1) Définition
Une fonction f(x) est dite périodique s’il existe un réel T > 0 (appelé période) tel que pour tout \( x \in \mathbb{R} \) :
\( f(x+T)=f(x) \)
Autrement dit, la fonction se répète identiquement tous les \( T \) unités.
Exemples :
- \( \sin(x) \) et \( \cos(x) \) sont périodiques de période \( 2\pi \)
- \( f(x)=5 \) est périodique (toute période \( T>0 \))
- \( f(x)=\lfloor x \rfloor \) est périodique de période \( 1 \)
2) Propriétés des fonctions périodiques
- Période : \( T \) est la plus petite valeur telle que \( f(x+T)=f(x) \)
- Répétition : la fonction se répète sur chaque intervalle de longueur \( T \)
- Symétrie : une fonction périodique peut être paire ou impaire
\( f(-x)=f(x) \) (paire) ou \( f(-x)=-f(x) \) (impaire)
---3) Exemple 1 : \( f(x)=\sin(x) \)
- Période : \( \sin(x+2\pi)=\sin(x) \)
- Symétrie : \( \sin(-x)=-\sin(x) \)
- Bornes : \( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \)
Donc :
- majorée par \( 1 \)
- minorée par \( -1 \)
- bornée sur \( \mathbb{R} \)
Extremums :
- Maximum : \( \sin(x)=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \)
- Minimum : \( \sin(x)=-1 \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \)
4) Exemple 2 : \( f(x)=1-(x-\lfloor x \rfloor) \)
- Période : \( f(x+1)=f(x) \)
- Bornes : \( 0 \leq f(x) \leq 1 \)
Donc :
- majorée par \( 1 \)
- minorée par \( 0 \)
- bornée sur \( [0,1] \)
Extremums :
- Maximum : \( 1 \) pour \( x \in \mathbb{Z} \)
- Infimum : \( 0 \)
graphe
Remarque : la fonction n’est ni paire ni impaire.
Conclusion
Une fonction périodique vérifie \( f(x+T)=f(x) \), ce qui permet d’étudier son comportement sur un seul intervalle puis de le répéter sur tout \( \mathbb{R} \).
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