La droite dans le plan

1)Repère du plan

Définition :

Soient O, I et J trois points non alignés du plan, on pose $\vec{i}=\overrightarrow{OI}$ et $\vec{j}=\overrightarrow{OJ}$ ( $\overrightarrow{OI} \ et\ \overrightarrow{OJ}$ ne sont pas colinéaires) le triplet $(O;\vec{i};\vec{j})$ est appelé repère du plan

$(O;\vec{i};\vec{j})$ repère orthogonal si : la droite (O I) est perpendiculaire à la droite (O J) ((O I) ⊥(O J))

$(O;\vec{i};\vec{j})$ repère orthonormé si : (O I) ⊥ (O J) et O I= O J ( $\left\| \vec{i} \right\|=\left\| \vec{j} \right\|$ )

la droite ( O I) c'est l axe des abscisses

la droite (O J ) c'est l 'axe des ordonnées

2) Coordonnées d’un point,coordonnées d’un vecteur

Propriété :

Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ repère du plan signifie que pour tout point M du plan il existe un couple (x ; y) ∈ ℝ² tel que $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$ le couple (x; y) est appelé coordonnées de M (x abscisse de M et y ordonnée de M )

pour tout vecteur $\bg_white {\color{red} \overrightarrow{v}}$ il existe (x ; y) ∈ ℝ ² tel que $\small \bg_white {\color{red} \overrightarrow {v}=x \overrightarrow {i}+y \overrightarrow {j}}$ on note $\bg_white {\color{red} \overrightarrow{v}}$ (x ; y ) ou $\bg_white {\color{red} \overrightarrow{v} \binom{x}{y}}$ le couple (x ; y ) est appelé coordonnées de $\bg_white {\color{red} \overrightarrow{v}}$

a)Egalité de deux vecteurs

deux vecteurs sont égaux s'il ont la même direction , le même sens et même norme ( $\bg_white \overrightarrow {u}=\overrightarrow {v}$ : x=x' et y= y') b) les coordonnées d' un vecteur $\bg_white {\color{red} \overrightarrow{v}}$
les coordonnées d'un vecteur ${\color{Red} \overrightarrow{v}}$ les coordonnées du point M tel que $\bg_white {\color{red} \overrightarrow{v}}=\overrightarrow{OM}$

c) les coordonnées d' un vecteur définie par deux point A et B

soient A( x ; y ) et B ( x' ; y') deux points du plan les coordonnées du vecteur $\bg_white {\color{Blue} \overrightarrow{AB}}$ sont (x' - x ; y' - y)

Exemple:

Soit $\left (O,\overrightarrow {i}, \overrightarrow {j} \right )$ repère du plan on donne les points: A( 2 ; -2) , B( -6 ; -4) , C(10; 6 )et D ( 2 ; 4) calculer les coordonnées des vecteurs $\bg_white {\color{Blue} \overrightarrow{AB}}$ et $\bg_white {\color{Blue} \overrightarrow{CD}}$ que peut -on déduire

Coordonnées de $\bg_white {\color{Blue} \overrightarrow{AB}}$ : $\left (x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A} \right )$ =( -6 -2 ; -4 - (-2) ) = (-8 ; -2 )

Coordonnées de $\bg_white {\color{Blue} \overrightarrow{CD}}$ : $\left (x_{D}-x_{C};y_{D}-y_{C} \right )$ = ( 2- 10 ; 4 - 6 ) = ( -8 ; -2 )

les vecteurs $\bg_white {\color{Blue} \overrightarrow{AB}}$ et $\bg_white {\color{Blue} \overrightarrow{CD}}$ ont le même sens , mêmes coordonnées , (AB) // (CD) et AB= CD en déduit que $\bg_white {\color{Blue} \overrightarrow{AB}}$ = $\bg_white {\color{Blue} \overrightarrow{CD}}$ et le quadrilatère ABCD est un parallélogramme

d)Coordonnées : la somme de deux vecteurs , produit d'un vecteur par un réel

Soit $\left (O,\overrightarrow {i}, \overrightarrow {j} \right )$ repère du plan , et soient $\overrightarrow{u}(x_{u};y_{u})$ et $\overrightarrow{v}(x_{v};y_{v})$ les coordonnées de vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ sont $\left (x_{u}+x_{v};y_{u}+y_{v} \right )= (x_{w};y_{w})$

les coordonnées de vecteur $\overrightarrow{m}=k\times \overrightarrow{u}$ (k∈ ℝ ) sont $\left (k\times x_{u};k\times y_{u} \right )= (x_{m};y_{m})$

Exemple:

soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}(-3;2)$ et $\overrightarrow{v}(4;2)$ calculer les coordonnées de $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ et $2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}$

( $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ )( 4 + (-3) ; 2 + 2) donc $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ ( 1 ; 4 )

pour les coordonnées de ( $2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}$ ) on a $2\overrightarrow{u} (-6 ;4)$ donc ( $2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}$ )( -6 + 4 ; 4+2 ) = ( -2 ; 6 )

représentation des vecteur somme ( $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ ) et ( $2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}$ )

e) Coordonnées du milieu d'un segment:

Soient $A(x_{A};y _{A}) \ et \ B(x_{B};y_{B})$ deux points du plan et soit [ AB] segment formé par les deux point et I le milieu du segment [ AB] alors les coordonnées du point I sont données par la formule suivante : ${\color{Red} I \left (\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \right )}$

f) Distance entre deux point :

la distance entre le point A et le point B est donné par la règle suivante ${\color{Red} AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}$

Exemple: soient A( 5 ;1 ) et B( 2 ; 4 ) et I milieu de segment [AB] dans un repère orthonormé

le calcul des coordonnées de I est : $I \left (\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \right )= \left ( \frac{5+2}{2};\frac{1+4}{2} \right )=\left (\frac{7}{2} ;\frac{5}{2} \right )$

les coordonnées de I( 3,5 ; 2,5 )

Distance entre les points A et B est $AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}= \sqrt{(2-5)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+3^{2}}\\ =\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

la distance AB =4,242

3)changement de repère

Dans un repère $\left (O,\overrightarrow {i}, \overrightarrow {j} \right )$ on considère les point A, B , C et D non alignés donc le triplet $\left (A,\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC} \right )$ définissent un autre repère

trouvant les coordonnées du point D dans le repère $\left (A,\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC} \right )$ c'est à dire écrire le vecteur $\bg_white {\color{Blue} \overrightarrow{AD} }$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

alors le vecteur $\bg_white {\color{Blue} \overrightarrow{AD} }$ = x $\overrightarrow{AB}$ + y $\overrightarrow{AC}$ dans le repère $\left (A,\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC} \right )$ D( x ; y )

Exemple :

Si $\bg_white {\color{Blue} \overrightarrow{AD} }$ = -3 $\overrightarrow{AB}$ + 6 $\overrightarrow{AC}$ dans le repère $\left (A,\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC} \right )$ on a D( -3 ; 6 )

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