Nombres Complexes
Partie II
Écriture exponentielle d'un nombre complexe non nul
Tout nombre complexe non nul \(z\) possède une représentation polaire naturelle faisant intervenir son module et son argument. L'écriture exponentielle en est la synthèse la plus puissante.
1-1 · Définition
Rappelons d'abord que tout complexe non nul \(z\) s'écrit sous forme trigonométrique :
où \(r = |z| > 0\) et \(\theta = \arg(z) \in \mathbb{R}\).
L'identité \(e^{i\pi}+1=0\), dite identité d'Euler, relie les cinq constantes fondamentales des mathématiques.
- \(e^{i\theta} \cdot e^{i\varphi} = e^{i(\theta+\varphi)}\)
- \(\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\varphi}} = e^{i(\theta-\varphi)}\)
- \(\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}\) (formule de De Moivre)
- \(\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}\)
- \(\left|e^{i\theta}\right| = 1\) — tout \(e^{i\theta}\) est un point du cercle unité.
Écrire \(z = -2 + 2i\sqrt{3}\) sous forme exponentielle.
- Module : \(|z| = \sqrt{(-2)^2+(2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12} = 4\)
- Cosinus & sinus : \(\cos\theta = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}\), \(\quad\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- Argument : \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\) (2e quadrant)
- Résultat : \(z = 4\,e^{i\,2\pi/3}\)
1-2 · Formules d'Euler
En additionnant : \(e^{i\theta}+e^{-i\theta} = 2\cos\theta\), d'où \(\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\).
En soustrayant : \(e^{i\theta}-e^{-i\theta} = 2i\sin\theta\), d'où \(\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\).
Ces deux formules sont la clé de la linéarisation des expressions trigonométriques.
1-3 · Application : La Linéarisation
Méthode générale :
- Remplacer \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) par leurs formules d'Euler.
- Développer algébriquement (binôme de Newton si nécessaire).
- Regrouper les termes \(e^{ik\theta}+e^{-ik\theta}\) ou \(e^{ik\theta}-e^{-ik\theta}\) et appliquer Euler en sens inverse.
Par le binôme :
$$= \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta$$Parties réelle et imaginaire :
$$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$ $$\sin 3\theta = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$$Équations du deuxième degré dans ℂ
Dans \(\mathbb{C}\), toute équation polynomiale de degré \(n\) admet exactement \(n\) solutions (comptées avec multiplicité). Nous nous concentrons sur le degré 2.
2-1 · Équation de la forme \(z^2 = a\)
Le signe de \(xy\) est celui de \(\beta\).
Posons \(z = x+iy\) : \(|a| = \sqrt{9+16} = 5\).
$$x^2 = \frac{5+3}{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2, \quad y^2 = \frac{5-3}{2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1$$\(\beta = 4 > 0\), donc \(xy > 0\). Solutions : \(z_1 = 2+i\) et \(z_2 = -2-i\).
2-2 · Équation \(az^2 + bz + c = 0\) avec \(a,b,c \in \mathbb{C}\)
| Condition | Nature des racines | Valeurs |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | Deux réelles distinctes | \(\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) |
| \(\Delta = 0\) | Racine double réelle | \(r = -\dfrac{b}{2a}\) |
| \(\Delta < 0\) | Deux complexes conjuguées | \(\dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\) |
\(\Delta = (3+i)^2 - 4(2+i) = 9+6i-1-8-4i = 2i\).
Résoudre \(\delta^2 = 2i\) : \(|\delta|^2 = 2\), \(x^2-y^2=0\), \(2xy=2\). Donc \(x=y\), \(2x^2=2\), \(x=1\). Ainsi \(\delta = 1+i\).
$$z_1 = \frac{(3+i)+(1+i)}{2} = \frac{4+2i}{2} = 2+i, \quad z_2 = \frac{(3+i)-(1+i)}{2} = 1$$Écriture complexe des transformations
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec{u},\vec{v})\). À chaque point \(M(x,y)\) on associe son affixe \(z = x+iy\). Les transformations géométriques s'expriment alors élégamment comme des opérations sur les affixes.
3-1 · Écriture complexe d'une translation
- Si \(b = a_1 + ia_2\), le point \((x,y)\) est envoyé sur \((x+a_1,\; y+a_2)\).
- Le vecteur de translation a pour coordonnées \((a_1, a_2)\).
- La composition de deux translations de vecteurs \(b_1\) et \(b_2\) est la translation de vecteur \(b_1+b_2\).
3-2 · Écriture complexe d'une homothétie
- \(k = 1\) : identité ; \(k = -1\) : symétrie centrale de centre \(\Omega\).
- \(|k| > 1\) : agrandissement ; \(0 < |k| < 1\) : rétrécissement.
- \(k < 0\) : l'image est du côté opposé par rapport à \(\Omega\).
- Composée de deux homothéties de même centre : homothétie de rapport \(k_1 k_2\).
3-3 · Écriture complexe d'une rotation
- \(\theta = 0\) : identité ; \(\theta = \pi\) : symétrie centrale de centre \(\Omega\).
- La rotation conserve les distances (isométrie directe).
- La composée de deux rotations de même centre d'angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\) est la rotation d'angle \(\theta_1+\theta_2\).
- La composée de deux rotations de centres différents est en général une rotation (si \(\theta_1+\theta_2 \not\equiv 0\)) ou une translation..
La géométrie plane et les nombres complexes
Les nombres complexes fournissent des outils très efficaces pour démontrer des résultats géométriques et caractériser des lieux géométriques.
A, B, C alignés ⟺ \(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}\)
(AB) ⊥ (AC) ⟺ \(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}\) (imaginaire pur)
| Lieu | Condition | Écriture complexe |
|---|---|---|
| Cercle de centre \(\Omega(\omega)\), rayon \(R\) | \(AM = R\) | \(|z-\omega| = R\) |
| Droite passant par \(A(z_A)\) et \(B(z_B)\) | alignement | \(\dfrac{z-z_A}{z_B-z_A} \in \mathbb{R}\) |
| Médiatrice de \([AB]\) | \(MA = MB\) | \(|z-z_A| = |z-z_B|\) |
| Angle droit en \(M\) dans \(AMB\) | \(\angle AMB = 90°\) | \(\dfrac{z_B-z}{z_A-z} \in i\mathbb{R}\) |
| Cercle de diamètre \([AB]\) | \(\angle AMB = 90°\) | \(\text{Re}\!\left(\dfrac{z_B-z}{z_A-z}\right)=0\) |
Soit \(A(1)\) et \(B(3)\). Trouver l'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z-1| = |z-3|\).
C'est la médiatrice du segment \([AB]\), soit la droite verticale \(x = 2\), d'équation complexe :
$$|z-1| = |z-3| \Longleftrightarrow \text{Re}(z) = 2$$Montrer que \(ABC\) est équilatéral si et seulement si \(z_A^2+z_B^2+z_C^2 = z_Az_B+z_Bz_C+z_Az_C\).
Idée : \(ABC\) est équilatéral ⟺ \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = e^{\pm i\pi/3}\). En développant \(\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)^2 - \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} + 1 = 0\) et en multipliant par \((z_B-z_A)^2\), on obtient l'identité demandée. ∎
« Les nombres complexes transforment la géométrie en algèbre — et l'algèbre en beauté. »
Exercices
Écrire sous forme exponentielle les complexes suivants :
a) \(z_1 = -1 + i\) b) \(z_2 = \sqrt{3} - i\) c) \(z_3 = -3i\) d) \(z_4 = -4\)
Voir la solution
a) \(|z_1|=\sqrt{2}\), \(\arg(z_1)=\dfrac{3\pi}{4}\). Donc \(z_1 = \sqrt{2}\,e^{i3\pi/4}\).
b) \(|z_2|=2\), \(\arg(z_2)=-\dfrac{\pi}{6}\). Donc \(z_2 = 2\,e^{-i\pi/6}\).
c) \(|z_3|=3\), \(\arg(z_3)=-\dfrac{\pi}{2}\). Donc \(z_3 = 3\,e^{-i\pi/2}\).
d) \(|z_4|=4\), \(\arg(z_4)=\pi\). Donc \(z_4 = 4\,e^{i\pi}\).
Linéariser les expressions suivantes :
a) \(\sin^2\theta\) b) \(\cos^4\theta\) c) \(\sin^3\theta\) d) \(\cos^2\theta\sin^2\theta\)
Voir la solution
a) \(\sin^2\theta = \dfrac{1-\cos 2\theta}{2}\)
b) \(\cos^4\theta = \left(\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^4 = \dfrac{e^{4i\theta}+4e^{2i\theta}+6+4e^{-2i\theta}+e^{-4i\theta}}{16} = \dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}\cos 2\theta+\dfrac{1}{8}\cos 4\theta\)
c) \(\sin^3\theta = \dfrac{3\sin\theta-\sin 3\theta}{4}\)
d) \(\cos^2\theta\sin^2\theta = \dfrac{\sin^2 2\theta}{4} = \dfrac{1-\cos 4\theta}{8}\)
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) :
a) \(z^2 = -5 + 12i\) b) \(z^2 - 2iz - 1 = 0\) c) \(z^2 + (1-i)z - i = 0\)
Voir la solution
a) \(|z^2|=13\). Système : \(x^2-y^2=-5\), \(2xy=12\), \(x^2+y^2=13\). Donc \(x^2=4\), \(y^2=9\), \(xy>0\). Solutions : \(z=2+3i\) et \(z=-2-3i\).
b) \(\Delta = (2i)^2-4(-1)(-1) = -4-4 = -8\). \(\delta = \sqrt{-8} = 2i\sqrt{2}\). Donc \(z_1 = \dfrac{2i+2i\sqrt{2}}{2} = i(1+\sqrt{2})\) et \(z_2 = i(1-\sqrt{2})\).
c) Par inspection : si \(z=i\), \(-1+(1-i)i-i = -1+i+1-i=0\) ✓. Par Viète : \(z_1 z_2 = -i\), donc \(z_2 = -i/i = 1\). Vérification : \(1+(1-i)-i=2-2i \ne 0\)… recalcul : \(1+(1-i)(1)-i = 1+1-i-i=2-2i\ne 0\). Correction : \(\Delta=(1-i)^2+4i = 1-2i-1+4i=2i\). \(\delta=1+i\). \(z_1=\dfrac{-(1-i)+(1+i)}{2}=i\), \(z_2=\dfrac{-(1-i)-(1+i)}{2}=-1\). Vérif. : \(1-(1-i)-i=0\)✓ et \(1-(1-i)(-1)+(-1)=1+1-i-1=1-i\ne0\)… \((-1)^2+(1-i)(-1)-i=1-1+i-i=0\)✓.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct :
a) Déterminer l'image du point \(A(2;1)\) par la rotation de centre \(O\) d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\).
b) Trouver le centre et le rapport de l'homothétie qui envoie \(A(1+i)\) sur \(A'(3+3i)\) et laisse fixe le point \(O\).
c) Quelle transformation \(f\) vérifie \(f(z) = (1+i)z - 1 + 2i\) ? Préciser ses éléments caractéristiques.
Voir la solution
a) \(z_A = 2+i\). Image : \(z' = e^{i\pi/3}(2+i) = (\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i)(2+i) = 1+\tfrac{i}{2}+\sqrt{3}i-\tfrac{\sqrt{3}}{2} = (1-\tfrac{\sqrt{3}}{2})+(\tfrac{1}{2}+\sqrt{3})i\).
b) Homothétie de centre \(O\) : \(z' = kz\). \(k = z_{A'}/z_A = (3+3i)/(1+i) = 3\). Rapport : \(k = 3\).
c) \(f(z) = (1+i)z + (-1+2i)\). C'est une similitude directe car \(a = 1+i \ne 1\) et \(|a|=\sqrt{2}\ne 1\). Rapport \(\sqrt{2}\), angle \(\pi/4\). Centre : \(z_\Omega = \dfrac{-1+2i}{1-(1+i)} = \dfrac{-1+2i}{-i} = \dfrac{(-1+2i)i}{-i^2} = \dfrac{-i+2i^2}{1} = -2-i\). Centre \(\Omega(-2;-1)\).
Soient \(A(z_A)\) et \(B(z_B)\) deux points distincts du plan, et \(M(z)\) un point variable.
1. Montrer que si \(\left|\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right| = k\) avec \(k > 0, k\ne 1\), alors le lieu de \(M\) est un cercle (cercle d'Apollonius). Donner son centre et son rayon pour \(A(0)\), \(B(4)\), \(k=2\).
2. L'angle \((\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}) = \dfrac{\pi}{3}\). Quel est le lieu de \(M\) ?
Voir la solution
1. Posons \(z = x+iy\), \(z_A=0\), \(z_B=4\). La condition \(|z|/|z-4|=2\) donne \(x^2+y^2 = 4[(x-4)^2+y^2]\), soit \(x^2+y^2 = 4x^2-32x+64+4y^2\), d'où \(3x^2+3y^2-32x+64=0\), puis \(x^2+y^2-\tfrac{32}{3}x+\tfrac{64}{3}=0\). Centre \(\Omega\!\left(\tfrac{16}{3};0\right)\), rayon \(r=\sqrt{\tfrac{256}{9}-\tfrac{64}{3}}=\sqrt{\tfrac{64}{9}}=\tfrac{8}{3}\).
2. \(\arg\!\left(\dfrac{z_B-z}{z_A-z}\right) = \dfrac{\pi}{3}\) définit un arc de cercle passant par \(A\) et \(B\) (arc capable d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\)).
En utilisant la formule de De Moivre :
a) Exprimer \(\cos 4\theta\) en fonction de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).
b) En déduire \(\cos 4\theta\) uniquement en fonction de \(\cos\theta\).
c) Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\cos(k\theta)\).
Voir la solution
a) \((\cos\theta+i\sin\theta)^4 = \cos4\theta+i\sin4\theta\). Par binôme :
$$\cos 4\theta = \cos^4\theta - 6\cos^2\theta\sin^2\theta + \sin^4\theta$$b) En substituant \(\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta\) :
$$\cos 4\theta = 8\cos^4\theta - 8\cos^2\theta + 1$$c) \(\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos(k\theta) = \mathrm{Re}\!\left[\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}e^{ik\theta}\right] = \mathrm{Re}[(1+e^{i\theta})^n]\). Or \(1+e^{i\theta} = e^{i\theta/2}(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}) = 2\cos\!\tfrac{\theta}{2}\cdot e^{i\theta/2}\). Donc :
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos(k\theta) = 2^n\cos^n\!\frac{\theta}{2}\cdot\cos\frac{n\theta}{2}$$
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