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Projection

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1- Projection d'un point sur une droite

Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes et soit A un point quelconque du plan. La projection sur la droite (D) selon la direction (Δ) transforme le point A en un point A' tel que :

• A' est sur une droite Δ' (AA') parallèle à (Δ)
• A' est sur la droite (D)
• Donc (D) et Δ' se rencontrent en un point unique A'
• Le point A' est la projection du point A sur la droite (D) parallèlement à Δ
• A' ∈ (D) est le projeté d'une infinité de points ; ces points représentent une droite Δ' (AA') parallèle à Δ
Projection d'un point
Exemple d'application : Exemple de projection
  • A' est le projeté du point A sur la droite (D) parallèlement à (Δ).
  • A' est le projeté des points A, M, N et P sur la droite (D) parallèlement à (Δ).
  • E est son propre projeté sur la droite (D) parallèlement à (Δ).
  • Le segment [A'B'] est le projeté du segment [AB] sur la droite (D) parallèlement à (Δ).
Remarque :
• Si le point A ∈ (D), alors il est son propre projeté.
• La projection ne change pas si l'on remplace (Δ) par une autre droite qui lui est parallèle.

2- Projection orthogonale sur une droite du plan

Définition :
Soient (D) et (Δ) deux droites perpendiculaires dans le plan.
Si A' est le projeté du point A sur la droite (D) parallèlement à (Δ), alors le point A' est appelé la projection orthogonale du point A sur la droite (D).

3- Théorème de Thalès : sens direct et sens réciproque

a) Théorème de Thalès : sens direct
soient (D) et (Δ) deux droites sécantes en point A sachant que les points A , B et C appartiennent à (D) et A , M , et N appartiennent à (Δ) et aussi (BM) // (CN) comme le montre la figure ci dessous: Schéma Thalès Dans les trois cas on a :
  • - les trois points A, B et C sont alignés
  • - les trois points A , M et N sont alignés
  • - les droites (B M) et (C N) sont parallèles :
    • et d' après le théorème du Thalles on a :
    Formule Thalès: \(\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}\)
    Ou sous forme vectorielle avec un rapport k unique
  • \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC} \)
  • \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AN}\)
  • \(\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{CN} \)
    •
    Exemple :
    Soit (ABC) un triangle et (IJ) // (BC).
    Si AJ = 6, AI = 12, AC = 34. Calculons la valeur de AB (x).

    Par hypothèse on (I J) // (B C) d' après le théorème direct du Thalès on a :\(\frac{AJ}{AB}=\frac{AI}{AC}\Rightarrow \frac{6}{x}=\frac{12}{34}\Rightarrow x=\frac{34\times 6}{12}=17\)
    Propriété 1 :
    Soient deux droites (D) et (Δ) sécantes en A.
    Soient B et C deux points de (D) différents de A.
    Soient M et N deux points de (Δ) différents de A.

    Si (BM) // (CN) alors :
    \frac{AC}{AB}=\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}
    Théorème de Thalès : projection directe
    Propriété 2 :
    Soient (D) et (K) deux droites sécantes, et (Δ) une droite sécante à (D) et (K).

    Soient A, B et C trois points appartenant à la droite (K).
    Si A', B' et C' sont les projections respectives de A, B et C sur la droite (D) parallèlement à (Δ), alors :
    \frac{AC}{AB}=\frac{A'C'}{A'B'}
    Schéma Propriété 2
    b) Théorème de Thalès : sens inverse (réciproque) Exemple :
    Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes en un point A tel que :
    • Les points A, B et M appartiennent à la droite (D).
    • Les points A, C et N appartiennent à la droite (Δ).
    Comme le montrent les figures suivantes :
    Figures Théorème inverse
    On remarque que dans les trois cas :
    Conditions du théorème de Thalès réciproque
    Alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
    Et par suite, il existe un réel \(k\) unique tel que :\(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AN}\) et \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\)(où \(k\) est le même nombre réel pour ces deux égalités).On en déduit donc que \((MN) \parallel (BC)\).
    Propriété 3:
    Soient deux droites (D) et (Δ) sécantes en A.
    Soient B et M deux points de (D) différents de A.
    Exemple :
    Soit ABC un triangle tel que (voir figure ci-dessous) :
    Schéma triangle ABC

    Les droites \((AD)\) et \((AE)\) se rencontrent en \(A\).
    Données : \(AD = 18\), \(AB = 6\), \(CE = 18\) et \(AE = 27\).

    Montrons que \((BC) \parallel (ED)\) :

    1. Par hypothèse, on a :
      • Les points \(A, B, D\) sont alignés.
      • Les points \(A, C, E\) sont alignés dans le même ordre.
    2. Calculons les rapports :
      D'abord, calculons \(AC\) :
      \(AC = AE - CE = 27 - 18 = 9\)

      On compare les rapports :
      \[ \frac{AD}{AB} = \frac{18}{6} = 3 \quad \text{et} \quad \frac{AE}{AC} = \frac{27}{9} = 3 \] Puisque \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \), d'après la réciproque du Théorème de Thalès, on en conclut que : \((BC) \parallel (ED)\).
    Remarque :
    Attention : Il faut toujours tenir compte de l'ordre de l'alignement des points sur une droite.

    Dans l'exemple suivant, bien que les rapports soient égaux :

    Contre-exemple Thalès
    \frac{AM}{AB}=\frac{MN}{MC}=\frac{1}{2}

    Mais (MN) et (BC) ne sont pas parallèles car l'ordre n'est pas respecté.

    4. Conservation du coefficient de colinéarité de deux vecteurs

    Rappel :

    On dit que deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction. Si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires, alors il existe un réel \(k\) tel que :

    \[ \overrightarrow{v} = k \cdot \overrightarrow{u} \]

    Vecteurs colinéaires u et v

    Dans la configuration de Thalès, si \((MN) \parallel (AB)\), alors il existe un réel \(k\) unique tel que :
    \[ \overrightarrow{MN} = k \cdot \overrightarrow{AB}\]

    Propriété 4 :
    Soient deux droites (D) et (Δ) sécantes en I.
    Soient \( \overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs tel que \(\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}\) ( soit \(\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{AB}\))
    Schéma colinéarité
    Si A', B', M' et N' sont les projections respectives de A, B, M et N sur (D) parallèlement à (Δ), alors :\(\overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{A'B'}\)

    Exemple d'application :

    Soit un triangle \(ABC\), \(M \in [BC]\) et \(N\) milieu du segment \([AC]\) tel que : \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \] et soit \(P\) le point de rencontre de la droite \((AC)\) et la parallèle à \((BN)\) qui passe par le point \(M\).

    Schéma triangle et projection

    Vérifions que : \( \overrightarrow{NC} = 3\overrightarrow{NP} \)

    1. Définition de la projection :
    Par hypothèse, on a \((PM) \parallel (NB)\).
    Donc les points \(N\), \(P\) et \(C\) sont les projections respectives des points \(B\), \(M\) et \(C\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à la droite \((NB)\).

    2. Conservation du coefficient :
    Puisque \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) (donc \(\overrightarrow{BC} = 3\overrightarrow{BM}\)) et que la projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs, alors :

    \[ \overrightarrow{NP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{NC} \]

    Par suite : \[ \overrightarrow{NC} = 3\overrightarrow{NP} \]

    Résumé : La Projection & Thalès

    Concept Définition / Condition Résultat
    1. Projection Projeter \(A\) sur \((D)\) selon \((\Delta)\) \(A' \in (D)\) et \((AA') \parallel (\Delta)\)
    2. Orthogonale Projection où \((\Delta) \perp (D)\) Le chemin le plus court de \(A\) à \((D)\)
    3. Thalès (Direct) Si \((BM) \parallel (CN)\) \( \displaystyle \frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AN} = \frac{BM}{CN} \)
    4. Réciproque Si rapports égaux + ordre respecté Les droites sont parallèles :
    \((MN) \parallel (BC)\)
    5. Colinéarité La projection conserve le rapport \(k\) Si \(\overrightarrow{MN} = k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{M'N'} = k\overrightarrow{A'B'}\)
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