1) Définitions
✔ Fonction majorée
Une fonction \( f(x) \) est dite majorée sur un intervalle \( I \) s'il existe un réel \( M \) tel que pour tout \( x \in I \), \( f(x) \leq M \).
Exemple : \( f(x) = -x^2 \) (maximale à 0).
✔ Fonction minorée
Une fonction \( f(x) \) est dite minorée sur un intervalle \( I \) s'il existe un réel \( m \) tel que pour tout \( x \in I \), \( f(x) \geq m \).
Exemple : \( f(x) = x^2 \) (minimale à 0).
✔ Fonction bornée
Une fonction \( f(x) \) est dite bornée sur un intervalle \( I \) si elle est à la fois majorée et minorée.
Exemple : \( f(x) = \sin(x) \) (bornée entre -1 et 1).
2) Extremums d’une fonction
✔ Maximum local
Un point \( x_0 \) est un maximum local si \( f(x_0) \geq f(x) \) pour tout \( x \) proche de \( x_0 \).
Exemple : \( f(x) = -x^2 + 4 \) (en \( x = 0 \)).
✔ Minimum local
Un point \( x_0 \) est un minimum local si \( f(x_0) \leq f(x) \) pour tout \( x \) proche de \( x_0 \).
Exemple : \( f(x) = x^2 - 4 \) (en \( x = 0 \)).
✔ Maximum global
La fonction \( f(x) \) atteint un maximum global en \( x_0 \) si \( f(x_0) \geq f(x) \) pour tout \( x \in I \).
Exemple : \( f(x) = -x^2 \) (maximum global à 0).
✔ Minimum global
La fonction \( f(x) \) atteint un minimum global en \( x_0 \) si \( f(x_0) \leq f(x) \) pour tout \( x \in I \).
Exemple : \( f(x) = x^2 \) (minimum global à 0).
3) Remarque importante
Les extremums sont souvent déterminés grâce aux dérivées :
- \( f'(x_0) = 0 \)
- \( f''(x_0) > 0 \) → minimum
- \( f''(x_0) < 0 \) → maximum
On peut aussi étudier les bornes d’un intervalle pour déterminer les extremums globaux.
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