1)Repère du plan
Définition :
Soient O, I et J trois points non alignés du plan, on pose →i=→OI et→j=→OJ (→OI et →OJ ne sont pas colinéaires) le triplet (O;→i;→j)est appelé repère du plan
(O;→i;→j)repère orthogonal si : la droite (O I) est perpendiculaire à la droite (O J) ((O I) ⊥(O J))
(O;→i;→j) repère orthonormé si : (O I) ⊥ (O J) et O I= O J (‖→i‖=‖→j‖)
la droite ( O I) c'est l axe des abscisses
la droite (O J ) c'est l 'axe des ordonnées
2) Coordonnées d’un point,coordonnées d’un vecteur
Propriété :
Soit (O;→i;→j) repère du plan signifie que pour tout point M du plan il existe un couple (x ; y) ∈ ℝ² tel que →OM=x→i+y→j le couple (x; y) est appelé coordonnées de M (x abscisse de M et y ordonnée de M )

pour tout vecteur
il existe (x ; y) ∈ ℝ ² tel que
on note
(x ; y ) ou
le couple (x ; y ) est appelé coordonnées de 
a)Egalité de deux vecteurs
deux vecteurs sont égaux s'il ont la même direction , le même sens et même norme (
: x=x' et y= y')
b) les coordonnées d' un vecteur
les coordonnées d'un vecteur
les coordonnées du point M tel que 

les coordonnées d'un vecteur
c) les coordonnées d' un vecteur définie par deux point A et B
soient A( x ; y ) et B ( x' ; y') deux points du plan les coordonnées du vecteur
sont (x' - x ; y' - y)
Exemple:
Soit
repère du plan on donne les points: A( 2 ; -2) , B( -6 ; -4) , C(10; 6 )et D ( 2 ; 4) calculer les coordonnées des vecteurs
et
que peut -on déduire
Coordonnées de
:
=( -6 -2 ; -4 - (-2) ) = (-8 ; -2 )
Coordonnées de
:
= ( 2- 10 ; 4 - 6 ) = ( -8 ; -2 )
les vecteurs
et
ont le même sens , mêmes coordonnées , (AB) // (CD) et AB= CD en déduit que
=
et le quadrilatère ABCD est un parallélogramme
d)Coordonnées : la somme de deux vecteurs , produit d'un vecteur par un réel
Soit
repère du plan , et soient
et
les coordonnées de vecteur
sont 
les coordonnées de vecteur
(k∈ ℝ ) sont 
Exemple:
soient deux vecteurs
et
calculer les coordonnées de
et 
(
)( 4 + (-3) ; 2 + 2) donc
( 1 ; 4 )
pour les coordonnées de (
) on a
donc (
)( -6 + 4 ; 4+2 ) = ( -2 ; 6 )
représentation des vecteur somme (
) et (
)
e) Coordonnées du milieu d'un segment:
Soient
deux points du plan et soit [ AB] segment formé par les deux point et I le milieu du segment [ AB] alors les coordonnées du point I sont données par la formule suivante : 
f) Distance entre deux point :
la distance entre le point A et le point B est donné par la règle suivante 
Exemple: soient A( 5 ;1 ) et B( 2 ; 4 ) et I milieu de segment [AB] dans un repère orthonormé
le calcul des coordonnées de I est : 
les coordonnées de I( 3,5 ; 2,5 )
Distance entre les points A et B est
la distance AB =4,242
3)changement de repère
Dans un repère
on considère les point A, B , C et D non alignés donc le triplet
définissent un autre repère
trouvant les coordonnées du point D dans le repère
c'est à dire écrire le vecteur
en fonction des vecteurs
et
alors le vecteur
= x
+ y
dans le repère
D( x ; y )
Exemple :
Si
= -3
+ 6
dans le repère
on a D( -3 ; 6 )
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