Cours : Les ensembles de nombres (N, Z, D, Q, R) - Tronc commun

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Niveau : Tronc commun  |  Chapitre : Les ensembles de nombres  |  Matière : Mathématiques

Dans ce cours, tu vas découvrir comment les mathématiciens classent les nombres : entiers naturels, entiers relatifs, décimaux, rationnels et réels. Tu réviseras ensuite les règles de calcul indispensables (fractions, racines carrées, identités remarquables, puissances, écriture scientifique) et tu pourras t'entraîner avec des exercices corrigés.

Sommaire

• I- Les ensembles \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\)
  • 1-1/ L'ensemble \(\mathbb{N}\)
  • 1-2/ L'ensemble \(\mathbb{Z}\)
  • 1-3/ L'ensemble \(\mathbb{D}\)
  • 1-4/ L'ensemble \(\mathbb{Q}\)
  • 1-5/ L'ensemble \(\mathbb{R}\)
• II- Règles de calculs
  • 2-1/ Les fractions
  • 2-2/ Les racines carrées
  • 2-3/ Les identités remarquables
  • 2-4/ Les puissances de 10
  • 2-5/ L'écriture scientifique
• III- Exercices (avec corrigés)

I- Les ensembles \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\)

1-1/ L'ensemble \(\mathbb{N}\) (nombres entiers naturels)

Définition L'ensemble des entiers naturels est noté \(\mathbb{N}\) : \[\mathbb{N}=\{0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,\dots\}\] L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté \(\mathbb{N}^{*}=\{1;\,2;\,3;\,\dots\}\).

Notations d'appartenance

On utilise le symbole \(\in\) (« appartient à ») et \(\notin\) (« n'appartient pas à »).

Exemples \(5\in\mathbb{N}\) ; \(0\in\mathbb{N}\) ; \(0\notin\mathbb{N}^{*}\) ; \(-3\notin\mathbb{N}\) ; \(\dfrac12\notin\mathbb{N}\) ; \(\sqrt{16}=4\in\mathbb{N}\).

Propriétés

Propriété La somme et le produit de deux entiers naturels sont des entiers naturels : \[a\in\mathbb{N},\; b\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\; a+b\in\mathbb{N}\ \text{ et }\ a\times b\in\mathbb{N}.\] En revanche, la différence de deux entiers naturels n'est pas toujours un entier naturel : \(3-5=-2\notin\mathbb{N}\). De même, le quotient \(3\div 5\) n'est pas un entier naturel.

Pair, impair, multiple, diviseur

• Un entier naturel est pair s'il s'écrit \(2k\) avec \(k\in\mathbb{N}\) ; il est impair s'il s'écrit \(2k+1\).
• On dit que \(a\) est un multiple de \(b\) (ou que \(b\) divise \(a\)) s'il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(a=b\times k\). Exemple : \(12=3\times 4\), donc 3 et 4 divisent 12.
• Un entier naturel est premier s'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Exemples : \(2;\,3;\,5;\,7;\,11;\,13;\,17;\,19;\dots\) (Le nombre 1 n'est pas premier.)

Critères de divisibilité Un nombre est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 5 s'il se termine par 0 ou 5 ; par 3 (resp. 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (resp. 9) ; par 10 s'il se termine par 0.

1-2/ L'ensemble \(\mathbb{Z}\) (nombres entiers relatifs)

Définition L'ensemble des entiers relatifs est noté \(\mathbb{Z}\) : \[\mathbb{Z}=\{\dots;\,-3;\,-2;\,-1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,\dots\}\] On note \(\mathbb{Z}^{+}=\mathbb{N}\) (entiers positifs ou nuls), \(\mathbb{Z}^{-}=\{\dots;-3;-2;-1;0\}\) (entiers négatifs ou nuls) et \(\mathbb{Z}^{*}=\mathbb{Z}\setminus\{0\}\).

Tout entier relatif \(a\) possède un opposé noté \(-a\), avec \(a+(-a)=0\). Par exemple l'opposé de \(7\) est \(-7\) et l'opposé de \(-4\) est \(4\).

Propriétés

• Tout entier naturel est un entier relatif : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\) (lire « \(\mathbb{N}\) est inclus dans \(\mathbb{Z}\) »).
• La somme, la différence et le produit de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.
• Le quotient de deux entiers relatifs n'est pas toujours un entier relatif : \(\dfrac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\).

Rappel : règle des signes \[(+)\times(+)=+\qquad (-)\times(-)=+\qquad (+)\times(-)=-\qquad (-)\times(+)=-\] Exemples : \((-4)\times(-3)=12\) ; \((-5)\times 2=-10\) ; \(-8-(-3)=-8+3=-5\).

1-3/ L'ensemble \(\mathbb{D}\) (nombres décimaux)

Définition Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme \[\frac{a}{10^{n}}\qquad\text{avec } a\in\mathbb{Z}\text{ et } n\in\mathbb{N}.\] L'ensemble des nombres décimaux est noté \(\mathbb{D}\). Un nombre décimal a une écriture décimale finie (un nombre fini de chiffres après la virgule).

Exemples

• \(0{,}25=\dfrac{25}{100}=\dfrac{25}{10^{2}}\in\mathbb{D}\)
• \(-3{,}7=\dfrac{-37}{10}\in\mathbb{D}\)
• \(5=\dfrac{5}{10^{0}}\in\mathbb{D}\) : tout entier est décimal.
• \(\dfrac{3}{8}=0{,}375=\dfrac{375}{1000}\in\mathbb{D}\)
• \(\dfrac13=0{,}3333\dots\notin\mathbb{D}\) : l'écriture ne s'arrête jamais.

Propriétés

• \(\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\) (donc \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\)).
• La somme, la différence et le produit de deux décimaux sont des décimaux.
• Une fraction irréductible \(\dfrac{a}{b}\) (avec \(b>0\)) est un nombre décimal si et seulement si le dénominateur \(b\) ne contient, dans sa décomposition en facteurs premiers, que les facteurs 2 et/ou 5.

Application \(\dfrac{7}{40}\) : \(40=2^{3}\times 5\) donc \(\dfrac{7}{40}\in\mathbb{D}\). En effet \(\dfrac{7}{40}=0{,}175\).
\(\dfrac{11}{12}\) : \(12=2^{2}\times 3\) contient le facteur 3 donc \(\dfrac{11}{12}\notin\mathbb{D}\).

1-4/ L'ensemble \(\mathbb{Q}\) (nombres rationnels)

Définition Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient \[\frac{a}{b}\qquad\text{avec } a\in\mathbb{Z}\text{ et } b\in\mathbb{Z}^{*}.\] L'ensemble des nombres rationnels est noté \(\mathbb{Q}\).

Exemples \(\dfrac{2}{3}\in\mathbb{Q}\) ; \(-\dfrac{5}{7}\in\mathbb{Q}\) ; \(0{,}4=\dfrac{4}{10}=\dfrac25\in\mathbb{Q}\) ; \(6=\dfrac{6}{1}\in\mathbb{Q}\) ; \(1{,}\overline{3}=\dfrac{4}{3}\in\mathbb{Q}\).

Propriétés

• \(\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\). On a donc \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\).
• La somme, la différence, le produit et le quotient (par un nombre non nul) de deux rationnels sont des rationnels.
• Tout nombre rationnel admet une écriture décimale finie (s'il est décimal) ou infinie périodique.

Écriture décimale périodique

Quand on divise 1 par 3, on obtient \(0{,}333\dots\) ; on écrit \(0{,}\overline{3}\). Le chiffre 3 se répète indéfiniment : c'est la période. De même \(\dfrac{1}{7}=0{,}\overline{142857}\) (période de 6 chiffres) et \(\dfrac{5}{6}=0{,}8\overline{3}\).

Méthode : transformer une écriture périodique en fraction Écrire \(x=0{,}\overline{27}=0{,}272727\dots\) sous forme de fraction.
La période a 2 chiffres : on multiplie par \(10^{2}=100\). \[100x=27{,}272727\dots\quad\text{et}\quad x=0{,}272727\dots\] On soustrait membre à membre : \(99x=27\), donc \(x=\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}\).

Fraction irréductible et comparaison

• Une fraction \(\dfrac{a}{b}\) est irréductible si \(a\) et \(b\) n'ont pas d'autre diviseur commun que 1. Pour l'obtenir, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD : \(\dfrac{18}{24}=\dfrac{18\div 6}{24\div 6}=\dfrac{3}{4}\).
• Pour comparer deux fractions, on les met au même dénominateur : \(\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{3}{5}\) : \(\dfrac{10}{15}\) et \(\dfrac{9}{15}\), donc \(\dfrac{2}{3}>\dfrac{3}{5}\).

1-5/ L'ensemble \(\mathbb{R}\) (nombres réels)

Définition Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels : on les appelle nombres irrationnels. Les nombres rationnels et les nombres irrationnels forment ensemble l'ensemble des nombres réels, noté \(\mathbb{R}\). Un nombre irrationnel a une écriture décimale infinie non périodique.

Exemples de nombres irrationnels \(\sqrt{2}\approx 1{,}41421356\dots\) ; \(\sqrt{3}\approx1{,}7320508\dots\) ; \(\pi\approx 3{,}14159265\dots\) ; \(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}618\dots\) (le nombre d'or).
Attention : \(\sqrt{9}=3\) et \(\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac12\) sont rationnels.

Théorème : \(\sqrt{2}\) est irrationnel Démonstration (par l'absurde). Supposons que \(\sqrt2=\dfrac{p}{q}\) avec \(p,q\in\mathbb{N}^{*}\) et la fraction irréductible.
Alors \(2=\dfrac{p^{2}}{q^{2}}\), soit \(p^{2}=2q^{2}\). Donc \(p^{2}\) est pair, donc \(p\) est pair : \(p=2k\).
On obtient \(4k^{2}=2q^{2}\), soit \(q^{2}=2k^{2}\). Donc \(q^{2}\) est pair, donc \(q\) est pair.
Ainsi \(p\) et \(q\) sont tous les deux pairs : la fraction n'est pas irréductible. Contradiction. Donc \(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\). \(\blacksquare\)

La droite numérique

À chaque point d'une droite graduée correspond un unique nombre réel, et réciproquement : c'est pourquoi on parle de droite réelle. Elle contient tous les entiers, tous les décimaux, tous les rationnels et tous les irrationnels.

Résumé des inclusions

\[\boxed{\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}}\]

Nombre	\(\mathbb{N}\)	\(\mathbb{Z}\)	\(\mathbb{D}\)	\(\mathbb{Q}\)	\(\mathbb{R}\)
\(7\)	oui	oui	oui	oui	oui
\(-4\)	non	oui	oui	oui	oui
\(1{,}25\)	non	non	oui	oui	oui
\(\dfrac{1}{3}\)	non	non	non	oui	oui
\(\sqrt{2}\)	non	non	non	non	oui
\(\pi\)	non	non	non	non	oui

Les intervalles de \(\mathbb{R}\)

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a\lt b\).

Intervalle	Ensemble des réels \(x\) tels que	Nom
\([a\,;\,b]\)	\(a\le x\le b\)	fermé
\(]a\,;\,b[\)	\(a\lt x\lt b\)	ouvert
\([a\,;\,b[\)	\(a\le x\lt b\)	semi-ouvert
\(]a\,;\,b]\)	\(a\lt x\le b\)	semi-ouvert
\([a\,;\,+\infty[\)	\(x\ge a\)	non borné
\(]-\infty\,;\,b[\)	\(x\lt b\)	non borné

Exemple Soit \(A=[-2\,;\,3]\) et \(B=]1\,;\,5[\). Alors \(A\cap B=]1\,;\,3]\) (éléments communs) et \(A\cup B=[-2\,;\,5[\) (tous les éléments).

Attention Le crochet est tourné vers l'intérieur quand la borne est incluse, et vers l'extérieur quand elle est exclue. L'infini \(\pm\infty\) n'est jamais inclus : le crochet est toujours ouvert en \(\pm\infty\).

II- Règles de calculs

2-1/ Les fractions

Règles de calcul (avec \(b,\,d,\,c\ne 0\))

• Simplification : \(\dfrac{a\times k}{b\times k}=\dfrac{a}{b}\) pour \(k\neq0\).
• Addition / soustraction (même dénominateur) : \(\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{b}=\dfrac{a\pm c}{b}\).
• Addition / soustraction (dénominateurs différents) : \(\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}\) (ou on utilise le plus petit dénominateur commun).
• Multiplication : \(\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\).
• Inverse : l'inverse de \(\dfrac{a}{b}\) (avec \(a\neq0\)) est \(\dfrac{b}{a}\).
• Division : \(\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc}\) (avec \(c\ne0\)).
• Puissance : \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}\).
• Signe : \(-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}\).
• Égalité : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff ad=bc\) (produit en croix).

Exemples résolus (1) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac56=\dfrac{3}{6}+\dfrac{4}{6}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac13\).

(2) \(\dfrac{3}{4}\div\dfrac{9}{8}=\dfrac34\times\dfrac89=\dfrac{24}{36}=\dfrac23\).

(3) \(\dfrac{\frac{2}{3}-\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}=\dfrac{\frac{5}{12}}{\frac{2}{3}}=\dfrac{5}{12}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{24}=\dfrac{5}{8}\).

Erreurs classiques à éviter \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\neq\dfrac{a+c}{b+d}\) ; par exemple \(\dfrac12+\dfrac13=\dfrac56\) et non \(\dfrac25\).
On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes d'une somme : \(\dfrac{2+x}{2}\neq 1+x\).

2-2/ Les racines carrées

Définition Soit \(a\) un réel positif ou nul. La racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est l'unique nombre positif dont le carré est \(a\) : \[\sqrt{a}\ge 0\quad\text{et}\quad\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a.\]

Exemples \(\sqrt{49}=7\) ; \(\sqrt{0}=0\) ; \(\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}\) ; \(\sqrt{-4}\) n'existe pas dans \(\mathbb{R}\) (un carré n'est jamais négatif).

Propriétés (pour \(a\ge0\) et \(b\ge0\)) \[\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\qquad \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ \ (b>0)\] \[\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a\qquad \sqrt{a^{2}}=|a|\ \ \text{(pour tout réel } a)\] \[\text{Si } a\ge0,\ b\ge0 :\quad a\le b\iff\sqrt{a}\le\sqrt{b}\]

Attention \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\). Exemple : \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) alors que \(\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7\).
De même \(\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt9=3=|-3|\) et non \(-3\).

Simplifier une racine carrée

Méthode On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine. \[\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt2\qquad \sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2\qquad \sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt3\] Pour additionner des racines, on les rend semblables : \[\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}=5\sqrt2-3\sqrt2+2\sqrt2=4\sqrt2.\]

Rendre rationnel le dénominateur

Méthode

• Cas \(\dfrac{a}{\sqrt{b}}\) : on multiplie en haut et en bas par \(\sqrt b\) : \[\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{\sqrt5\times\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}.\]
• Cas \(\dfrac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\) : on multiplie par la quantité conjuguée \(\sqrt b+\sqrt c\) et on utilise \((x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}\) : \[\frac{4}{\sqrt7-\sqrt3}=\frac{4(\sqrt7+\sqrt3)}{(\sqrt7)^{2}-(\sqrt3)^{2}}=\frac{4(\sqrt7+\sqrt3)}{4}=\sqrt7+\sqrt3.\]

Comparer deux nombres avec des racines

Méthode Pour comparer deux nombres positifs, on compare leurs carrés. Exemple : \(3\sqrt2\) et \(2\sqrt3\). \((3\sqrt2)^{2}=18\) et \((2\sqrt3)^{2}=12\). Comme \(18>12\) et que les deux nombres sont positifs, \(3\sqrt2>2\sqrt3\).

2-3/ Les identités remarquables

Identités remarquables (pour tous réels \(a\) et \(b\)) \[(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\] \[(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\] \[(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\] Et aussi, pour aller plus loin : \[(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\qquad (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\] \[a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\qquad a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\]

Développer

Exemples \((2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9\)
\((x-5)(x+5)=x^{2}-25\)
\((2\sqrt3-1)^{2}=12-4\sqrt3+1=13-4\sqrt3\)
\((x-2)^{3}=x^{3}-6x^{2}+12x-8\)

Factoriser

Méthode On lit les identités « de droite à gauche » : \[9x^{2}-16=(3x)^{2}-4^{2}=(3x-4)(3x+4)\] \[x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}\qquad 4x^{2}-12x+9=(2x-3)^{2}\] On peut aussi factoriser avec un facteur commun : \(6x^{2}+9x=3x(2x+3)\).

Calcul mental astucieux

Exemples \(101^{2}=(100+1)^{2}=10000+200+1=10201\)
\(99^{2}=(100-1)^{2}=10000-200+1=9801\)
\(99\times101=(100-1)(100+1)=10000-1=9999\)

2-4/ Les puissances de 10

Définition Pour \(n\in\mathbb{N}^{*}\) : \[10^{n}=\underbrace{10\times10\times\cdots\times10}_{n\text{ facteurs}}=1\underbrace{00\dots0}_{n\text{ zéros}}\qquad 10^{0}=1\qquad 10^{-n}=\frac{1}{10^{n}}=0{,}\underbrace{0\dots0}_{n-1\text{ zéros}}1\] Exemples : \(10^{3}=1000\) ; \(10^{-2}=\dfrac{1}{100}=0{,}01\) ; \(10^{-4}=0{,}0001\).

Règles de calcul (pour \(a\) et \(b\) non nuls, \(m\) et \(n\) entiers relatifs) \[a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\qquad (a^{m})^{n}=a^{m\times n}\] \[(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}\qquad \left(\frac ab\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\qquad a^{0}=1\] Ces règles s'appliquent en particulier à \(a=10\) : \(10^{5}\times10^{-2}=10^{3}\) ; \(\dfrac{10^{4}}{10^{7}}=10^{-3}\) ; \((10^{-3})^{2}=10^{-6}\).

Exemple résolu \[A=\frac{10^{5}\times10^{-2}}{10^{4}}=\frac{10^{3}}{10^{4}}=10^{-1}=0{,}1.\]

Multiplier / diviser par une puissance de 10 Multiplier par \(10^{n}\) décale la virgule de \(n\) rangs vers la droite ; multiplier par \(10^{-n}\) (ou diviser par \(10^{n}\)) la décale de \(n\) rangs vers la gauche.
\(3{,}27\times10^{2}=327\) ; \(45\times10^{-3}=0{,}045\).

Préfixe	Symbole	Puissance de 10
giga	G	\(10^{9}\)
méga	M	\(10^{6}\)
kilo	k	\(10^{3}\)
milli	m	\(10^{-3}\)
micro	µ	\(10^{-6}\)
nano	n	\(10^{-9}\)

2-5/ L'écriture scientifique

Définition L'écriture scientifique d'un nombre décimal positif \(x\) est son écriture sous la forme \[x=a\times10^{n}\qquad\text{avec } 1\le a\lt 10\ \text{ et } n\in\mathbb{Z}.\] (\(a\) a donc un seul chiffre non nul avant la virgule.)

Exemples \(45\,000\,000=4{,}5\times10^{7}\)
\(0{,}00032=3{,}2\times10^{-4}\)
\(752{,}6=7{,}526\times10^{2}\)
\(0{,}8=8\times10^{-1}\)

Méthode

1. Déplacer la virgule pour obtenir un nombre \(a\) compris entre 1 et 10 (exclu).
2. Compter le nombre de rangs \(n\) dont on a déplacé la virgule.
3. Si on a déplacé la virgule vers la gauche, l'exposant est positif ; vers la droite, il est négatif.

Attention : \(12\times10^{5}\) n'est pas une écriture scientifique (car \(12\ge10\)) : on écrit \(1{,}2\times10^{6}\).

Calculs avec l'écriture scientifique \[C=\frac{6\times10^{5}\times3\times10^{-3}}{9\times10^{-2}}=\frac{18\times10^{2}}{9\times10^{-2}}=2\times10^{4}=20\,000.\] \[D=3\times10^{4}+5\times10^{3}=30\times10^{3}+5\times10^{3}=35\times10^{3}=3{,}5\times10^{4}.\] Pour une somme, on commence par mettre les deux termes à la même puissance de 10.

Ordre de grandeur Dans les sciences, on utilise l'écriture scientifique : la vitesse de la lumière vaut environ \(3\times10^{8}\) m/s ; le diamètre d'un atome est de l'ordre de \(10^{-10}\) m.

Résumé du chapitre

• \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).
• \(\mathbb{D}\) : nombres de la forme \(\dfrac{a}{10^{n}}\). \(\mathbb{Q}\) : nombres de la forme \(\dfrac ab\) avec \(b\neq0\). Les irrationnels (\(\sqrt2\), \(\pi\)…) sont réels mais pas rationnels.
• \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\), \(\sqrt{a^{2}}=|a|\), mais \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\).
• \((a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}\) et \((a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\).
• \(a^{m}a^{n}=a^{m+n}\), \(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\), \((a^{m})^{n}=a^{mn}\), \(a^{-n}=\dfrac1{a^{n}}\).
• Écriture scientifique : \(a\times10^{n}\) avec \(1\le a\lt 10\).

III- Exercices (avec corrigés)

Essaie de chercher chaque exercice seul avant de cliquer sur « Voir le corrigé ».

Exercice 1 : Appartenance

Compléter par \(\in\) ou \(\notin\) :
\(-3\ \dots\ \mathbb{N}\) ; \(\ -3\ \dots\ \mathbb{Z}\) ; \(\ 0{,}5\ \dots\ \mathbb{D}\) ; \(\ \dfrac13\ \dots\ \mathbb{D}\) ; \(\ \dfrac13\ \dots\ \mathbb{Q}\) ; \(\ \sqrt{9}\ \dots\ \mathbb{N}\) ; \(\ \sqrt{2}\ \dots\ \mathbb{Q}\) ; \(\ \pi\ \dots\ \mathbb{R}\).

Voir le corrigé

\(-3\notin\mathbb{N}\) ; \(-3\in\mathbb{Z}\) ; \(0{,}5\in\mathbb{D}\) ; \(\dfrac13\notin\mathbb{D}\) ; \(\dfrac13\in\mathbb{Q}\) ; \(\sqrt9=3\in\mathbb{N}\) ; \(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\) ; \(\pi\in\mathbb{R}\).

Exercice 2 : Nombres décimaux

Les nombres suivants sont-ils décimaux ? Justifier. \(\ \dfrac{7}{40}\ ;\ \dfrac{11}{12}\ ;\ \dfrac{9}{125}\ ;\ \dfrac{5}{6}\).

Voir le corrigé

\(40=2^{3}\times5\) : \(\dfrac{7}{40}\) est décimal (\(=0{,}175\)).
\(12=2^{2}\times3\) : \(\dfrac{11}{12}\) n'est pas décimal (facteur 3).
\(125=5^{3}\) : \(\dfrac{9}{125}\) est décimal (\(=0{,}072\)).
\(6=2\times3\) : \(\dfrac56\) n'est pas décimal (\(0{,}8\overline{3}\)).

Exercice 3 : Écriture périodique

Écrire sous forme de fraction irréductible : \(x=0{,}\overline{6}\) et \(y=0{,}\overline{18}\).

Voir le corrigé

\(10x=6{,}\overline{6}\), donc \(10x-x=6\), \(9x=6\), \(x=\dfrac69=\dfrac23\).
\(100y=18{,}\overline{18}\), donc \(99y=18\), \(y=\dfrac{18}{99}=\dfrac{2}{11}\).

Exercice 4 : Fractions

Calculer et simplifier : \(\ A=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{3}\ ;\quad B=\dfrac{5}{12}\times\dfrac{18}{25}\ ;\quad C=\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{\frac{5}{4}}\).

Voir le corrigé

\(A=\dfrac{9}{12}-\dfrac{10}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac14\).
\(B=\dfrac{5\times18}{12\times25}=\dfrac{90}{300}=\dfrac{3}{10}\).
\(C=\dfrac{\frac56}{\frac54}=\dfrac56\times\dfrac45=\dfrac{20}{30}=\dfrac23\).

Exercice 5 : Racines carrées

1) Simplifier : \(\sqrt{98}\) ; \(\ \sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}\).
2) Rendre le dénominateur rationnel : \(\dfrac{6}{\sqrt3}\) ; \(\ \dfrac{2}{\sqrt5-\sqrt3}\).
3) Comparer \(5\sqrt2\) et \(7\).

Voir le corrigé

1) \(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt2\).
\(\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}=2\sqrt3+3\sqrt3-5\sqrt3=0\).
2) \(\dfrac{6}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3\).
\(\dfrac{2}{\sqrt5-\sqrt3}=\dfrac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{5-3}=\sqrt5+\sqrt3\).
3) \((5\sqrt2)^{2}=50\) et \(7^{2}=49\). Comme \(50>49\) (nombres positifs), \(5\sqrt2>7\).

Exercice 6 : Identités remarquables

1) Développer : \((3x-2)^{2}\) ; \(\ (x+4)(x-4)\) ; \(\ (\sqrt5+\sqrt2)^{2}\).
2) Factoriser : \(x^{2}-49\) ; \(\ 25x^{2}+20x+4\) ; \(\ (2x+1)^{2}-9\).
3) Calculer astucieusement : \(102^{2}\) et \(98\times102\).

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1) \((3x-2)^{2}=9x^{2}-12x+4\) ; \((x+4)(x-4)=x^{2}-16\) ; \((\sqrt5+\sqrt2)^{2}=5+2\sqrt{10}+2=7+2\sqrt{10}\).
2) \(x^{2}-49=(x-7)(x+7)\) ; \(25x^{2}+20x+4=(5x+2)^{2}\) ; \((2x+1)^{2}-9=(2x+1-3)(2x+1+3)=(2x-2)(2x+4)=4(x-1)(x+2)\).
3) \(102^{2}=(100+2)^{2}=10000+400+4=10404\) ; \(98\times102=(100-2)(100+2)=10000-4=9996\).

Exercice 7 : Puissances de 10

Calculer et donner le résultat sous forme d'une puissance de 10 :
\(A=\dfrac{10^{7}\times10^{-3}}{10^{2}}\) ; \(\quad B=\dfrac{(10^{-2})^{3}\times10^{5}}{10^{-4}}\).

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\(A=\dfrac{10^{4}}{10^{2}}=10^{2}\).
\(B=\dfrac{10^{-6}\times10^{5}}{10^{-4}}=\dfrac{10^{-1}}{10^{-4}}=10^{-1-(-4)}=10^{3}\).

Exercice 8 : Écriture scientifique

1) Donner l'écriture scientifique de : \(123\,000\,000\) ; \(\ 0{,}00057\) ; \(\ 48{,}2\times10^{5}\).
2) Calculer et donner l'écriture scientifique : \(\ E=\dfrac{4\times10^{-3}\times 15\times10^{6}}{3\times10^{2}}\).

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1) \(123\,000\,000=1{,}23\times10^{8}\) ; \(0{,}00057=5{,}7\times10^{-4}\) ; \(48{,}2\times10^{5}=4{,}82\times10^{6}\).
2) \(E=\dfrac{60\times10^{3}}{3\times10^{2}}=20\times10^{1}=200=2\times10^{2}\).

Exercice 9 : Raisonnement

Montrer que \(1+\sqrt{2}\) est un nombre irrationnel (on admet que \(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\)).

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Raisonnons par l'absurde. Supposons que \(r=1+\sqrt2\) soit rationnel. Alors \(\sqrt2=r-1\). Or la différence de deux rationnels est un rationnel, donc \(\sqrt2\in\mathbb{Q}\) : c'est faux. Donc \(1+\sqrt2\notin\mathbb{Q}\).

Exercice 10 : Intervalles

Soit \(A=[-3\,;\,2]\) et \(B=]0\,;\,6]\). Déterminer \(A\cap B\) et \(A\cup B\).

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\(A\cap B=]0\,;\,2]\) et \(A\cup B=[-3\,;\,6]\).

Exercice 11 : Problème

La lumière met environ \(8\) minutes et \(20\) secondes pour aller du Soleil à la Terre. Sa vitesse est \(3\times10^{8}\) m/s. Calculer la distance Terre-Soleil en mètres, en écriture scientifique.

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Durée : \(8\times60+20=500\) s \(=5\times10^{2}\) s.
Distance \(=3\times10^{8}\times5\times10^{2}=15\times10^{10}=1{,}5\times10^{11}\) m (soit environ 150 millions de km).

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