IV. Taux d’accroissement
Le taux d’accroissement est un outil fondamental pour étudier la variation d’une fonction sur un intervalle.
1) Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle [a,b].et (\(x,y)\in([a,b])^2\) sachant que 𝒙≠𝒚
Le taux d'accroissement de la fonction \(f\) entre \(x \) et \(y \) est défini par la formule :
\(\text{Taux d'accroissement} = \frac{f(x) - f(y)}{x - y}\)
Il représente la variation moyenne de la fonction entre deux points.
2) Interprétation géométrique
Le taux d’accroissement correspond à la pente de la droite sécante reliant les points (x, f(x)) et (y, f(y)).
Plus la valeur est grande, plus la fonction varie rapidement.
Exemple
Soit \( f(x) = x^2 +1 \) et calculons son taux d'accroissement entre \( x = 1 \) et \( y = 3 \).
f(1) = 2
f(3) = 10
\[Taux =\frac{f(1) - f(3)}{1 - 3} = \frac{2 - 10}{1 - 3} = \frac{-8}{-2} = 4\]
✔️ Donc la fonction augmente en moyenne de 4 unités.
3) Liens avec la dérivée
Pente de la droite tangente
Le taux d'accroissement entre deux points peut être vu comme une approximation de la dérivée. Lorsque \( y \to x \), il devient le taux de variation instantané :
\[ f'(x) = \lim_{y \to x} \frac{f(y) - f(x)}{y - x} \]
Cela représente la pente de la tangente à la courbe en \( x \).
Exemple
\( f(x) = x^2 + 1 \), calcul en \( x = 1 \)
\[ \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = 2 + h \]
Quand \( h \to 0 \) :
\[ f'(1) = 2 \]
Remarque
- Le taux d'accroissement mesure une variation sur un intervalle
- La dérivée mesure la variation instantanée
- Si l'intervalle est petit, le taux approxime la dérivée
4) Propriétés du taux d'accroissement
Définition
\[ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \]
Propriétés
- Symétrie : inverser \(x\) et \(y\) change le signe
- Fonction linéaire : si \( f(x)=ax+b \), alors le taux vaut \( a \)
- Sens de variation :
- > 0 : fonction croissante
- < 0 : fonction décroissante
- = 0 : fonction constante
Lien avec la dérivée
\[ f'(x)=\lim_{y \to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x} \]
La dérivée est la limite du taux d'accroissement.
Théorème des accroissements finis
Il existe \( m \in ]x,y[ \) tel que :
\[ f'(m)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x} \]
5) Applications
- Calcul de pente (droite sécante)
- Approximation de la dérivée
- Étude du sens de variation
Le taux d'accroissement permet d'étudier l'évolution d'une fonction sur un intervalle.
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