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EXERCICE suites numériques

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Exercice 1 : 

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2 \]

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$. La suite est-elle arithmétique ou géométrique ?
  2. On pose la suite auxiliaire $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 3$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  3. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
  4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ quand $n \to +\infty$.
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1. Calculs :
$u_1 = \frac{1}{3}(5) + 2 = \frac{11}{3} \approx 3,67$
$u_2 = \frac{1}{3}(\frac{11}{3}) + 2 = \frac{11}{9} + \frac{18}{9} = \frac{29}{9} \approx 3,22$.
$u_1 - u_0 \neq u_2 - u_1$ et $u_1/u_0 \neq u_2/u_1$ : la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

2. Nature de $(v_n)$ :
$v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = (\frac{1}{3}u_n + 2) - 3 = \frac{1}{3}u_n - 1$.
En factorisant par la raison potentielle : $v_{n+1} = \frac{1}{3}(u_n - 3) = \frac{1}{3}v_n$.
$(v_n)$ est géométrique de raison $q = 1/3$ et $v_0 = u_0 - 3 = 5 - 3 = 2$.

3. Forme explicite :
$v_n = v_0 \times q^n = 2 \times (\frac{1}{3})^n$.
Comme $v_n = u_n - 3$, alors $u_n = 2 \times (\frac{1}{3})^n + 3$.

4. Limite :
Comme $|1/3| < 1$, $\lim_{n \to +\infty} (1/3)^n = 0$.
D'où $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2 \times 0 + 3 = \mathbf{3}$.

Exercice 2 : 

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q = 3$.

  1. Calculer la somme $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n$ en fonction de $n$.
  2. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_n \geq 1000$.
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1. Formule de la somme :
$S_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 1 \times \frac{1 - 3^{n+1}}{1 - 3} = \frac{1 - 3^{n+1}}{-2} = \mathbf{\frac{3^{n+1} - 1}{2}}$.

2. Résolution de l'inéquation :
$\frac{3^{n+1} - 1}{2} \geq 1000 \implies 3^{n+1} - 1 \geq 2000 \implies 3^{n+1} \geq 2001$.
Par essais successifs ou logarithme :
$3^6 = 729$ (trop petit)
$3^7 = 2187$ (convient).
On a donc $n+1 = 7$, soit $n = 6$.

Exercice 3 : 

On considère deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0 = 1, v_0 = 2$ et pour tout $n$ : \[ u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2} \quad \text{et} \quad v_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3} \] On pose $w_n = v_n - u_n$.

  1. Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $1/6$.
  2. En déduire la limite de la différence entre les deux suites.
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1. Nature de $(w_n)$ :
$w_{n+1} = v_{n+1} - u_{n+1} = \left(\frac{u_n + 2v_n}{3}\right) - \left(\frac{u_n + v_n}{2}\right)$.
Mise au même dénominateur (6) :
$w_{n+1} = \frac{2u_n + 4v_n - 3u_n - 3v_n}{6} = \frac{v_n - u_n}{6} = \frac{1}{6}w_n$.
La suite $(w_n)$ est géométrique de raison $q = 1/6$.

2. Limite :
Comme $|1/6| < 1$, $\lim_{n \to +\infty} w_n = 0$.
Cela signifie que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ se rapprochent jusqu'à se confondre à l'infini.

Exercice 4 :

Une population de bactéries augmente de $20\%$ toutes les heures, mais $500$ bactéries meurent à cause d'un traitement à chaque fin d'heure. On note $b_n$ le nombre de bactéries après $n$ heures ($b_0 = 3000$).

  1. Justifier que $b_{n+1} = 1,2b_n - 500$.
  2. Déterminer le seuil critique $L$ tel que si $b_n = L$, la population reste constante.
  3. Si $b_0 = 3000$, la population va-t-elle s'éteindre ou proliférer ?
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1. Relation : Augmenter de $20\%$ revient à multiplier par $1,2$. Le retrait de $500$ donne bien $1,2b_n - 500$.

2. Seuil critique (Point fixe) : On résout $L = 1,2L - 500$.
$500 = 0,2L \implies L = 500 / 0,2 = \mathbf{2500}$.

3. Conclusion : Comme $b_0 = 3000$ (supérieur au seuil de $2500$) et que la raison $1,2 > 1$, la population va proliférer vers $+\infty$.

Exercice 5 :

Calculer la somme de tous les nombres entiers multiples de $7$ compris entre $100$ et $500$.

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1. Identifier les termes :
Le premier multiple de $7$ après $100$ est $105$ ($7 \times 15$).
Le dernier multiple de $7$ avant $500$ est $497$ ($7 \times 71$).

2. Nombre de termes :
On passe de $k=15$ à $k=71$. Le nombre de termes est $71 - 15 + 1 = \mathbf{57}$.

3. Calcul de la somme :
$S = \frac{\text{nb termes}}{2}(\text{1er} + \text{dernier}) = \frac{57}{2}(105 + 497) = \frac{57 \times 602}{2} = 57 \times 301 = \mathbf{17157}$.

Exercice 6 : 

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{5u_n}{2u_n + 5}$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$ sous forme de fractions irréductibles.
  2. On admet que pour tout $n$, $u_n > 0$. On pose $v_n = \frac{1}{u_n}$.
    Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = \frac{2}{5}$.
  3. Exprimer $v_n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
  4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
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1. Calculs :
$u_1 = \frac{5(1)}{2(1)+5} = \frac{5}{7}$
$u_2 = \frac{5(5/7)}{2(5/7)+5} = \frac{25/7}{10/7 + 35/7} = \frac{25/7}{45/7} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9}$.

2. Nature de $(v_n)$ :
$v_{n+1} - v_n = \frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n} = \frac{2u_n + 5}{5u_n} - \frac{1}{u_n} = \frac{2u_n + 5 - 5}{5u_n} = \frac{2u_n}{5u_n} = \frac{2}{5}$.
La suite $(v_n)$ est donc arithmétique de raison $r = 2/5$ et $v_0 = 1/u_0 = 1$.

3. Formes explicites :
$v_n = v_0 + nr = 1 + \frac{2}{5}n = \frac{5 + 2n}{5}$.
Comme $u_n = 1/v_n$, on a $u_n = \frac{5}{2n + 5}$.

4. Limite :
$\lim_{n \to +\infty} (2n + 5) = +\infty$, donc par quotient : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Exercice 7 : 

Un épargnant dépose $1000$€ sur un compte rémunéré à $4\%$ par an. Chaque année, il retire $50$€ pour ses frais.

  1. On note $C_n$ le capital après $n$ années. Justifier que $C_{n+1} = 1,04C_n - 50$.
  2. Calculer $C_1$ et $C_2$.
  3. Soit $(w_n)$ définie par $w_n = C_n - 1250$. Montrer que $(w_n)$ est géométrique.
  4. Au bout de combien d'années le capital sera-t-il épuisé ($C_n \leq 0$) ?
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1. Justification : Ajouter $4\%$ revient à multiplier par $1,04$. Le retrait de $50$€ donne $1,04C_n - 50$.

2. Calculs : $C_1 = 1,04(1000) - 50 = 990$€ ; $C_2 = 1,04(990) - 50 = 979,6$€.

3. Nature de $(w_n)$ : $w_{n+1} = C_{n+1}-1250 = 1,04C_n - 50 - 1250 = 1,04C_n - 1300$.
En factorisant par $1,04$ : $w_{n+1} = 1,04(C_n - 1250) = 1,04w_n$.
Suite géométrique de raison $q = 1,04$ et $w_0 = 1000-1250 = -250$.

4. Temps d'épuisement : $C_n = w_n + 1250 = -250 \times (1,04)^n + 1250$.
$C_n \leq 0 \implies 1250 \leq 250 \times 1,04^n \implies 5 \leq 1,04^n$.
Par tâtonnement : $1,04^{41} \approx 4,99$ et $1,04^{42} \approx 5,19$.
Le capital sera épuisé après 42 ans.

Exercice 8 : 

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ telle que : \[ \begin{cases} u_1 + u_2 + u_3 = 9 \\ u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 35 \end{cases} \]

  1. En utilisant la propriété de la moyenne arithmétique, déterminer $u_2$.
  2. En déduire deux valeurs possibles pour la raison $r$.
  3. Pour $r > 0$, exprimer la somme $S_n = \sum_{k=1}^n u_k$.
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1. Calcul de $u_2$ :
On sait que $u_1 + u_3 = 2u_2$.
L'équation 1 devient : $(u_1 + u_3) + u_2 = 9 \implies 2u_2 + u_2 = 9 \implies 3u_2 = 9 \implies \mathbf{u_2 = 3}$.

2. Calcul de la raison $r$ :
On a $u_1 = 3-r$ et $u_3 = 3+r$.
L'équation 2 devient : $(3-r)^2 + 3^2 + (3+r)^2 = 35$
$9 - 6r + r^2 + 9 + 9 + 6r + r^2 = 35 \implies 27 + 2r^2 = 35 \implies 2r^2 = 8 \implies r^2 = 4$.
Les valeurs possibles sont $r = 2$ ou $r = -2$.

3. Somme $S_n$ (pour $r=2$) :
Si $r=2$, alors $u_1 = 3-2 = 1$.
$u_n = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$.
$S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) = \frac{n}{2}(1 + 2n - 1) = \frac{n(2n)}{2} = \mathbf{n^2}$.

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