Exercices corrigés : systèmes d’équations

Exercice 1 :

Le couple (2,3) est-il solution du système :

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $$

▶ Voir la solution détaillée

$$ \bbox[orange, 8px, border: 2px solid black]{solution )}$$

On remplace $x = 2$ et $y = 3$ dans le système :

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $$

Première équation :

$$ 2 + 3 = 5 \quad \Rightarrow \quad 5 = 5 \; \text{(vrai)} $$

Deuxième équation :

$$ 2 \times 2 - 3 = 4 - 3 = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 = 1 \; \text{(vrai)} $$

Les deux équations sont vérifiées.

Conclusion : Le couple $(2,3)$ est solution du système.

Exercice 2 :

Résous par la méthode de substitution les systèmes suivants :

$$ \begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - y = 5 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 3x - y = 2 \\ x + 2y = 7 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 2x - 4y = 2 \end{cases} $$

▶ Voir la solution détaillée

$$ \bbox[orange, 8px, border: 2px solid black]{solution 2.1)}$$

On a :

$$ \begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - y = 5 \end{cases} $$

exprimons $x$ en foction de $y$ on a :$x + y = 4 \Rightarrow x = 4 - y$

On remplace dans la deuxième équation $x$ par $(4-y)$:

$$ 2(4 - y) - y = 5 $$ $$ 8 - 2y - y = 5 \Rightarrow 8 - 3y = 5 \Rightarrow -3y = -3 \Rightarrow y = 1 $$ $$ x = 4 - 1 = 3 $$

Solution : $(3,1)$

$$ \bbox[orange, 8px, border: 2px solid black]{solution 2.2)}$$

On a :

$$ \begin{cases} 3x - y = 2 \\ x + 2y = 7 \end{cases} $$ $$ 3x - y = 2 \Rightarrow y = 3x - 2 $$

On remplace dans la deuxième équation $y$ par $(3x-2)$ :

$$ x + 2(3x - 2) = 7 $$ $$ x + 6x - 4 = 7 \Rightarrow 7x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{7} $$ $$ y = 3x - 2 = \frac{33}{7} - \frac{14}{7} = \frac{19}{7} $$

Solution : $\left(\frac{11}{7}, \frac{19}{7}\right)$

$$ \bbox[orange, 8px, border: 2px solid black]{solution 2.3)}$$

On a :

$$ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 2x - 4y = 2 \end{cases} $$ $$ x - 2y = 1 \Rightarrow x = 1 + 2y $$

On remplace dans la deuxième équation $x$ par$1+2y$:

$$ 2(1 + 2y) - 4y = 2 $$ $$ 2 + 4y - 4y = 2 \Rightarrow 2 = 2 $$

Cette égalité est toujours vraie, donc il y a une infinité de solutions.

Solution : $S = \{(1 + 2y, y) \mid y \in \mathbb{R}\}$

Exercice 3 :

Résous par la méthode de la combinaison linéaire les systèmes suivants :

$$ \begin{cases} 3x + y = 7 \\ -6x - 2y = -14 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 4x + 6y = 8 \\ 2x + 3y = 4 \end{cases} $$

▶ Voir la solution détaillée

$$ \bbox[orange, 8px, border: 2px solid black]{solution 3.1 )}$$

On a :

$$ \begin{cases} 3x + y = 7 \\ -6x - 2y = -14 \end{cases} $$

On multiplie la première équation par 2 :

on obtient :

$$ \begin{cases} 6x + 2y = 14 \\ -6x - 2y = -14 \end{cases} $$

On additionne avec la deuxième équation :

$$ (6x + 2y) + (-6x - 2y) = 14 + (-14) $$ $$ 0 = 0 $$

Cette égalité est toujours vraie, donc il y a une infinité de solutions.

Solution : $S = \{(x,y) \mid 3x + y = 7\}$

$$ \bbox[orange, 8px, border: 2px solid black]{solution 3.2 )}$$

On a :

$$ \begin{cases} 4x + 6y = 8 \\ 2x + 3y = 4 \end{cases} $$

On multiplie la deuxième équation par 2 :

on obtient :

$$ \begin{cases} 4x + 6y = 8 \\ 4x + 6y = 8 \end{cases} $$

On soustrait les deux équations :

$$ (4x + 6y) - (4x + 6y) = 8 - 8 $$ $$ 0 = 0 $$

Cette égalité est toujours vraie, donc il y a une infinité de solutions.

Solution : $S = \{(x,y) \mid 2x + 3y = 4\}$

Exercice 4 :

Résous graphiquement les systèmes suivants :

$$ \begin{cases} x + y - 2 = 0 \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 2x + y - 3 = 0 \\ 4x + 2y - 6 = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} -2x - y = -4 \\ 4x + 2y + 3 = 0 \end{cases} $$

▶ Voir la solution détaillée

$$ \bbox[orange, 8px, border: 2px solid black]{solution 4.1 )}$$

$$\begin{cases} x + y - 2 = 0 \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases} $$

Résolution Graphique du Système

On résout le système suivant :

Pour chaque équation on exprime 𝑦 en fonction de 𝑥, et on obtient : :
$\begin{cases} x + y - 2 = 0 \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} y = -x + 2 \\ y = 2x - 1 \end{cases}$
Dans un repère on trace les deux droites ($𝐷_1$) d’équation : $𝑦=4𝑥−2$, et ($𝐷_2)$ d’équation :$ 𝑦=2𝑥+2$
.
Pour $(𝐷_1) :𝑥_𝐴=0 ⟹ 𝑦_𝐴=2- x_𝐴=2−0=2$

$𝑥_𝐵=2 ⟹ 𝑦_𝐵=2-x_𝐵=2−2=0$ donc la droite $(𝐷_1)$ passe par les points $A(0;2)$ et $B(2;0)$

Pour $(𝐷_2) :𝑥_C=0 ⟹ 𝑦_𝐴=2x_C- 1=0−1=-1$

$𝑥_D=\frac{1}{2} ⟹ 𝑦_D=2x_𝐵-1=2\frac{1}{2}−1=0$

donc la droite $(𝐷_2)$ passe par les points $A(0;-1)$ et $B(\frac{1}{2};0)$

on trace les deux droites de d'équation $y = -x + 2$ et $y = 2x - 1$

le Point d'intersection B(1, 1)des deux droites est la solution :

$$ S = \{ (1, 1) \} $$

$$ \bbox[orange, 8px, border: 2px solid black]{solution: 4.2)} \begin{cases} 2x + y - 3 = 0 \\ 4x + 2y - 6 = 0 \end{cases} $$

Pour chaque équation on exprime 𝑦 en fonction de 𝑥, et on obtient : :

\[ \begin{cases} 2x + y - 3 = 0 \\ 4x + 2y - 6 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -2x + 3 \\ y = -2x + 3 \end{cases} \] ces deux équations sont égaux

Interprétation : Les deux équations définissent la même droite. Le système admet une infinité de solutions.

$ S = \{ (x ; -2x + 3) \mid x \in \mathbb{R} \} $

Graphiquement : les deux droites sont confondues

$$ \bbox[orange, 8px, border: 2px solid black]{solution4.3)} $$
$$ \begin{cases} -2x - y = -4 \\ 4x + 2y + 3 = 0 \end{cases}$$

Système sans Solution (Droites Parallèles)

Transformation du système :
\[ \begin{cases} -2x - y = -4 \\ 4x + 2y + 3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -2x + 4 \quad \color{blue}{(d_1)} \\ y = -2x - 1.5 \quad \color{red}{(d_2)} \end{cases} \]

Analyse graphique :

Les deux droites ont le même coefficient directeur ($a = -2$)mais les ordonnées à l'origine sont différentes. Elles sont donc parallèles et distinctes.

$ S = \emptyset $ (L'ensemble vide)

Exercice 5 :

Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ sachant que le couple (1,2) soit solution du système :

$$ \begin{cases} ax + y = 4 \\ 2x - by = 0 \end{cases} $$

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On remplace $x = 1$ et $y = 2$ dans le système :

$$ \begin{cases} ax + y = 4 \\ 2x - by = 0 \end{cases} $$

Première équation :

$$ a(1) + 2 = 4 \Rightarrow a + 2 = 4 \Rightarrow a = 2 $$

Deuxième équation :

$$ 2(1) - b(2) = 0 \Rightarrow 2 - 2b = 0 \Rightarrow 2b = 2 \Rightarrow b = 1 $$

Conclusion : $a = 2$ et $b = 1$.

Exercice 6 :

1) Résous le système suivant :

$$ (S) : \begin{cases} 4x + y = 46 \quad (1) \\ 6x + 5y = 130 \quad (2) \end{cases} $$

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1. Résolution du système d'équations

On considère le système suivant :

$$ (S) : \begin{cases} 4x + y = 46 \quad (1) \\ 6x + 5y = 130 \quad (2) \end{cases} $$

1. Expression de $y$ :
D'après (1) : $$ y = 46 - 4x $$

2. Substitution dans (2) :
$$ 6x + 5(46 - 4x) = 130 $$ $$ 6x + 230 - 20x = 130 $$ $$ -14x = 130 - 230 $$ $$ -14x = -100 $$ $$ x = \frac{-100}{-14} \approx \mathbf{7,14} $$

3. Calcul de $y$ :
$$ y = 46 - 4(7,14) = 46 - 28,56 = \mathbf{17,44} $$

Les solutions sont maintenant positives :
$$ S = \{ (7,14 \ ; \ 17,44) \} $$

Exercice 7 :

Dans un marché local, deux clients achètent des fruits au même étal :

🛒 Ahmed a payé 46 DH pour l'achat de 4 kg de bananes et 1 kg de pommes.
🛒 Karim a payé 110 DH pour l'achat de 6 kg de bananes et 5 kg de pommes.

Déterminer le prix d'un kilogramme de bananes et celui d'un kilogramme de pommes.

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1. Choix des inconnues :
Soit $x$ le prix du kg de bananes et $y$ le prix du kg de pommes.

2. Mise en système :
$$ \begin{cases} 4x + y = 46 \quad (1) \\ 6x + 5y = 110 \quad (2) \end{cases} $$

3. Résolution :
De (1), on tire : $ y = 46 - 4x $.
En remplaçant dans (2) :
$ 6x + 5(46 - 4x) = 110 $
$ 6x + 230 - 20x = 110 $
$ -14x = -120 $
$ x = \frac{-120}{-14} \approx 8,5 $ DH (pour les bananes).

Résultat final :
Prix des bananes : 8,57 DH/kg
Prix des pommes : 11,71 DH/kg