha_i\). Leur nombre est \[(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1).\] Pour \(360=2^{3}\times3^{2}\times5\) : \((3+1)(2+1)(1+1)=24\) diviseurs. Pour \(36=2^{2}\times3^{2}\) : \(3\times3=9\) diviseurs.
• Reconnaître un carré parfait : \(n\) est un carré parfait si et seulement si tous les exposants de sa décomposition sont pairs. Ainsi \(324=2^{2}\times3^{4}=18^{2}\).
• Calculer le PGCD et le PPCM (voir parties V et VI).

V- Diviseurs d'un entier naturel – Plus Grand Commun Diviseur de \(a\) et \(b\)

5-1/ Définition

Définition Soient \(a\in\mathbb{N}\) et \(b\in\mathbb{N}^{*}\). On dit que \(b\) est un diviseur de \(a\) (ou que \(b\) divise \(a\), noté \(b\mid a\)) s'il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(a=b\times k\).

Le plus grand commun diviseur de deux entiers \(a\) et \(b\) (non tous deux nuls), noté \(\operatorname{pgcd}(a,b)\), est le plus grand entier qui divise à la fois \(a\) et \(b\).

Exemple : \(\operatorname{pgcd}(36,48)\) Diviseurs de 36 : \(1;2;3;4;6;9;12;18;36\).
Diviseurs de 48 : \(1;2;3;4;6;8;12;16;24;48\).
Diviseurs communs : \(1;2;3;4;6;12\). Donc \(\operatorname{pgcd}(36,48)=12\).

5-2/ Théorème

Théorème 1 : calcul avec la décomposition Le \(\operatorname{pgcd}(a,b)\) est le produit des facteurs premiers communs à \(a\) et \(b\), chacun étant pris avec le plus petit exposant.

Exemple \(360=2^{3}\times3^{2}\times5\) et \(756=2^{2}\times3^{3}\times7\).
Facteurs communs : 2 (exposants 3 et 2, on garde 2) et 3 (exposants 2 et 3, on garde 2).
\(\operatorname{pgcd}(360,756)=2^{2}\times3^{2}=36\).

Théorème 2 : algorithme d'Euclide Si \(a=b\,q+r\) est la division euclidienne de \(a\) par \(b\), alors \[\operatorname{pgcd}(a,b)=\operatorname{pgcd}(b,r).\] Le pgcd est le dernier reste non nul dans la suite des divisions successives.

Pourquoi ? (idée de la preuve) Si \(d\) divise \(a\) et \(b\), alors \(d\) divise \(r=a-bq\). Réciproquement, si \(d\) divise \(b\) et \(r\), alors \(d\) divise \(a=bq+r\). Les couples \((a,b)\) et \((b,r)\) ont donc les mêmes diviseurs communs, donc le même plus grand.

Exemple : \(\operatorname{pgcd}(252,198)\) \[252=198\times1+54\] \[198=54\times3+36\] \[54=36\times1+18\] \[36=18\times2+0\] Le dernier reste non nul est 18 : \(\operatorname{pgcd}(252,198)=18\).
Vérification : \(252=2^{2}\times3^{2}\times7\), \(198=2\times3^{2}\times11\), donc pgcd \(=2\times3^{2}=18\). ✓

Propriétés du PGCD

• \(\operatorname{pgcd}(a,b)=\operatorname{pgcd}(b,a)\).
• Les diviseurs communs de \(a\) et \(b\) sont exactement les diviseurs de \(\operatorname{pgcd}(a,b)\).
• \(\operatorname{pgcd}(ka,kb)=k\times\operatorname{pgcd}(a,b)\) pour \(k\in\mathbb{N}^{*}\).
• Si \(b\mid a\), alors \(\operatorname{pgcd}(a,b)=b\).

5-3/ Entiers premiers entre eux

Définition Deux entiers \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1, c'est-à-dire si \(\operatorname{pgcd}(a,b)=1\).

Exemples \(\operatorname{pgcd}(8,15)=1\) : 8 et 15 sont premiers entre eux (alors qu'aucun des deux n'est premier !). Deux nombres premiers distincts sont toujours premiers entre eux. Deux entiers consécutifs \(n\) et \(n+1\) sont toujours premiers entre eux.

Propriétés

• Une fraction \(\dfrac ab\) est irréductible si et seulement si \(\operatorname{pgcd}(a,b)=1\).
• Pour rendre irréductible une fraction \(\dfrac ab\), on divise \(a\) et \(b\) par \(d=\operatorname{pgcd}(a,b)\) : les entiers \(\dfrac ad\) et \(\dfrac bd\) sont premiers entre eux.
• Si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux et divisent tous les deux \(n\), alors \(a\times b\) divise \(n\).

Exemple \(\operatorname{pgcd}(924,1188)=132\), donc \(\dfrac{924}{1188}=\dfrac{924\div132}{1188\div132}=\dfrac{7}{9}\), fraction irréductible.

VI- Multiples d'un entier naturel – Plus Petit Commun Multiple de \(a\) et \(b\)

6-1/ Définition

Définition Un multiple de \(a\) est un entier de la forme \(a\times k\) avec \(k\in\mathbb{N}\). L'ensemble des multiples de \(a\) est noté \(a\mathbb{N}\).

Le plus petit commun multiple de deux entiers non nuls \(a\) et \(b\), noté \(\operatorname{ppcm}(a,b)\), est le plus petit entier strictement positif qui est à la fois multiple de \(a\) et de \(b\).

Exemple : \(\operatorname{ppcm}(12,18)\) Multiples de 12 : \(12;24;\mathbf{36};48;60;72;\dots\)
Multiples de 18 : \(18;\mathbf{36};54;72;\dots\)
Le plus petit multiple commun non nul est 36 : \(\operatorname{ppcm}(12,18)=36\).

6-2/ Théorème

Théorème 1 : calcul avec la décomposition Le \(\operatorname{ppcm}(a,b)\) est le produit de tous les facteurs premiers apparaissant dans \(a\) ou dans \(b\), chacun étant pris avec le plus grand exposant.

Exemple \(360=2^{3}\times3^{2}\times5\) et \(756=2^{2}\times3^{3}\times7\).
\(\operatorname{ppcm}(360,756)=2^{3}\times3^{3}\times5\times7=8\times27\times35=7\,560.\)

Théorème 2 : lien PGCD – PPCM Pour tous entiers \(a,b\in\mathbb{N}^{*}\), \[\boxed{\operatorname{pgcd}(a,b)\times\operatorname{ppcm}(a,b)=a\times b}\]

Vérification Avec 360 et 756 : \(\operatorname{pgcd}=36\) et \(\operatorname{ppcm}=7\,560\). On a \(36\times7\,560=272\,160=360\times756\). ✓
Cette formule permet de calculer facilement le ppcm : \(\operatorname{ppcm}(a,b)=\dfrac{a\times b}{\operatorname{pgcd}(a,b)}\).

6-3/ Remarques

Remarques

• \(\operatorname{ppcm}(a,b)=\operatorname{ppcm}(b,a)\).
• Les multiples communs de \(a\) et \(b\) sont exactement les multiples de \(\operatorname{ppcm}(a,b)\).
• Si \(a\mid b\), alors \(\operatorname{ppcm}(a,b)=b\).
• Si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, alors \(\operatorname{ppcm}(a,b)=a\times b\).
• \(\operatorname{ppcm}(ka,kb)=k\times\operatorname{ppcm}(a,b)\).

Applications Additionner des fractions : \(\dfrac{5}{12}+\dfrac{7}{18}\). Le dénominateur commun le plus petit est \(\operatorname{ppcm}(12,18)=36\) : \(\dfrac{15}{36}+\dfrac{14}{36}=\dfrac{29}{36}\).

Problème de coïncidence : deux feux clignotent, l'un toutes les 12 s, l'autre toutes les 18 s. S'ils clignotent ensemble à l'instant 0, ils clignoteront de nouveau ensemble après \(\operatorname{ppcm}(12,18)=36\) secondes.

VII- Division euclidienne dans \(\mathbb{N}\)

Théorème et définition Soient \(a\in\mathbb{N}\) et \(b\in\mathbb{N}^{*}\). Il existe un unique couple d'entiers naturels \((q,r)\) tel que \[\boxed{a=b\times q+r\qquad\text{avec}\qquad 0\le r\lt b}\]

• \(a\) est le dividende, \(b\) le diviseur, \(q\) le quotient, \(r\) le reste.
• Faire cette écriture, c'est effectuer la division euclidienne de \(a\) par \(b\).

Exemples \(157=12\times13+1\) (car \(12\times13=156\)) : quotient 13, reste 1.
\(2\,026=17\times119+3\) (car \(17\times119=2\,023\)) : quotient 119, reste 3.
\(5=8\times0+5\) : si \(a\lt b\), alors \(q=0\) et \(r=a\).

Attention Le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur. Écrire \(157=12\times12+13\) est exact, mais ce n'est pas la division euclidienne, car \(13\ge12\).

Remarques

• \(b\) divise \(a\) si et seulement si le reste \(r\) est égal à 0.
• Division par 2 : le reste est 0 (nombre pair) ou 1 (nombre impair).
• Division par \(b\) : les restes possibles sont \(0,1,\dots,b-1\), soit \(b\) possibilités. C'est la base du raisonnement par disjonction de cas.

Méthode : trouver \(q\) et \(r\) Calculer la division euclidienne de \(2\,345\) par \(27\).
On cherche le plus grand multiple de 27 inférieur ou égal à 2 345 : \(27\times86=2\,322\) et \(27\times87=2\,349>2\,345\).
Donc \(2\,345=27\times86+23\) avec \(0\le23\lt 27\). Quotient 86, reste 23.

Exemple de raisonnement : disjonction de cas Montrer que le carré d'un entier n'est jamais de la forme \(3k+2\).
Soit \(n\in\mathbb{N}\). Les restes possibles dans la division par 3 sont 0, 1, 2.
Si \(n=3k\) : \(n^{2}=9k^{2}=3(3k^{2})\), reste 0.
Si \(n=3k+1\) : \(n^{2}=9k^{2}+6k+1=3(3k^{2}+2k)+1\), reste 1.
Si \(n=3k+2\) : \(n^{2}=9k^{2}+12k+4=3(3k^{2}+4k+1)+1\), reste 1.
Le reste de \(n^{2}\) est donc toujours 0 ou 1, jamais 2. \(\blacksquare\)

Résumé du chapitre

• Pair : \(2k\) ; impair : \(2k+1\). \(n(n+1)\) est toujours pair.
• Critères : 2 (unités), 3 et 9 (somme des chiffres), 4 (deux derniers chiffres), 5 et 10 (unités).
• Premier : exactement 2 diviseurs. Test : essayer les premiers \(p\) avec \(p^{2}\le n\).
• Tout \(n\ge2\) se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
• PGCD : facteurs communs, plus petit exposant (ou algorithme d'Euclide). PPCM : tous les facteurs, plus grand exposant.
• \(\operatorname{pgcd}(a,b)\times\operatorname{ppcm}(a,b)=a\times b\).
• Division euclidienne : \(a=bq+r\) avec \(0\le r\lt b\).

VIII- Exercices (avec corrigés)

Cherche d'abord seul(e), puis clique sur « Voir le corrigé » pour vérifier.

Exercice 1 : Parité

1) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n^{2}+n\) est pair.
2) Montrer que si \(n\) est impair, alors \(n^{2}-1\) est divisible par 8.

Voir le corrigé

1) \(n^{2}+n=n(n+1)\) : produit de deux entiers consécutifs, dont l'un est pair. Donc \(n^{2}+n\) est pair.
2) Si \(n=2k+1\), alors \(n^{2}-1=4k^{2}+4k=4k(k+1)\). Or \(k(k+1)\) est pair, donc \(k(k+1)=2m\) et \(n^{2}-1=8m\) : divisible par 8.

Exercice 2 : Critères de divisibilité

1) Le nombre \(3\,465\) est-il divisible par 2 ? 3 ? 5 ? 9 ? 11 ?
2) Déterminer le chiffre \(x\) pour que \(\overline{35x}\) soit divisible par 9.
3) Déterminer les chiffres \(x\) pour que \(\overline{14x}\) soit divisible par 3.

Voir le corrigé

1) 2 : non (se termine par 5). 3 : \(3+4+6+5=18\), oui. 5 : oui. 9 : \(18\) est divisible par 9, oui. 11 : \(5-6+4-3=0\), oui.
2) \(3+5+x=8+x\) doit être multiple de 9 : \(x=1\) (on obtient 351 \(=9\times39\)).
3) \(1+4+x=5+x\) doit être multiple de 3 : \(5+x\in\{6;9;12\}\), donc \(x\in\{1;4;7\}\) (soit 141, 144, 147).

Exercice 3 : Nombres premiers

Les nombres \(143\), \(197\) et \(391\) sont-ils premiers ?

Voir le corrigé

143 : \(143=11\times13\), composé.
197 : \(13^{2}=169\le197\lt 17^{2}=289\). On teste 2, 3, 5, 7, 11, 13 : 197 est impair ; \(1+9+7=17\) (pas multiple de 3) ; ne finit pas par 0 ou 5 ; \(7\times28=196\) (reste 1) ; \(11\times17=187\) (reste 10) ; \(13\times15=195\) (reste 2). Aucun ne divise 197 : 197 est premier.
391 : on trouve \(391=17\times23\), composé.

Exercice 4 : Décomposition en facteurs premiers

1) Décomposer \(540\) en facteurs premiers. Combien a-t-il de diviseurs ?
2) Quel est le plus petit entier \(k\) tel que \(540\times k\) soit un carré parfait ?
3) Simplifier la fraction \(\dfrac{540}{1\,260}\).

Voir le corrigé

1) \(540=2^{2}\times3^{3}\times5\). Nombre de diviseurs : \((2+1)(3+1)(1+1)=24\).
2) Il faut des exposants pairs : on a \(2^{2}\) (ok), \(3^{3}\) (il manque un 3), \(5^{1}\) (il manque un 5). Donc \(k=3\times5=15\) et \(540\times15=8\,100=90^{2}\).
3) \(1\,260=2^{2}\times3^{2}\times5\times7\), donc \(\dfrac{540}{1260}=\dfrac{2^{2}\times3^{3}\times5}{2^{2}\times3^{2}\times5\times7}=\dfrac{3}{7}\).

Exercice 5 : PGCD et PPCM

Soit \(a=924\) et \(b=1\,188\).
1) Décomposer \(a\) et \(b\) en facteurs premiers.
2) En déduire \(\operatorname{pgcd}(a,b)\) et \(\operatorname{ppcm}(a,b)\).
3) Retrouver le pgcd par l'algorithme d'Euclide.
4) Vérifier que \(\operatorname{pgcd}(a,b)\times\operatorname{ppcm}(a,b)=a\times b\).

Voir le corrigé

1) \(924=2^{2}\times3\times7\times11\) et \(1\,188=2^{2}\times3^{3}\times11\).
2) \(\operatorname{pgcd}=2^{2}\times3\times11=132\). \(\operatorname{ppcm}=2^{2}\times3^{3}\times7\times11=8\,316\).
3) \(1188=924\times1+264\) ; \(924=264\times3+132\) ; \(264=132\times2+0\). Le dernier reste non nul est 132. ✓
4) \(132\times8\,316=1\,097\,712\) et \(924\times1\,188=1\,097\,712\). ✓

Exercice 6 : Fraction irréductible

Rendre irréductible \(\dfrac{924}{1\,188}\) puis calculer \(\dfrac{5}{12}+\dfrac{7}{18}\).

Voir le corrigé

\(\dfrac{924}{1188}=\dfrac{924\div132}{1188\div132}=\dfrac79\).
\(\operatorname{ppcm}(12,18)=36\), donc \(\dfrac5{12}+\dfrac7{18}=\dfrac{15}{36}+\dfrac{14}{36}=\dfrac{29}{36}\).

Exercice 7 : Division euclidienne

1) Effectuer la division euclidienne de \(2\,345\) par \(27\).
2) Dans une division euclidienne par 15, le quotient est 12 et le reste est 7. Quel est le dividende ?
3) Dans une division euclidienne de \(a\) par 25, le quotient est égal au reste. Quelles sont les valeurs possibles de \(a\) ?

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1) \(2\,345=27\times86+23\).
2) \(a=15\times12+7=187\).
3) \(a=25q+q=26q\) avec \(r=q\lt 25\), donc \(q\in\{0;1;\dots;24\}\). Les valeurs possibles de \(a\) sont \(0;26;52;78;\dots;624\) (les multiples de 26 de 0 à \(26\times24=624\)).

Exercice 8 : Problèmes

1) Un fleuriste a 84 roses et 126 tulipes. Il veut faire le plus grand nombre possible de bouquets identiques, en utilisant toutes les fleurs. Combien de bouquets fait-il ? Quelle est la composition de chacun ?
2) Deux bus partent ensemble d'une gare à 8 h. L'un repasse toutes les 12 min et l'autre toutes les 18 min. À quelle heure repartent-ils de nouveau ensemble ?

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1) Le nombre de bouquets divise 84 et 126, et il doit être maximal : c'est \(\operatorname{pgcd}(84,126)\). \(84=2^{2}\times3\times7\) et \(126=2\times3^{2}\times7\), donc \(\operatorname{pgcd}=2\times3\times7=42\). Il fait 42 bouquets, chacun avec \(84\div42=2\) roses et \(126\div42=3\) tulipes.
2) \(\operatorname{ppcm}(12,18)=36\) minutes. Ils repartent ensemble à 8 h 36.

Exercice 9 : Pour aller plus loin

Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le produit \(n(n+1)(n+2)\) est divisible par 6.

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Parmi \(n\) et \(n+1\), l'un est pair : le produit est divisible par 2.
Parmi trois entiers consécutifs, les restes dans la division par 3 sont 0, 1, 2 dans un certain ordre : l'un des trois est multiple de 3. Le produit est donc divisible par 3.
Comme 2 et 3 sont premiers entre eux et divisent tous deux le produit, \(2\times3=6\) divise le produit. \(\blacksquare\)

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