Nombres Complexes
Partie I
Ensemble des nombres complexes
- \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)
- \(\mathbb{C}\) contient un nombre \(i\) tel que \(i^2 = -1\)
- Tous les éléments de \(\mathbb{C}\) s'écrivent sous la forme \(a + ib\) avec \(a \in \mathbb{R}\) et \(b \in \mathbb{R}\)
- L'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes est une extension de l'ensemble \(\mathbb{R}\) et les règles de calcul des quatre opérations \(+\;;\;-\;;\;\times\;;\;\div\) sont conservées
Exemples : \(2i\) ; \(5\) ; \(\sqrt{3}\) ; \(i\sqrt{5}\) ; \(\pi\) ; \(9\) sont des nombres complexes.
1-2 · Forme algébrique d'un nombre complexe
\(a\) : c'est la partie réelle de \(z\), notée \(\text{Re}(z)\)
\(b\) : c'est la partie imaginaire de \(z\), notée \(\text{Im}(z)\)
- \(z \in \mathbb{R}\) signifie que \(\text{Im}(z) = 0\)
- \(z \notin \mathbb{R}\) signifie que \(\text{Im}(z) \neq 0\)
- Si \(\text{Re}(z) = 0\) alors \(z = ib\) : on dit que \(z\) est un nombre imaginaire pur. L'ensemble des imaginaires purs est \(i\mathbb{R} = \{ib \mid b \in \mathbb{R}\}\)
- \(z \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow \text{Re}(z) = 0\) et \(i\mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \{0\}\)
Écrire les nombres complexes sous forme algébrique :
1) \( z_1 = (5 - 3i)(4 + 2i) \)
2) \( z_2 = (\sqrt{2} + i)^2 + (3 - 2i) \)
3) \( z_3 = \frac{2 + i}{3 - i} \)
4) \( z_4 = (1 + i)^3 + (2 - i)^3 \)
5) \( z_5 = i^n \quad (n \in \mathbb{N}^*) \)
Le conjugué et l'inverse d'un nombre complexe
- \(\forall\,(a\,;\,b) \in \mathbb{R}^2 : \quad a^2 + b^2 = (a + ib)(a - ib)\)
- L'opposé du nombre complexe \(z = a + ib\) est \(-z = -a - ib\), qui est différent de \(\bar{z}\)
Résultats directs et propriétés
Soient \(z\) et \(z_1\) deux nombres complexes.
Module d'un nombre complexe
5.1 · Définition
- \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) est un nombre réel positif
- Si \(z \in \mathbb{R}\) alors le module de \(z\) est la valeur absolue de \(z\)
Soit \(z = a + ib\) un nombre complexe et \(M\) son image dans un repère complexe. Le module de \(z\) est la distance \(OM\) :
5.2 · Propriétés
Soient \(z\) et \(z'\) deux complexes :
1) \( z' \neq 0 \quad \left| \frac{1}{z'} \right| = \frac{1}{|z'|} \)
2) \( z' \neq 0 \quad \left| \frac{z}{z'} \right| = \frac{|z|}{|z'|} \)
3) \( (\forall p \in \mathbb{Z}) \, (z \in \mathbb{C}^*) \, |z^p| = (|z|)^p \)
Distance entre deux points du plan complexe
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts d'affixes respectives \(z_A\) et \(z_B\) du plan complexe. La distance entre \(A\) et \(B\) est le module de \(z_B - z_A\) :
Soit \(M\) le point unique tel que \(\vec{OM} = \vec{AB}\). L'affixe du vecteur \(\vec{AB}\) est \(z_{\vec{AB}} = z_B - z_A\), ce qui correspond à l'affixe du point \(M\). Par définition du module et interprétation graphique :
$$AB = OM = |z_M| = |z_B - z_A| \qquad $$Exemple 1 : Soient \(z_A = 2 + 3i\) et \(z_B = -4 - i\). Calculer \(AB\) :
- \(z_B - z_A = (-4 - 2) + (-1 - 3)i = -6 - 4i\)
- \(AB = |-6 - 4i| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\)
Exemple 2 : Quelle est la distance entre le point \(A\) d'affixe \(z_A = 5 + 3i\) et le point \(B\) d'affixe \(z_B = -3 - i\) dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \((O;\,\vec{i};\,\vec{j})\) ?
Le point \(A\) a pour coordonnées \((5\,;\,3)\) et le point \(B\) a pour coordonnées \((-3\,;\,-1)\).
On a \(z_B - z_A = -8 - 4i\), donc :
Vérification par le Théorème de Pythagore :
On trace le triangle rectangle \(ABC\), puis on calcule l'hypoténuse \(AB\) :
Calcul de la distance AB avec \(z_A = 2+3i\) et \(z_B = -4-i\) :
Vérification : \(AB^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52\) \(\Rightarrow AB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\) ✓
L'ensemble \(\mathbb{U}\)
L'ensemble \(\mathbb{U}\) est l'ensemble des nombres complexes dont le module est égal à \(1\) :
7-1 · Propriétés
- \((\forall\, z \in \mathbb{U}) :\quad z \neq 0\)
- \((\forall\, z \in \mathbb{U}) :\quad \bar{z} = \dfrac{1}{z}\)
- \((\forall\, z \in \mathbb{U}) :\quad \bar{z} \in \mathbb{U} \quad\text{et}\quad (-z) \in \mathbb{U}\)
- \(\forall\,(z\,;\,z') \in \mathbb{U}^2 :\quad (z \times z') \in \mathbb{U}\)
- \(\forall\,(z\,;\,z') \in \mathbb{U}^2 :\quad \dfrac{z}{z'} \in \mathbb{U}\)
L'image de \(\mathbb{U}\) dans le plan complexe est un cercle trigonométrique (cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\)).
Soit \(M\) l'image du nombre complexe \(z\) dans le plan complexe. Par définition, la distance de l'origine \(O\) au point \(M\) est donnée par le module de \(z\). Si \(z \in \mathbb{U}\), alors :
$$OM = |z| = 1$$L'ensemble des points \(M\) vérifiant \(OM = 1\) décrit précisément le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\). \(\blacksquare\)
Forme trigonométrique d'un nombre complexe
8-1 · Argument d'un nombre complexe
\((\forall\, z \in \mathbb{U})\;(\exists\, \theta \in \mathbb{R}) :\quad z = \cos\theta + i\sin\theta\)
Le nombre réel \(\theta\) est appelé un argument du nombre complexe \(z\), on le note \(\arg(z)\).
\((\forall\, z \in \mathbb{C}^*)\;(\exists\, \theta' \in \mathbb{R}) :\)
L'écriture \(z = |z|(\cos\theta' + i\sin\theta')\) est la forme trigonométrique du nombre complexe \(z\). Le réel \(\theta'\) vérifie :
$$\theta' \equiv \arg\!\left(\frac{z}{|z|}\right) \pmod{2\pi}$$Soit le nombre complexe \(z = 1 + i\). Déterminons sa forme trigonométrique :
- Calcul du module : \(|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
- Écriture : \(z = \sqrt{2}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} + i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
- Forme trigonométrique : \(z = \sqrt{2}\!\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right) = \left[\sqrt{2}\;;\;\dfrac{\pi}{4}\right]\)
- Donc : \(\arg(1+i) \equiv \dfrac{\pi}{4} \pmod{2\pi}\)
L'argument du nombre complexe \(z\), associé au point \(M(z)\), correspond géométriquement à la mesure de l'angle orienté formé par le vecteur unitaire de l'axe des réels et le vecteur \(\vec{OM}\) :
Si \(\theta\) est un argument de \(z\), alors tout nombre de la forme \(\theta + 2k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\)) est également un argument de \(z\).
8-2 · Relation entre les coordonnées polaires et cartésiennes
Dans le plan muni d'un repère cartésien \((O;\,\vec{i};\,\vec{j})\), tout point \(M\) de coordonnées \((x\,;\,y)\) est déterminé par :
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct \((O;\,\vec{u};\,\vec{v})\), le point \(M\) est aussi repéré par ses coordonnées polaires \((r\,;\,\theta)\) :
- La longueur \(OM = r\) (\(r \geq 0\)) est la coordonnée radiale
- L'angle \(\theta\) est la coordonnée angulaire, mesuré par rapport à l'axe des abscisses \((Ox)\) : \(\theta \equiv (\vec{u}\;;\;\vec{OM}) \pmod{2\pi}\)
Les coordonnées polaires du point \(M\) sont : \((r\,;\,\theta)\).
Les composantes du vecteur position \(\vec{OM}\) dans sa base polaire sont : \((r\,;\,0)\).
Soit \(z \in \mathbb{C}^*\). Si \(z = x + iy\) avec \((x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2\) et \(\arg(z) \equiv \theta \pmod{2\pi}\), les relations de passage s'écrivent :
On en déduit la forme trigonométrique :
$$z = \sqrt{x^2+y^2}\,(\cos\theta + i\sin\theta)$$Soit \(z = x + iy\) non nul, de module \(r = \sqrt{x^2+y^2}\). On sait que \(\cos\theta = \dfrac{x}{r}\) et \(\sin\theta = \dfrac{y}{r}\).
Si \(x \neq 0\) : \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\). Puis :
- Cas 1 : Si \(x > 0\) (1er ou 4e quadrant) : \(\theta \equiv \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) \pmod{2\pi}\)
- Cas 2 : Si \(x < 0\) (2e ou 3e quadrant, ajouter \(\pi\)) : \(\theta \equiv \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi \pmod{2\pi}\)
- Cas 3 : Si \(x = 0\) (imaginaire pur) : \(\theta \equiv \begin{cases} \dfrac{\pi}{2} \pmod{2\pi} & \text{si } y > 0 \\[4pt] -\dfrac{\pi}{2} \pmod{2\pi} & \text{si } y < 0 \end{cases}\)
Exercices d'entraînement
Écrire sous forme algébrique \(a + ib\) :
a) \(z_1 = (2+3i)(1-2i)\) b) \(z_2 = \dfrac{3+i}{1-i}\) c) \(z_3 = (1+i)^4\) d) \(z_4 = i^{17}\)
Voir la solution
a) \((2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i^2=2-i+6=8-i\)
b) \(\dfrac{3+i}{1-i}=\dfrac{(3+i)(1+i)}{2}=\dfrac{3+3i+i-1}{2}=\dfrac{2+4i}{2}=1+2i\)
c) \((1+i)^2=2i\), donc \((1+i)^4=(2i)^2=4i^2=-4\)
d) \(17=4\times4+1\), donc \(i^{17}=i^1=i\)
Pour chaque complexe, donner \(\bar{z}\), \(|z|\) et \(z^{-1}\) :
a) \(z = 4-3i\) b) \(z = -2+5i\) c) \(z = 6i\) d) \(z = \sqrt{2}+i\sqrt{2}\)
Voir la solution
a) \(\bar{z}=4+3i\), \(|z|=5\), \(z^{-1}=\dfrac{4+3i}{25}=\dfrac{4}{25}+\dfrac{3}{25}i\)
b) \(\bar{z}=-2-5i\), \(|z|=\sqrt{29}\), \(z^{-1}=\dfrac{-2-5i}{29}\)
c) \(\bar{z}=-6i\), \(|z|=6\), \(z^{-1}=\dfrac{-6i}{36}=-\dfrac{i}{6}\)
d) \(\bar{z}=\sqrt{2}-i\sqrt{2}\), \(|z|=2\), \(z^{-1}=\dfrac{\sqrt{2}-i\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}i\)
Calculer les distances :
a) \(A(z_A=1+2i)\) et \(B(z_B=4-2i)\)
b) \(P(z_P=-3+i)\) et \(Q(z_Q=2-4i)\)
c) \(O\) (origine) et \(M(z_M=5+12i)\)
Voir la solution
a) \(z_B-z_A=3-4i\), donc \(AB=|3-4i|=\sqrt{9+16}=5\)
b) \(z_Q-z_P=5-5i\), donc \(PQ=|5-5i|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)
c) \(OM=|z_M|=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\)
Écrire sous forme trigonométrique :
a) \(z_1=-1+i\) b) \(z_2=\sqrt{3}-i\) c) \(z_3=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}\) d) \(z_4=-3\)
Voir la solution
a) \(|z_1|=\sqrt{2}\), \(\theta=\dfrac{3\pi}{4}\). Forme : \(\sqrt{2}\!\left(\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
b) \(|z_2|=2\), \(\theta=-\dfrac{\pi}{6}\). Forme : \(2\!\left(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\)
c) \(|z_3|=2\), \(\theta=-\dfrac{3\pi}{4}\). Forme : \(2\!\left(\cos\!\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin\!\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)\)
d) \(|z_4|=3\), \(\theta=\pi\). Forme : \(3(\cos\pi+i\sin\pi)\)
1. Vérifier que \(z = \dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i \in \mathbb{U}\).
2. Si \(z \in \mathbb{U}\) avec \(\arg(z)=\dfrac{\pi}{3}\), donner \(\bar{z}\), \(\dfrac{1}{z}\) et \(z^2\).
3. Soient \(z_1,z_2 \in \mathbb{U}\). Montrer que \(\dfrac{z_1}{z_2} \in \mathbb{U}\).
Voir la solution
1. \(|z|^2=\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=1\), donc \(|z|=1\) et \(z \in \mathbb{U}\). ✓
2. \(z=\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\). Alors \(\bar{z}=\dfrac{1}{z}=\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) et \(z^2=\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\).
3. \(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}=\dfrac{1}{1}=1\), donc \(\dfrac{z_1}{z_2}\in\mathbb{U}\). \(\blacksquare\)
Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) vérifiant :
a) \(|z-2|=3\) b) \(|z-1|=|z+i|\) c) \(|z-2|\leq|z+2|\)
Voir la solution
a) Cercle de centre \(A(2\,;\,0)\) et de rayon \(3\).
b) Posons \(z=x+iy\). L'égalité \(|z-1|^2=|z+i|^2\) donne \((x-1)^2+y^2=x^2+(y+1)^2\), soit \(-2x+1=2y+1\), d'où \(x+y=0\). Lieu : droite \(y=-x\).
c) \((x-2)^2+y^2\leq(x+2)^2+y^2 \Rightarrow -8x\leq0 \Rightarrow x\geq0\). Lieu : demi-plan \(\text{Re}(z)\geq0\).
Soient \(z_1=1+i\) et \(z_2=\sqrt{3}-i\).
1. Donner les formes trigonométriques de \(z_1\) et \(z_2\).
2. En déduire \(\arg(z_1 z_2)\) et \(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|\).
3. Calculer \(z_1 z_2\) sous forme algébrique et vérifier.
Voir la solution
1. \(z_1=\sqrt{2}\!\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\) et \(z_2=2\!\left(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\)
2. \(\arg(z_1z_2)\equiv\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{12}\pmod{2\pi}\) ; \(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
3. \(z_1z_2=(1+i)(\sqrt{3}-i)=\sqrt{3}-i+i\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)i\). Module : \(|z_1z_2|=2\sqrt{2}\) ✓
Soit \(z \in \mathbb{C}\) avec \(z \neq \bar{z}\).
1. Montrer que \(\text{Re}\!\left(\dfrac{z-\bar{z}}{2i}\right) = \text{Im}(z)\).
2. Montrer que si \(P(z)\) est un polynôme à coefficients réels et si \(z_0\) est racine, alors \(\bar{z}_0\) l'est aussi.
3. Trouver \(z\) tel que \(z + \bar{z} = 4\) et \(z\cdot\bar{z} = 13\).
Voir la solution
1. \(z-\bar{z}=2i\,\text{Im}(z)\), donc \(\dfrac{z-\bar{z}}{2i}=\text{Im}(z)\), qui est réel. Sa partie réelle vaut bien \(\text{Im}(z)\). \(\blacksquare\)
2. \(P(\bar{z}_0)=\overline{P(z_0)}=\bar{0}=0\) car les coefficients sont réels et \(\overline{a_kz^k}=a_k\bar{z}^k\). \(\blacksquare\)
3. \(z+\bar{z}=2\,\text{Re}(z)=4 \Rightarrow \text{Re}(z)=2\). \(z\bar{z}=|z|^2=13\). Donc \(4+[\text{Im}(z)]^2=13\Rightarrow\text{Im}(z)=\pm3\). Solutions : \(z=2+3i\) ou \(z=2-3i\).
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