Calcul trigonométrique
1-Rappel
1.1-Définition
Le
cercle trigonométrique est un cercle de rayon \(1\), centré à l'origine du plan
cartésien (coordonnées \(O(0,0)\)). Il est principalement utilisé pour
représenter les angles en radians et les valeurs des fonctions trigonométriques
(comme le sinus et le cosinus) associées à ces angles.
Les
abscisses curvilignes dans le cercle trigonométrique sont simplement égales à
l'angle \(\theta\) exprimé en radians, et mesurent la distance le long du
cercle entre le point de référence \(P_0(1, 0)\) et le point considéré. Cela
permet de comprendre la relation géométrique directe entre l'angle et la
longueur de l'arc parcouru sur le cercle.
2.1-Abscisses curvilignes
Définition
:
Une abscisse curviligne d’un point \(A\) appartenant au cercle
trigonométrique \(C\) est un nombre réel \(a\) correspondant à la longueur qui
sépare \(I\) de \(A\), suivant l’axe trigonométrique. Le point \(A\) possède
une infinité d’abscisses curvilignes. Elles s’expriment sous forme \(a+2k\pi ;
k\) appartenant à l’ensemble des nombres entiers relatifs \(\mathbb{Z}\)
2-transformation de \(cos(a\pm
b)\) et \(sin (a\pm b)\)
2.1-Transformation de cos\((a- b)\)
Soit un cercle trigonométrique de rayon \(1\),
centré à l'origine du plan cartésien
Et soient deux points \(A\) et \(B\) deux
points appartiennent au cercle \(C\)
Les coordonnées de \(A\) et \(B\)
respectivement en fonction de l’angle \(a\) et de l’angle \(b\) sont :
\(A(cos a ; sin a) \) et \(B (cos b ;
sin b) \)
Determiner la mesure de l’angle
\(\widehat{\left( \overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right)}\) en
fonction des angle \(a\) et \(b\) .
On a : \(\widehat{\left( \overrightarrow{OI};
\overrightarrow{OA}\right)}=a+2k\pi\) et \(\widehat{\left( \overrightarrow{OI};
\overrightarrow{OB}\right)}=b+2k\pi\)
D’après Relation de Chasles
appliquée aux angles orientés on a:
\(\widehat{\left(
\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right)}= \widehat{\left(
\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OI}\right)}+ \widehat{\left(
\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OB}\right)}\)
\(=(-a+b)+2k\pi=(b-a) +2k\pi\)
Donc \((b-a) = \widehat{\left(
\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right)}\)
Calculant maintenant le produit scalaire de
\(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) de deux façons différentes.
1er
Methode:
\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=(cos
a ; sin a).(cos b ; sin b)\)
\(=cos a.cos b+sin a.sin b\)
2ieme methode :
\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left\|
\overrightarrow{OA} \right\|.\left\| \overrightarrow{OB} \right\|cos
\widehat{(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})}\)
\(=1\times 1\ cos
\widehat{(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})}\) (car \(\left\|
\overrightarrow{OA} \right\|=\left\| \overrightarrow{OB} \right\|=R=1\))
Puisque
\(\widehat{(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})}=(b-a)\) donc
\(cos((\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}))=cos(b-a)\) ce qui implique que
\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}= cos(b-a)\)
D'autre part on sait que :
\(\forall x\in \mathbb{R}:cos(x)=cos(-x)\)
\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=
cos(b-a)\)
\(=cos(-(a-b) =cos(a-b)\)
On a donc\(\begin{cases}
\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=cos a.cos b+sin a.sin b\\
\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=cos(a-b)) \end{cases}\)
Alors
: \(\boxed
{cos(a-b) =cos (a).cos (b)+sin (a).sin (b)}\)
2.2-Transformation de cos\((a+ b)\)
Montrons que \(cos(a+b)=cos a.cos b- sin a.
sin b\)
On sait que \(cos(a-b)= cos a.cos
b +sin a.sin b\)
On a : \(cos
(a-(-b))=cos(a+b)\)
\(=cos a. cos (-b) +sin a. sin (-b)\)
Puisque\((\forall x\in\mathbb{R}) :
\begin{cases}cos (-x)=coss(x) \\sin (-x)=-sin (x)\end{cases}\)
D'où \(cos(a+b)=cos (a). cos (-b) +sin(a).
sin (-b)\)
\(=cos(a) . cos (b) -sin (a).
sin (b)\)
Alors
: \(\boxed
{cos(a+b)=cos (a). cos (b) - sin( a). sin (b)}\)
2.3- Transformation de \( sin(a- b)\)
\(sin(b-a)=sin(\widehat{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}})=\frac{det(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})}{\left\|
\overrightarrow{OA} \right\|\left\| \overrightarrow{OB} \right\|}\)
\(=\begin{array}|cos(a)&cos(b)\\sin(a)&sin(b)
\end{array} =cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)\)
Donc \(sin(b-a)=cos(a).sin(b)-cos(b)sin(a)\)
Et comme \(sin (a-b)=-sin(b-a)\) alors \(\boxed
{sin(a-b)=sin(a).cos(b)-cos(a).sin(b)}\)
Autre méthode :
\(\forall x\in \mathbb{R}: cos (\frac{\pi}{2}-x)=sin(x)\)
Donc:
\(sin(a-b)=cos( \frac{\pi}{2}-(a-b))\)
\(=cos((\frac{\pi}{2}-a)+b)\)
\(=cos(\frac{\pi}{2}-a)cos(b)-sin(\frac{\pi}{2}-a)sin(b)\)
\(=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)\)
2.4- Transformation de \( sin(a+b)\)
On a:\(
sin(a-b)=sin(a).cos(b)-cos(a).sin(b)\)
donc \(sin(a-(-b))=sin(a+b)\)
\(=sin(a).cos(-b)-cos(a).sin(-b)\)
On sait que :
\(cos(x)\) est paire(\(cos(x)=cos-(x)\)) et
\(sin(x)\) est impaire(\(sin(-x)=-sin(x)\))
\(sin(a-(-b))=sin(a+b)\)
\(=sin(a).cos(-b)-cos(a).sin(-b)\)
\(=sin(a).cos(b)+cos(a).sin(b)\)
Alors : \(\boxed {sin(a+b)=sin(a).cos(b)
+cos(a).sin(b)}\)
2.5-Conséquences
Démonstration de : \(cos(2a) = cos²(a)-sin²(a)\)
\(= 1-sin²(a)= 2cos²(a)-1\)
On a : \(cos(a+b)=cos (a)cos(b)-sin(a)sin(b)\)
Si \(b=a\) donc:
\(cos(2a) = cos(a) cos(a) -sin(a) sin (a) = cos²(a)-sin²(a)\)
On sait que :
\(cos²(a)+sin²(a)=1\) ce qui implique que
\(cos²(a)=1-sin²(a)\) alors :
\(\boxed{cos(2a)= 1-2sin²(a)}\)
\(\boxed{cos(2a)=
cos²(a)-sin²(a)}\)
\(\boxed{cos(2a)= 2cos²(a)-1}\)
demonstration de: \(sin(2a) =2sin(a) cos(a)\)
\(sin(a+b)=sin(a) cos(b)+cos(a) sin(b)\)
si \(b=a\) \(sin(2a)=sin(a+a)= sin(a) cos(a)+cos(a)\) alors :
\(\boxed{\sin(2a)=2sin(a)cos(a)}\)
3- transformation de \(tan(a\pm
b)\)
Soient \((a;b) \in \mathbb{R}²\) sachant que
\(a\neq\frac{\pi}{2}+2k\pi\) et \(b\neq\frac{\pi} {2}+2k\pi\) et
\((a+b)\neq\frac{\pi}{2}+2k\pi\) avec \(k\in\mathbb{Z}\)
- Démontrons que : \(tan(a+b)=\frac{tan(a)+
tan(b)}{1-tan(a).tan(b)}\) avec \(tan(a). tan(b)\neq1\)
On a:
\(tan(a+b)=\frac{sin(a+b)}{cos(a+b)}\)
\(=\frac{sin(a).cos(b)-cos(a).sin(b)}{cos (a)cos(b)-sin(a)sin(b)}\)
\(=\frac{\left(
\frac{sin(a)cos(a)cos(b)}{cos(a)}+\frac{sin(b)cos(a)cos(b)}{cos(b)}
\right)}{cos(a)cos(b)\left( 1-\frac{sin(a)sin(b)}{cos(a)cos(b)} \right)}\)
\(=\frac{cos(a)cos(b)\left(
\frac{sin(a)}{cos(a)}+\frac{sin(b)}{cos(b)} \right)}{cos(a)cos(b)\left(
1-\frac{sin(a)sin(b)}{cos(a)cos(b)} \right)}\)
\(=\frac{\left(
\frac{sin(a)}{cos(a)}+\frac{sin(b)}{cos(b)} \right)}{\left(
1-\frac{sin(a)sin(b)}{cos(a)cos(b)} \right)}\)
\(=\frac{
tan(a)+tan(b) }{ 1-tan(a).tan(b) }\)
Alors: \(\boxed{tan(a+b)=\frac{tan(a)+tan(b)}{ 1-tan(a). tan(b)}}\)
Exemple : calculer \(tan(3a)\):
\(tan(3a)=tan(2a+a)=\frac{tan(2a)+tan(a)}{1-tan(2a)tan(a)}\)
\(=\frac{\frac{2tan(a)}{1-tan²(a)}+tan(a)}{1-\frac{2tan(a)}{1-tan²(a)}tan(a)}\)
\(=\frac{2tan(a)+tan(a)(1-tan²(a))}{1-tan²(a)-2tan(a)tan(a)}\times \left( \frac{1-tan²(a)}{1-tan²(a)} \right)\)
donc:
\(tan(3a)=\frac{3tan(a)-tan^{3}(a)}{1-3tan^{2}(a)}\)
- Démontrons que
: \(tan(a-b)=\frac{tan(a)-tan(b)}{1+tan(a).tan(b)}\) avec
\(tan(a). tan(b)\neq1\)
On a:
\(tan(a-b)=\frac{sin(a-b)}{cos(a-b)}\)
\(=\frac{sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)}{cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)}\)
\(=\frac{\frac{1}{cos(a)cos(b)}\left( sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
\right)}{\frac{1}{càs(a)cos(b)}\left(cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) \right)}\)
\(=\frac{\frac{sin(a)cos(b)}{cos(a)cos(b)}-\frac{cos(a)sin(b)}{cos(a)cos(b)}}{\frac{cos(a)cos(b)}{cos(a)cos(b)}+\frac{sin(a)sin(b)}{cos(a)cos(b)}}\)
\(=\frac{tan(a)-tan(b)}{1+tan(a).tan(b)}\)
Alors:
\(\boxed{tan(a-b)=\frac{tan(a)-tan(b}{1+tan(a).tan(b)}}\)
4-Résumé des
transformations \(cos(a\pm b)\);\(sin(a\pm
b)\) ;\(cos(2a)\);\(sin(2a)\) et \(tan(a\pm b)\) où \(a\) et \(b\) deux réels
|
Expression Transformation |
|
\(cos(a-b)\) = \(cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)\) |
|
\(cos(a+b)\) = \(cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b)\) |
|
\(sin(a-b)\) = \(sin(a)cos(b)−cos(a)sin(b)\) |
|
\(sin(a+b)\) = \(sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)\) |
|
\(cos(2a)\) = \(1−2sin^2(a)\) |
|
\(cos(2a)\) = \(cos^2(a) - \sin^2(a)\) |
|
\(cos(2a)\) = \(2\cos^2(a) - 1\) |
|
\(sin(2a)\) =\(2\sin(a)\cos(a)\) |
|
\(cos^{2}(a)\) =\(\frac{1+cos(2a)}{2}\) |
|
\(sin^{2}(a)\) =\(\frac{1-cos(2a)}{2}\) |
|
\(tan^{2}(a)\) =\(\frac{1-cos(2a)}{1+cos(2a)}\) |
|
\(tan(a+b)\) = \(\frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)tan(b)}\) (avec \(tan(a).tan(b)\neq1\)) |
|
\(tan(a-b)\) = \(\frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a) tan(b)}\) (avec \(tan(a).tan(b)\neq1\)) |
|
\(tan(2a)\) = \(\frac{2tan(a)}{1 - \tan^2(a) }\) (avec \(\left| tan(a) \right|\neq1\)) |
5-Applications
Exercice 1
Calculer
\(cos(\frac{7\pi}{12})\) et \(sin(\frac{7\pi}{12})\)
\(cos(\frac{11\pi}{12})\) et
\(sin(\frac{11\pi}{12})\)
\(tan(\frac{5\pi}{12})\)
Exercice 2
Soit\(x\in
\mathbb{R}\) tel que \(0\lt x\lt
\frac{\pi}{2}\) et \(cos(x)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)
Calculer \(cos(2x)\) en déduire la mesure de
l'angle \(x\)
Exercice 3
Soit
l'expression suivante
\(A(x)=cos(3x)-3sin(x)-3\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})\)
1)
simplifier et calculer :
\( cos(3x) et sin(x+\frac{\pi}{4})\)
2)déduire
la simplification de \(A (x)\)
3)a)
résoudre dans \(\left[-\pi;\pi \right]\) l'équation
\(A(x)=\frac{1}{2}\)
b)
résoudre dans \(\left[-\pi;\pi\right]\) l'inéquation
\(A(x)\lt \frac{1}{2}\)
Exercice 4
Montrer que :
\(\frac{1-cos(\frac{x}{2})}{sin(\frac{x}{2})}=tan(\frac{x}{4})\)
Montrer que:
\(sin(x)=(1+cos(x))tan(\frac{x}{2})\)
6-Transformations des sommes à des produits
Démontrons que:
\(cos(p)+cos(q) =2cos(\frac{p+q}{2})cos(\frac{p-q}{2})\)
On sait que pout tout \((a;b)\in \mathbb{R}^{2}\)
\( cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)\)
\(cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\)
Faisons la somme des deux égalités : \(cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b)\)
On pose
\(\begin{cases} p=a+b \\ q=a-b \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} a=\frac{p+q}{2} \\ b=\frac{p-q}{2} \end{cases}\)
Alors :
\(\boxed{cos(p)+cos(q)=2cos(\frac{p+q}{2})cos(\frac{p-q}{2})}\)
Démontrons que:
\(cos(p)-cos(q) =-2sin(\frac{p+q}{2})sin(\frac{p-q}{2})\)
On sait que pout tout \((a;b)\in \mathbb{R}^{2}\)
\( cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)\)
\(cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\)
Faisons la difference des deux égalités : \(cos(a+b)-cos(a-b)=-2sin(a)sin(b)\)
On pose
\(\begin{cases} p=a+b \\ q=a-b \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} a=\frac{p+q}{2} \\ b=\frac{p-q}{2} \end{cases}\)
Alors :
\(\boxed{cos(p)-cos(q)=-2sin(\frac{p+q}{2})sin(\frac{p-q}{2})}\)
Démontrons que :
\(sin(p)+sin(q) =2sin(\frac{p+q}{2})cos(\frac{p-q}{2})\)
On sait que pout tout \((a;b)\in \mathbb{R}^{2}\)
\( sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)\)
\(sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)\)
Faisons la somme des deux égalités : \(cos(a+b)+cos(a-b)=2sin(a)cos(b)\)
On pose
\(\begin{cases} p=a+b \\ q=a-b \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} a=\frac{p+q}{2} \\ b=\frac{p-q}{2} \end{cases}\)
Alors :
\(\boxed{sin(p)+sin(q)=2sin(\frac{p+q}{2})cos(\frac{p-q}{2})}\)
Démontrons que:
\(sin(p)-sin(q) =2cos(\frac{p+q}{2})sin(\frac{p-q}{2})\)
On sait que pout tout \((a;b)\in \mathbb{R}^{2}\)
\( sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)\)
\(sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)\)
Faisons la différence des deux égalités : \(cos(a+b)-cos(a-b)=2cos(a)sin(b)\)
On pose
\(\begin{cases} p=a+b \\ q=a-b \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} a=\frac{p+q}{2} \\ b=\frac{p-q}{2} \end{cases}\)
Alors :
\(\boxed{sin(p)-sin(q)=2cos(\frac{p+q}{2})sin(\frac{p-q}{2})}\)
Transformation \(a cos(x)+b sin(x)\) \(a\in \mathbb{R}^*\) et \(b\in \mathbb{R}^*\)
\(acos(x)+bsinx =\sqrt{a²+b²}\left(\frac{a}{\sqrt{a²+b²}}cos(a)+\frac{b}{\sqrt{a²+b}}sin(a) \right)\)
sachant que\(\left( \frac{a}{\sqrt{a²+b²}} \right)^{2}+\left( \frac{b}{\sqrt{a²+b²}} \right)^{2}\)\(=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1\)
donc il existe \(\alpha\in \mathbb{R}\) tel que \(\begin{cases} cos(\alpha)=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \\ sin(\alpha)=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\end{cases}\)
Donc :
\(a cos(x)+bsin(x)\)
\(=\sqrt{a^{2}+b^{2}}(cos(x)cos(\alpha)+sin(x)sin(\alpha)\)
\(=\sqrt{a^{2}+b^{2}}(cos(x-\alpha))\)
on pose \(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) alors :
\(acos(x)+bsin(x)=r(cos(x-\alpha))\)
avec\((a;b)\in \mathbb{R}^*\) et \begin{cases}r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\ cos(\alpha)=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \\ sin(\alpha)=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\end{cases}
8-Résumé des transformations sommes en produits et produits en sommes
Expression Transformation |
\(\boxed{cos(p)+cos(q)=2cos(\frac{p+q}{2})cos(\frac{p-q}{2})}\) |
\(\boxed{cos(p)-cos(q)=-2sin(\frac{p+q}{2})sin(\frac{p-q}{2})}\) |
\(\boxed{sin(p)+sin(q)=2sin(\frac{p+q}{2})cos(\frac{p-q}{2})}\) |
\(\boxed{sin(p)-sin(q)=2cos(\frac{p+q}{2})sin(\frac{p-q}{2})}\) |
\(\boxed{cos(a)cos(b)=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)]}\) |
\(\boxed{sin(a)sin(b)=\frac{-1}{2}[cos(a+b)-cos(a-b)]}\) |
\(\boxed{sin(a)cos(b)=\frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)]}\) |
\(\boxed{cos(a)sin(b)=\frac{1}{2}[sin(a+b)-sin(a-b)]}\) |
\(\boxed{cos^{2}(a)=\frac{cos(2a)+1}{2}}\) |
\(\boxed{sin^{2}(a)=\frac{1-cos(2a)}{2}}\) |
\(\boxed{a.cos(x)+b.sin(x)=r(cos(x-\alpha))}\) avec\((a;b)\in \mathbb{R}^*\) et \begin{cases}r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\ cos(\alpha)=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \\ sin(\alpha)=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\end{cases} |
9-Applications
Exercice 1
Calculer:
\(sin\frac{\pi}{7}sin\frac{\pi}{5}-cos\frac{\pi}{7}sin\frac{\pi}{5}\)
\(cos\frac{\pi}{12}cos\frac{5\pi}{12}-sin\frac{\pi}{12}sin\frac{5\pi}{12}\)
Exercice 2
Soient \((\alpha;\beta)\in \mathbb{R}^{2}\)tel que \(0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\) et \(0\lt \beta\lt \frac{\pi}{2}\)
Calculer \(sin(\alpha) ;cos(\beta)\) et \(\alpha+\beta\) sachant que \(cos(\alpha)=\frac{8}{17}\) et \(sin(\beta)=\frac{21}{29}\)
Exercice 3
Calculer \(cos(2\alpha)\) et \(sin(2\alpha)\) dans les cas suivant:
\(cos(\alpha)=\frac{2}{3}\) et \(sin(\alpha)=\frac{1}{3}\)
\(sin(\alpha)=\frac{3}{4}\) et \(sin(\alpha)=\frac{-\sqrt{2}}{4}\)
\(sin(\alpha)\frac{-1}{\sqrt{3}}\) et \(\frac{-\pi}{2}\le \alpha\le \frac{\pi}{2}\)
Exercice 4
Soit \(x \in \mathbb{R}\) tel que \(cos(x)-sin(x\neq )0\) et \(1-sin(2x)\neq 0\)
1)montrer que :
\(\frac{cos(x)+sin(x)}{cos(x)-sin(x)}=\frac{cos(2x)}{1-sin(2x)}\)
En déduire :
\(tan\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}\)
2) soient \((x;y)\in \mathbb{R}^{2}\)transformer en produit les expressions suivantes :
a)\(1-cos(2x)+cos(3x)-cos(5x)\)
b) \(sin^{2}(2x)-sin^{2}(\frac{x}{2})\)
c) \(\frac{cos(x)-cos(y)}{tan(x)+tan(y)}\)
Simplifier l’expression suivante
\(\frac{1+co^{2}(x)}{1-cos(2x)}\)
Commentaires
Enregistrer un commentaire