Partie 1 : Suites numériques

I. Définition

Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction de l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) vers l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ (ou complexes $\mathbb{C}$).

Notation fonctionnelle : \[ u : I \subset \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R} \] \[ n \mapsto u(n) \]

$(u_n)$ désigne la suite dans son ensemble.
$u_n$ est le terme général (à l'indice $n$).
$(u_0, u_1, u_2, \dots)$ représente la liste des termes. $u_0$ est le premier terme.

II. Suite majorée – suite minorée – suite bornée

Suite majorée : Il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq M$.

Suite minorée : Il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \geq m$.

Suite bornée : Elle est à la fois majorée et minorée ($m \leq u_n \leq M$).

Exemple : Soit $u_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$ pour $n \geq 1$.
On a $|u_n| \leq 1$, donc la suite est bornée.

soit $u_n = 1 - \frac{1}{n}$ suite est majorée par $1$ car, pour tout $n \in \mathbb{N}:u_n \leq 1$

soit la suite $(v_n)$ définie par : $v_n = -2 + \frac{1}{n}$. Cette suite est minorée par $−2$ car, pour tout $n \in \mathbb{N}:v_n \geq -2$

III. Monotonie d’une suite

Croissante : $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$.
Décroissante : $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$.

Théorème : Toute suite monotone et bornée converge.

IV- Suite arithmétique

4.1. Définition et forme explicite

Une suite est arithmétique s'il existe un réel $r$ (la raison) tel que : \[\color{blue}\boxed{ u_{n+1} = u_n + r} \]

Formes explicites :

Depuis $u_0$ : $u_n = u_0 + nr$
Depuis $u_1$ : $u_n = u_1 + (n-1)r$

Exemple: soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2 + 3n$. Cette suite est arithmétique de raison $r = 3$. En effet, chaque terme est obtenu en ajoutant $3$ au terme précédent

4.2. Propriétés et Caractéristiques

Cas particulier : Si $r = 0$, la suite est constante : $\forall n \in \mathbb{N}, u_n = u_0$.
Relation entre deux termes quelconques : Pour tout $n \geq 0$ et $p \geq 0$ : $\color{magenta}\boxed {u_n - u_p = (n - p)r}$
Symétrie des termes : Si $u_0$ est le premier terme et $n \geq p$, on a la relation : $\color{magenta}\boxed {u_p + u_{n-p} = u_0 + u_n }$
Moyenne arithmétique : Chaque terme (à partir du rang 1) est la moyenne de ses voisins : $\color{magenta}\boxed{ 2u_{n+1} = u_n + u_{n+2} }$
Le nombre de termes de $u_p$ à $u_n$ est : \[\color{blue}\boxed {\mathcal{N} = = n - p + 1}\]
Par conséquent, de $u_p$ à $u_{n+1}$, il y a : \[\color{blue}\boxed{ (n + 1) - p + 1 = n - p + 2 \text{ termes} }\]

4.3. Somme des termes $S_n$

La formule générale est : \[ S = \frac{\text{nombre de termes} \times (\text{1er terme} + \text{dernier terme})}{2} \]

Démonstration :
Écrivons la somme dans les deux sens : \[ S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_{n-1} + u_n \] \[ S_n = u_n + u_{n-1} + \dots + u_1 + u_0 \] En sommant verticalement:

$2S_n=( u _0+u_n) +(u_1+u_{n-1})+\cdots+(u_{n-1}+u_1)+(u_n+u_0)$

chaque paire vaut $(u_0 + u_n)$ car $u_k + u_{n-k} = u_0 + u_n$.>/p>

Il y a $(n+1)$ paires, d'où :

$2S_n=\underbrace{\underbrace{u_0 +u_n}+\underbrace{u_0+u_n} +\underbrace{u_0+u_n}+.........+\underbrace{u_0+u_n}}_{(n+1)fois}$

\[ 2S_n = (n+1)(u_0 + u_n) \implies\color{Red} \boxed{S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}} \]

Remarques sur la Somme $S_n$

Formule générale :

La somme des termes d'une suite arithmétique de l'indice $p$ à l'indice $n$ est donnée par :

\[ S_n = \sum_{i=p}^{n} u_i = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = \frac{(n - p + 1)}{2}(u_p + u_n) \]

Cas particuliers usuels :

Si la somme commence à $p=0$ : (Somme de $n+1$ termes) \[ \sum_{i=0}^{n} u_i = \frac{(n + 1)}{2}(u_0 + u_n) \]
Si la somme commence à $p=1$ : (Somme de $n$ termes) \[ \sum_{i=1}^{n} u_i = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) \]

Note : Le facteur $(n-p+1)$ représente toujours le nombre total de termes additionnés.

Application : Pour $u_n = 2 + 3n$, calculons $S_n$ de $0$ à $n$ : \[ S_n = \frac{n+1}{2}(u_0 + u_n) = \frac{n+1}{2}(2 + 2 + 3n) = \frac{(n+1)(3n + 4)}{2} \]

V. Récapitulatif

Domaine	Propriété / Cas	Expression
Bornes	Suite Majorée / Minorée	$u_n \le M \text{ ou } u_n \ge m$
Convergence	Théorème Monotone	$\text{Monotone + Bornée} \implies \text{Conv.}$
Arithmétique	Définition (Raison $r$)	$u_{n+1} = u_n + r$
Explicite	Terme général ($u_0$)	$u_n = u_0 + n \cdot r$
Explicite	Terme général ($u_p$)	$u_n = u_p + (n-p)r$
Somme $\sum$	Formule de $u_p$ à $u_n$	$S = \frac{(n-p+1)(u_p + u_n)}{2}$
Cas Usuels	Somme de $0$ à $n$ ($n+1$ termes)	$S_n = \frac{n+1}{2}(u_0 + u_n)$
Moyenne	Propriété des voisins	$2u_{n+1} = u_n + u_{n+2}$