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Exercices:Inclusion - égalité :de deux ensembles

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(0)
1)     \bg_white A=\left \{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{xy}= \frac{1}{2}/\left ( x,y \right ) \in \left ( \mathbb{N}^{*} \right )^{2}\right \} 
pour montrer que  A ≠ ∅  il faut résoudre l'équation: \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{xy}= \frac{1}{2} 
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{xy}= \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}-\frac{1}{xy}=\frac{1}{2}\ \Leftrightarrow \frac{x+y-1}{xy}=\frac{1}{2}\\ \\ 2x+2y-2=xy\Leftrightarrow 2x+2y-xy=2\\ \\ 2x+2y-xy =2x+2y-xy+4-4=x(2-y)+2(y-2)+4\\ \\ =x(2-y)+2(-(2-y))+4= (2-y)(x-2)+4\ d'o\grave{u}\ \\ \\ 2x+2y-xy=2\Leftrightarrow (2-y)(x-2)+4=2\Leftrightarrow (2-y)(x-2)=-2\ donc\ la\ solution\ est: \\ {\color{Red} S_{1}}\begin{cases} x-2=-2 \\ -y+2=1\end{cases} \ \ o\grave{u}\ {\color{Red} S_{2}} \begin{cases} x-2=2 \\ -y+2=-1\end{cases}\ o\grave{u}\ {\color{Red} S_{3}} \begin{cases} x-2=1 \\ -y+2=-2\end{cases}\ o\grave{u}\ {\color{Red} S_{4}}\begin{cases} x-2=-1\\ -y+2=2\end{cases}

{\color{Red} S_{1}}\begin{cases} x=0 \\ y=1\end{cases} \ \ o\grave{u}\ {\color{Red} S_{2}} \begin{cases} x=4 \\ y=3\end{cases}\ o\grave{u}\ {\color{Red} S_{3}} \begin{cases} x=3 \\y=4\end{cases}\ o\grave{u}\ {\color{Red} S_{4}}\begin{cases} x=1\\ y=0\end{cases}
{\color{Red} S_{1}}\ et\ \color{Red} S_{4}  éliminer car (x,y)\in \left (\mathbb{N}^{*} \right )^{2} alors la solution est \bg_white {\color{blue} S_{A}}=\left \{ \left (3,4 \right ) \right \} ce qui montre que A ≠ ∅   et de plus \frac{1}{2}\in A
2)Montrons que A⊂ [0 ,1] donc  montrons que 0\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{xy}\leq 1
0\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{xy}\leq 1\Rightarrow 0\leq \frac{x+y-1}{xy}\leq 1
on a  x ≥ 1 et y ≥ 1  alors : x +  y ≥ 2    et  x + y - 1 ≥ 1 > 0  et    x y  ≥ 1  ce qui montre que :\frac{x+y-1}{xy}\geq 0(1)

 ensuite montrons que \frac{x+y-1}{xy}\leq 1
\frac{x+y-1}{xy}\leq 1\Rightarrow 0\leq 1-\frac{x+y-1}{xy}\\ \\ \Rightarrow 0\leq \frac{xy-x-y+1}{xy}\Rightarrow 0\leq \frac{x(y-1)-(y-1)}{xy}\\ \\ \Rightarrow 0\leq \frac{(y-1)(x-1)}{xy}
On a :  x - 1 ≥   et  y  - 1≥0  donc (x - 1)(y  - 1) ≥ 0 et aussi x ≥0 et y ≥ donc x y≥0  alors
\frac{(y-1)(x-1)}{xy}\geq 0 \ or\\ \\ \ \frac{(y-1)(x-1)}{xy}= 1-\frac{x+y-1}{xy}\geq 0 \ donc \ -\frac{x+y-1}{xy}\geq-1\\ \\ par suite\ \frac{x+y-1}{xy}\leq 1\ {\color{Red} (2)}
de (1) et (2) en déduit que  :0\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{xy}\leq 1  alors  A ⊂ [0 ,1]

 3) Est ce que [0 ,1]⊂  A?
 Par hypothèse  0 ∈ [0 ,1] et 0∉ A
supposant que :0 ∈ A  c'est à dire existe  (x,y)\in \left (\mathbb{N}^{*} \right )^{2}  tel que :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{xy}=0
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{xy}=0\Leftrightarrow \frac{x+y-1}{xy}=0\Leftrightarrow x+y-1=0\\ \\\Leftrightarrow x+y=1\\ \\ \begin{cases} x\in \mathbb{N}^{*}\Rightarrow x\geq 1\\ y\in \mathbb{N}^{*}\Rightarrow y\geq 1\end{cases} \ donc\ \ x+y\geq 2\geq 1
contradiction    alors 0∉ A  et [0 ,1]⊄ A

 4)E=\left \{ x\in \mathbb{R}/\frac{3x-2}{x+2}< 1 \right \}\ et\ F=\left\{ x\in \mathbb{R}/\left | x \right |< 2 \right \} montrons que E=F
si  x∈ ℝ   on a :
\frac{3x-2}{x+2}< 1\Leftrightarrow \frac{3x-2}{x+2}-1< 0\\ \\ \Leftrightarrow \frac{3x-2-x-2}{x+2}< 0\Leftrightarrow \frac{2x-4}{x+2}< 0\\ \\ \Leftrightarrow \frac{2(x-2)}{x+2}< 0
d' après le tableau de variation 
 \frac{2(x-2)}{x+2}< 0 si et seulement si   - 2 < x < 2  ⇔  \left | x \right |< 2  d' où \left \{ x\in \mathbb{R}/\frac{3x-2}{x+2}< 1 \right \}\ =\left\{ x\in \mathbb{R}/\left | x \right |< 2 \right \}  c'est à dire E =F

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