I-Généralités sur les suites :
1.Définition:
Une suite
numérique (\(u_n\)) est une fonction ou application de l'ensemble des entiers (ou
un sous-ensemble d'entiers) dans un ensemble de nombres réels ou complexes,
(souvent \(\mathbb{R}\) ).
Autrement
dit, c’est une fonction définie par : \(u :I\subset \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{R}\\n\mapsto
u(n)\)
Une suite
peut être notée de plusieurs façons :
\((u_n)\)
s’appelle le terme général de la suite, (où n est l'indice qui varie)
\((u_0,
u_1, u_2, \dots)\), représente explicitement les termes de la
suite, (\(u_0\) s’appelle le premier terme de la suite)
2. Suite majorée – suite minorée
– suite bornée:
Suite majorée :
Une suite
\((u_n)\) est dite majorée s'il existe un réel \(M\) tel que pour tout \(n \in
\mathbb{N}, u_n \leq M\).
Exemple :
Prenons la
suite \((u_n)\) définie par:
\(u_n = 1 - \frac{1}{n}\).
Cette suite
est majorée par \(1\) car, pour tout \(n \in \mathbb{N}:u_n \leq 1\)
Suite minorée :
Une suite \((u_n)\) est dite
minorée s'il existe un réel \(m\) tel que pour tout \(n \in \mathbb{N}, u_n
\geq m\).
Exemple
de Suite minorée :
soit la
suite \((v_n)\) définie par :
\(v_n = -2 + \frac{1}{n}\).
Cette suite
est minorée par \(−2\) car, pour tout \(n \in \mathbb{N}:v_n \geq -2\)
Suite bornée :
Une suite \((u_n)\) est
dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe
des réels \(m\) et \(M\) tels que pour tout \(n \in \mathbb{N}, m \leq u_n \leq
M\).
Exemple de Suite bornée :
Soit la suite \((u_n)\)
définie par:
\(u_n
= (-1)^n \cdot \frac{1}{n}\).
Cette suite est bornée car, pour
tout \(n \in \mathbb{N}, on\ a\ ∣u_n| \leq 1\)
3.La monotonie d’une suite :
Une suite \((u_n)\) est dite
monotone si elle est soit croissante, soit décroissante :
Suite croissante :
\((u_n)\) est croissante si pour tous
\(u_{n+1} \geq u_n\).
Suite décroissante :
\((u_n)\) est décroissante si pour tous nn, \(u_{n+1} \leq u_n\).
Une suite peut être monotone et
bornée, ce qui implique qu'elle converge (théorème de convergence monotone).
II-Suite arithmétique :
1. Définition
Une suite arithmétique est une
suite dont la différence entre deux termes consécutifs est constante. Autrement
dit, il existe une constante \(r\) (appelée raison) telle que : \(u_{n+1} = u_n
+ r \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}\). La forme explicite de cette
suite est donnée par :
\(u_n = u_0 + n \cdot r\).
Si \(u_1\) laforme explicite est
:
\(u_n =u_1+(n-1)r\)
Exemple
Prenons la suite \((u_n)\)
définie par \(u_n = 2 + 3n\).
Cette suite est arithmétique de
raison \(r = 3\). En effet, chaque terme est obtenu en ajoutant \(3\) au terme
précédent
2.propriété et Caractéristiques :
La suite arithmétique est
caractérisée par une raison r constante.
Si \(r = 0\), la suite est
constante, c'est-à-dire que tous ses termes sont égaux à \(u_0\).
Si \(u_n\) est une suite
arithmétique de raison \(r\) alors pour tout entier \(n\ge 0\) et tout
\(p\ge 0\) on a :
\(u_n-u_p= (n-p) r\)
Si \(u_0\) est le premier terme
et \(n\ge p\) on a :
\( u_n+u_{n-p}= u_0+u_n\)
\(u_{n+1}\)est la moyenne arithmétique des
termes \(u_n\) et \(u_{n+2}\)
\( 2u_{n+1}= u_n+u_{n+2}\)
si \(u_n \)
est une suite numérique et \(n>p\) le nombre de termes \(u_p\) à \(u_n\)
est égal à \(n-p\) et le nombres de termes de \(u_p\) à
\(u_{n+1}\) est \(n-p+1\)
3. La somme \(S_n\) :
La somme des \(n+1\) premiers
termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule :
\(S_n
= \frac{n+1}{2} \left( 2u_0 + (n)r \right)\) ou \(S_n
= \frac{n+1}{2} \left( u_0 + u_n \right)\).
\(S_n
=\frac{nbres \ de \ termes \times (1er \ terme +der \ terme)}{2}\)
Démonstration:
Soit (\(u_n\)) une suite
arithmétique de raison \(r\)
\(S_n=u_0
+u_{1}+\cdots+u_{n-1}+u_n\) et de même \(S_n
=u_n+u_{n-1}+\cdots+u_{1}+u_0\)
faisons la somme des deux
écritures de \(S_n\) on obtient:
\(2S_n=( u _0+u_n)
+(u_1+u_{n-1})+\cdots+(u_{n-1}+u_1)+(u_n+u_0)\)
Puisque \(u_n\) est suite
arithmétique donc pour tout \(k \in \mathbb{N}\) on a :
\(u_{p+k}+u_{n-k}=(u_p+kr)+(u_p+(n-k-p)r)\)
\(u_{p+k}+u_{n-k}=u_p+kr-kr+u_p+(n-p)r
-pr\)
\(u_{p+k}+u_{n-k}=u_p+\underbrace{u_p+(n-p)r}_{u_{n}}\)
Donc
\(2S_n=( u _0+u_n)
+(u_1+u_{n-1})+\cdots+(u_{n-1}+u_1)+(u_n+u_0)\)
\(2S_n=\underbrace{\underbrace{u_0
+u_n}+\underbrace{u_0+u_n}
+\underbrace{u_0+u_n}+.........+\underbrace{u_0+u_n}}_{(n+1)fois}\)
ce qui
donne : \(S_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\)
Pour la suite arithmétique
\((u_n)\) définie par:
\(u_n
= 2 + 3n\)
La somme des termes est donnée
par :
\(S_n =
\frac{n+1}{2} \left( u_0+ u_n \right)\)
\(=
\frac{n+1}{2} \left( 2+ 2+3n \right) = \frac{n+1}{2} \cdot (3n +4)\).
Remarques :
\(S_{n}=\frac{(n-p+1)}{2}(u_p+u_n)\)
\(S_{n}=u_p+u_{p+1}+u_{p+2}+\cdots+u_n=\sum^{n}_{i=p}u_i\)
si \(p=0\):
\(\sum^{n}_{i=p}u_i=\frac{(n+1)}{2}(u_0+u_n)\)
si \(p=1\):
\(\sum^{n}_{i=p}u_i=\frac{n}{2}(u_1+u_n)\)
III-Suite géométrique:
1- Définition
Une suite géométrique est une
suite dont chaque terme après le premier est obtenu en multipliant le terme
précédent par une constante \(q\), appelée raison.
Formellement : \(v_{n+1} = q
\cdot v_n \quad \text {pour tout} \ n \in \mathbb{N}\).
Exemple :
Prenons la suite \((v_n)\)
définie par \(v_n = 2 \cdot 3^n\).
Cette suite est géométrique de
raison \(q=3\). Chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par
\(3\).
2-Propriété:
Soit \(v_n\) suite géométrique de raison
\(q\) de premier terme \(v_0\neq0\) :
Sa forme recurrente est donné par :
\(\forall n\ge0 :
v_{n+1}=v_n\times q\)
Sa forme explicite est donnépar :
\(u_n =v_0\times q^n\)
Forme qui permet de connaitre les élement
caractéristique de la suite (\(v_0\) et \(q\))
\(\forall n\ge 0 \ et\
\forall p\ge 0\): \(v_n=v_p\times q^{n-p}\)
\(\forall n\ge p :
v^{2}_{n+1}=v_{n}\times v_{n+2}\)
Remarque:
si \(v_n\) est un e suite geometrique de
raison \(q\) (\(q\neq0\))
si \(p=0 : v_n =v_0q^n\)
si \(p=1 : v_n=v_1q^{n-1}\)
si \(v_0>0\) et
\(q>0\) alors \(v_n\) est croissante
si \(v_0>0\) et
\(0<q<1\) alors \(v_n\) est décroissante
3. La somme \(S_n\)
La somme des termes d’une suite
géométrique est donnée par :
\(S_n = v_p \cdot \frac{1 -
q^{n-p+1}}{1 - q} \quad \text{si } q \neq 1\).
Si \(q=1\), la somme de (n+1) termes est
simplement :
\(S_n = (n+1) \cdot v_0\)
Démonstration :
on pose \(S_n=v_p+v_{p+1}
+v_{p+2}\cdots+v_{n-1}+v_n\) multipliant \(S_n\) par \(q\) on
obtient :
\(qS_n= qv_p+qv_{p+1}
+qv_{p+2}\cdots+qv_{n-1}+qv_n\)
\(=v_{p+1}+v_{n+2}+\cdots+v_{n}+v_{n+1}\) donc:
\(S_{n}-qS_{n}=
v_{p}-v_{p+1}+v_{p+1}-v_{p+2}+\cdots+v_{n-1}-v_{n}+v_{n}-v_{n+1}\)
\(=v_p -v_{n+1} \)
\(S_{n}-qS_{n}=v_p -v_{n+1}\)
et comme \(v_{n+1}=v_p\times q^{n+1-p}\)
ce qui donne :
\(S_{n}-qS_{n}=
v_p-v_p\times q^{n+1-p}\)
\(\Downarrow\)
\(S_n(1-q)=v_p(1-q^{n+1-p})\)
\(\Downarrow\)
\(S_n=v_p\times
\frac{1-q^{n+1-p}}{1-q}\) ( car \((1-q)\neq 0\))
Remarques:
\(S_n=\sum_{i=p}^{i=n} (v_{i})\) avec
(\(v_p\) 1er terme ; \(v_n\) dernier terme et \(n-p+1\) nombres de termes
\(S_n=\sum_{i=p}^{i=n}
(v_{i})=v_0+v_1+\cdots+v_n=v_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) \(\forall n\in
\mathbb{N}\)
\(S_n=\sum_{i=p}^{i=n}
(v_{i})=v_0+v_1+\cdots+v_{n-1}=v_0\times \frac{1-q^{n}}{1-q}\) \(\forall n\in
\mathbb{N^*}\)
\(S_n=\sum_{i=p}^{i=n}
(v_{i})=v_1+v_1+\cdots+v_{n-1}=v_1\times \frac{1-q^{n}}{1-q}\)
Exemple :
Pour la suite géométrique \(v_n
= 2 \cdot 3^n\), la somme des \(n\) premiers termes est donnée par
:\(S_n=\sum_{i=0}^{i=n-1}v_{i}=v_0+v_1+\cdots+v_{n-1}=v_0\times
\frac{1-q^{n}}{1-q}\)
\(S_n = 2 \cdot \frac{1 -
3^n}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{3^n - 1}{2} = 3^n – 1\).
La somme des \(n+1\) premiers
termes est donnée par:
\(S_n=\sum_{i=0}^{i=n}v_{i}=v_0+v_1+\cdots+v_{n}=v_0\times
\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
\(S_n = 2 \cdot \frac{1 -
3^{n+1}}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{3^{n+1} - 1}{2} = 3^{n+1} – 1\).
4. Caractéristiques :
• Si \(∣q∣<1\), la suite
converge vers \(0\) à mesure que \(n\) tend vers l'infini.
• Si \(q=1\), tous les termes de
la suite sont égaux à \(v_0\) (\(v_n\) converge vers 0)
• Si \(q>1\), la suite est
croissante et tend vers \(\pm\infty\) selon le signe de \(v_0\)( \(v_n\)
diverge)
• Si \(−1<q<0\), la suite
alterne entre des valeurs positives et négatives, mais tend vers 0(\(v_n\)
converge vers 0)
• Si \(q<−1\), la suite
oscille de plus en plus largement(\(v_n\) oscille et diverge)
- Exemple
Si \(∣q∣<1\), prenons la
suite \(w_n = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n\). Cette suite converge vers
\(0\) à mesure que \(n\) tend vers l'infini.
Si \(q=1\), prenons la suite
\(z_n = 4\). Cette suite est constante et ne varie pas.
IV- Limites d’une suite
numérique
1.Limite finie d’une suite
•Une suite \((u_n)\) admet une
limite finie \(L\)
Si, pour
tout \(\varepsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(n
\geq N, |u_n - L| < \varepsilon\).
On note
alors : \(\lim_{n \to \infty}=L\) .
2. Limite infinie d’une suite
•Une suite \((u_n)\) admet une
limite infinie
Si
pour tout \(M>0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(n \geq N,
|u_n| > M\). La suite tend alors vers \(+\infty \ ou \ -\infty\).
•Exemple
Prenons la suite \((u_n)\)
définie par:
\(u_n
= \frac{1}{n}\).
Cette suite
converge vers \(0\), c’est-à-dire :\(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\).
Limite infinie d’une suite
Prenons la suite \((v_n)\)
définie par:
\(v_n
= n\).
Cette suite
tend vers \(+\infty\) à mesure que \(n\) croît :\(\lim_{n \to \infty} v_n =
+\infty\)
V- Opérations sur les limites
des suites
Si \((u_n)\) et \((v_n)\) sont
deux suites convergentes, alors :
1.Somme :
\(\lim_{n \to \infty} (u_n +
v_n) = \lim_{n \to \infty} + \lim_{n \to \infty}\) .
2.Produit:
\(\lim_{n \to \infty} (u_n
\cdot v_n) = \lim_{n \to \infty} u_n \cdot \lim_{n \to \infty} v_n\).
3.Quotient:
(si \(\lim_{n \to \infty} v_n
\neq 0) : \lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{\lim_{n \to \infty}
u_n}{\lim_{n \to \infty} v_n}\).
VI- convergence
et divergence d'une suite
1.Convergence
Une suite convergente est une
suite qui admet une limite L c'est à dire: \(\lim_{n \to +\infty }
=L⟺∀ϵ>0,∃N∈N, ∀n≥N, ∣un−L∣<ϵ\).
Si une suite est monotone
et bornée, alors elle converge
Si \((u_n)\) est croissante et
majorée alors \((u_n)\) converge.
Si \((u_n)\) est décroissante et
minorée alors \((u_n)\) converge.
Exemple : Prenons la suite
\((w_n)\) définie par:
\(w_n = 2 +
\frac{1}{n}\).
Cette suite
converge vers \(2\), car pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un \(N\)
tel que pour tout \(n \geq N, |w_n - 2| < \varepsilon\)
2.Divergence
Une suite \((u_n)\) est
divergente si elle n'admet pas de limite, c'est-à-dire la limite de la suite
\((u_n)\) lorsque \(n\) tend vers l'infini n'existe pas. .
Formellement :
Si \((u_n)\) est croissante (\(u_{n+1 }\ge u_n\)) pas majorée alors \((u_n)\) diverge.
Si \((u_n)\) est décroissante (\(u_{n+1 }\le u_n\)) pas minorée alors \((u_n)\) diverge.
exemple \(u_n=n\) suite
croissante (car \(n+1>n\)) non majoré donc diverge vers
\(+\infty\)
\(\lim_{n\to
+\infty}=+\infty\)
\(\lim_{n \to +\infty }\) n’existe pas ⟺ \(∀L∈\mathbb{R}, ∃\varepsilon>0, ∀N∈N, ∃n≥N, ∣u_n−L∣≥\varepsilon\)
3.Théorème
de la limite monotone
Une suite monotone est non
bornée, elle diverge.
Une suite monotone et bornée (ou
majoré ou minoré) est convergente.
VII-Suites particulières
1.Suite de la forme \(u_n = q^n\) avec
\(q \in \mathbb{R}\)
Cette suite est géométrique.
- Si \(∣q∣<1\), la
suite converge vers \(0\)
- Si \(q=1\), tous les
termes sont égaux à \(1\)
- Si \(q>1\), la suite
tend vers \(+\infty\)
- Si \(q<−1\), la
suite oscille entre des valeurs positives et négatives. Exemple si \(q=-2
: u_0= (-2) ^0=1 ; u_1 = (-2) ; u_2= (-2) ^2=4 ; u_3= (-2) ^3=-8 ;
......\)
Prenons la suite suivante :
\(u_n
= \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
Cette suite est géométrique de
raison \(q = \frac{1}{2}\). Elle converge vers \(0\).
2. Suite de la forme \(u_n = n^r\) avec \(r
\in \mathbb{Q}^*\)
Si \(r>0\), la suite croît
sans borne : \(\lim_{n \to +\infty } n^{r}=+\infty\)
Si \(r<0\), la suite décroît
vers \(0\): \(\lim_{n \to +\infty } n^{r}=0\)
Prenons la suite \(u_n =
n^{1/2}\).
La suite \(u_n = \sqrt{n}\), ces termes sont : \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \dots\), qui croît sans borne.
Cette suite croît sans borne à
mesure que \(n\) tend vers l'infini.
3. Suite de la forme \(v_n = f(u_n)\)
La suite \(v_n\) est obtenue par
application de la fonction \(f\) à chaque terme de la suite \((u_n)\).
Si \((u_n)\) converge vers
\(L\) et \(f\) est continue en \(L\), alors \((v_n)\) converge vers \(f(L)\).
Soit :
\(u_n =
\frac{1}{n}\) et \(f(x) = x^2\).
La suite \(v_n\) est donc \(v_n
= \left( \frac{1}{n} \right)^2 = \frac{1}{n^2}\).
Cette suite converge vers \(0\),
car \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0\).
4. Suite de la forme \(u_{n+1} = f(u_n)\)
Il s'agit d'une suite
récurrente. Si \(f\) est continue et que \(u_n\) converge vers un point \(L\),
alors \(L\) est une solution de l'équation \(L=f(L)\).
Prenons la suite définie par la récurrence
:
\(u_{n+1}
= \frac{1}{2}(u_n + 2)\) avec \(u_0 = 1\).
Cette suite
converge vers \(2\), car c'est la solution de l'équation : \(u = \frac{1}{2}(u
+ 2)\).
5. Suite alternée:\((u_n)=(-1)^{n}\times (v_n)\)
Une suite alternée est une suite dans laquelle les termes changent de signe à chaque étape.
Exemples :
\((u_n)=(-1)^{n}\) La suite de base alternée est celle dont les termes sont simplement 1 e -1 qui alternent
\((v_n)=(-1)^{n} \times 2^{n}\) les premiers termes de cette suite sont les carrés des entiers, mais les signes alternent à chaque étape:
\(v_1=-2; v_2= 4; v_3=-9;....
Commentaires
Enregistrer un commentaire