Partie 2 : suites géométriques

I. Définition

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme (après le premier) est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante $q$, appelée raison.

Formellement : \[ v_{n+1} = q \cdot v_n \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \]

Exemple :

Prenons la suite $(v_n)$ définie par $v_n = 2 \cdot 3^n$.

Cette suite est géométrique de raison $q = 3$. Chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par $3$.

Vérification : $ v_{n+1} = 2 \cdot 3^{n+1} = 2 \cdot 3^n \cdot 3 = 3 \cdot v_n $.

II. Propriétés

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_0 \neq 0$ :

Forme récurrente : \[ \forall n \geq 0 : v_{n+1} = v_n \times q \]
Forme explicite (en fonction de $n$) : \[ v_n = v_0 \times q^n \]
Cette forme permet d'identifier immédiatement les éléments caractéristiques ($v_0$ et $q$).

Relations remarquables :

Relation entre deux termes quelconques : \[ \forall n, p \geq 0 : v_n = v_p \times q^{n-p} \]
Moyenne géométrique : Pour tout terme (à partir de l'indice $n \geq p$) : \[ v_{n+1}^2 = v_n \times v_{n+2} \]

Remarques sur les formes et les variations

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q \neq 0$ :

Selon le premier terme :
- Si $p=0$ : $v_n = v_0 q^n$
- Si $p=1$ : $v_n = v_1 q^{n-1}$
Sens de variation (pour $v_0 > 0$) :
- Si $q > 1$, la suite $(v_n)$ est croissante.
- Si $0 < q < 1$, la suite $(v_n)$ est décroissante.

III. La somme $S_n$

La somme des termes d’une suite géométrique est donnée par :

\[ S_n = v_p \cdot \frac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q} \quad (q \neq 1) \]

Si $q=1$, la suite est constante et la somme de $(n-p+1)$ termes est :

\[ S_n = (n-p+1) \cdot v_p \]

Démonstration :

On pose la somme :

\[ S_n = v_p + v_{p+1} + \dots + v_n \]

En multipliant par $q$ :

\[ qS_n = qv_p + qv_{p+1} + \dots + qv_n \] \[= v_{p+1} + v_{p+2} + \dots + v_{n+1} \]

Par soustraction membre à membre ($S_n - qS_n$), les termes intermédiaires s'annulent :

\[ S_n(1 - q) = v_p - v_{n+1} \]

Comme $v_{n+1} = v_p \times q^{n-p+1}$, on obtient :

\[ S_n(1 - q) = v_p (1 - q^{n-p+1}) \]

D'où, pour $q \neq 1$ :

\[\color{red}\boxed{ S_n = v_p \times \frac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}} \]

Remarques sur la notation Sigma $\sum$

La somme s'interprète toujours comme :

S_n = \sum_{i=p}^{n} v_i = \text{1er terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}

Cas usuels selon les bornes :

De $0$ à $n$ ($n+1$ termes) : \[ \sum_{i=0}^{n} v_i = v_0 + v_1 + \dots + v_n = v_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \]
De $0$ à $n-1$ ($n$ termes) : \[ \sum_{i=0}^{n-1} v_i = v_0 + v_1 + \dots + v_{n-1} = v_0 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (\forall n \in \mathbb{N}^*) \]
De $1$ à $n$ ($n$ termes) : \[ \sum_{i=1}^{n} v_i = v_1 + v_2 + \dots + v_n = v_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

Exemple d'application

Soit la suite géométrique $v_n = 2 \cdot 3^n$. Calculons les sommes classiques :

Somme des $n$ premiers termes (de $v_0$ à $v_{n-1}$) : \[ \sum_{i=0}^{i=n-1}v_{i}=v_0+v_1+\cdots+v_{n-1} = S_n = 2 \cdot \frac{1 - 3^n}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{3^n - 1}{2} = 3^n - 1 \]
Somme des $n+1$ premiers termes (de $v_0$ à $v_n$) : \[ \sum_{i=0}^{i=n}v_{i} = S_n = 2 \cdot \frac{1 - 3^{n+1}}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{3^{n+1} - 1}{2} = 3^{n+1} - 1 \]

IV.Récapitulatif

Catégorie	Propriété / Cas	Formule
Définition	Relation de récurrence	$v_{n+1} = v_n \times q$
Forme Explicite	Terme général (depuis $v_p$)	$v_n = v_p \times q^{n-p}$
Moyenne Géo.	Entre 3 termes consécutifs	$v_{n+1}^2 = v_n \times v_{n+2}$
raison	calcul de la raisons	$q= \frac{u_n+1}{u_n}$ avec ($u_n\neq 0$)
Variations ($v_0 > 0$)	Croissante	$q > 1$
Variations ($v_0 > 0$)	Décroissante	$0 \lt q\lt 1$
Sommes ($\sum$)	Pour $q \neq 1$ (Générale)	$S = v_{p} \times \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$
	De $0$ à $n$ ($n+1$ termes)	$v_0 \times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
	De $1$ à $n$ ($n$ termes)	$v_1 \times \frac{1-q^{n}}{1-q}$
	De $0$ à $n-1$ ($n$ termes)	$v_0 \times \frac{1-q^{n}}{1-q}$

V. Comportement et caractéristiques des suites géométriques

Le comportement d'une suite géométrique dépend exclusivement de sa raison $q$ :

Si $|q| < 1$ : La suite converge vers $0$.
(Note : Si $-1 < q < 0$, la suite est alternée mais converge tout de même vers $0$).
Si $q = 1$ : La suite est constante. Tous les termes sont égaux à $v_0$. Elle converge vers $v_0$.
Si $q > 1$ : La suite est monotone (croissante si $v_0 > 0$) et diverge vers $\pm\infty$. \[ \lim_{n \to +\infty} v_n = \begin{cases} +\infty & \text{si } v_0 > 0 \\ -\infty & \text{si } v_0 < 0 \end{cases} \]
Si $q \leq -1$ : La suite est divergente. Elle oscille sans admettre de limite.

Exemples d'application

Convergence (Atténuation ): Soit \[ w_n = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \] Comme \[ \left|\frac{1}{2}\right| < 1 \] alors : \[ \lim_{n \to +\infty} w_n = 0 \]
Suite constante (Stagnation): Soit \[ z_n = 4 \] La raison est $q = 1$. La suite reste égale à $4$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Divergence : Soit \[ u_n = 3 \times 2^n \] Comme $q = 2 > 1$, la suite diverge vers $+\infty$.

VI - Limites d’une suite numérique

5.1. Limite finie d'une suite

Une suite $(u_n)$ admet une limite finie $L$ si les termes de la suite deviennent aussi proches de $L$ que l'on veut à partir d'un certain rang.

Définition formelle : \[ \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N \implies |u_n - L| < \varepsilon \] On note alors : $ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = L $.

5.2. Limite infinie d’une suite

Une suite $(u_n)$ admet une limite infinie si ses termes dépassent n'importe quelle valeur $M$ à partir d'un certain rang.

Définition formelle ($+\infty$) : \[ \forall M > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N \implies u_n > M \] On note alors : $ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty $.

5.3.Exemples fondamentaux

Convergence : Soit $ u_n = \frac{1}{n} $.
Cette suite converge vers $0$ : $ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 $.
Divergence : Soit $ v_n = n $.
Cette suite tend vers l'infini : $ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} n = +\infty $.

Exemples de référence

Limite finie : Soit $u_n = \frac{1}{n}$. Cette suite converge vers $0$ : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \]
Limite infinie : Soit $v_n = n$. Cette suite tend vers $+\infty$ : \[ \lim_{n \to +\infty} n = +\infty \]

VII - Opérations sur les limites

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergentes vers les réels $L$ et $L'$. On a les propriétés suivantes :

Somme : \[ \lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = \lim_{n \to +\infty} u_n + \lim_{n \to +\infty} v_n = L + L' \]
Produit : \[ \lim_{n \to +\infty} (u_n \cdot v_n) = \left(\lim_{n \to +\infty} u_n\right) \cdot \left(\lim_{n \to +\infty} v_n\right) = L \cdot L' \]
Quotient : (si $L' \neq 0$) : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{\lim_{n \to +\infty} u_n}{\lim_{n \to +\infty} v_n} = \frac{L}{L'} \]

VIII- Convergence et divergence d'une suite

1. Convergence

Une suite est convergente si elle admet une limite finie $L$.

\lim_{n \to +\infty} u_n = L \iff \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n - L| < \varepsilon

Théorèmes de convergence :

Toute suite monotone et bornée converge.
Si $(u_n)$ est croissante et majorée, alors elle converge.
Si $(u_n)$ est décroissante et minorée, alors elle converge.

Exemple : Soit $w_n = 2 + \frac{1}{n}$.

Cette suite converge vers $2$ car $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$.

2. Divergence

Une suite est divergente si elle n'admet pas de limite finie. Cela inclut les suites qui tendent vers l'infini et celles qui n'ont aucune limite (suites oscillantes).

Cas de divergence vers l'infini :

Si $(u_n)$ est croissante et non majorée, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
Si $(u_n)$ est décroissante et non minorée, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Négation de la convergence (Définition formelle) :

\[ \forall L \in \mathbb{R}, \exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n \geq N, |u_n - L| \geq \varepsilon \]

3. Théorème de la limite monotone

Une suite monotone et bornée est convergente.
Une suite monotone et non bornée est divergente (elle tend vers $\pm \infty$).

IX - Suites particulières

1. Suite de la forme $u_n = q^n$ ($q \in \mathbb{R}$)

C'est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$. Son comportement dépend de $q$ :

Si $|q| < 1$ : La suite converge vers $0$.
Si $q = 1$ : La suite est constante ($u_n = 1$).
Si $q > 1$ : $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
Si $q \leq -1$ : La suite diverge par oscillation.

Exemple : $u_n = (\frac{1}{2})^n$ converge vers $0$ car $|\frac{1}{2}| < 1$.

2. Suite de la forme $u_n = n^r$ ($r \in \mathbb{Q}^*$)

Si $r > 0$ : $\lim_{n \to +\infty} n^r = +\infty$ (ex: $n^2, \sqrt{n}$).
Si $r < 0$ : $\lim_{n \to +\infty} n^r = 0$ (ex: $\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}$).

3. Suite de la forme $v_n = f(u_n)$

Si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ et si la fonction $f$ est continue en $L$, alors : \[ \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(L) \]

4. Suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$

Si la suite $(u_n)$ converge vers une limite $L$ et si $f$ est continue, alors $L$ est une solution de l'équation : \[ L = f(L) \]

Exemple : $u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + 2)$. En limite, $L = \frac{1}{2}(L + 2) \implies L = 2$.

5. Suite alternée : $u_n = (-1)^n \times v_n$

Le terme $(-1)^n$ provoque un changement de signe à chaque rang.

$u_n = (-1)^n$ : Donne la suite $(1, -1, 1, -1, \dots)$.
$v_n = (-1)^n \times 2^n$ : Donne $(-2, 4, -8, 16, \dots)$.

X.Récapulatif

Partie	Condition / Forme	Comportement / Limite	Exemple
Suites géométriques	$\|q\| < 1$	Atténuation : convergence vers $0$	$w_n = 2\left(\frac12\right)^n$
	$q = 1$	Stagnation : suite constante	$z_n = 4$
	$q > 1$	Divergence vers $\pm\infty$	$u_n = 3 \times 2^n$
	$q \leq -1$	Divergence par oscillation	$(-2)^n$
Limites	Limite finie	$\lim u_n = L$	$\frac1n \rightarrow 0$
Limites	Limite infinie	$\lim u_n = +\infty$	$n \rightarrow +\infty$
Opérations sur les limites	Somme	$\lim(u_n+v_n)=L+L'$	$\frac1n+\frac2n$
	Produit	$\lim(u_nv_n)=LL'$	$\frac1n \times n$
	Quotient	$\lim\frac{u_n}{v_n}=\frac{L}{L'}$	$\frac{1/n}{2}$
Convergence / Divergence	Suite monotone bornée	Convergente	$2+\frac1n \rightarrow 2$
Convergence / Divergence	Suite monotone non bornée	Divergente	$n \rightarrow +\infty$
Suites particulières	$u_n=q^n$	Dépend de $q$	$\left(\frac12\right)^n$
	$u_n=n^r,\ r>0$	$+\infty$	$n^2$
	$u_n=n^r,\ r<0$	$0$	$\frac1n$
	Suite alternée	Changement de signe	$(-1)^n$

Continuer la leçon

Partie I : Les Suites Arithmétiques

Définition, formes explicites et calcul de sommes.

➔

Partie II : Les Suites Géométriques

Raison, terme général, limites et convergences.

➔

Partie III : Exercices d'Entraînement

Séries de problèmes corrigés et approfondis.

➔

Partie	Condition / Forme	Comportement / Limite	Exemple
Suites géométriques	\(\|q\| < 1\)	Atténuation : convergence vers \(0\)	\(w_n = 2\left(\frac12\right)^n\)
	\(q = 1\)	Stagnation : suite constante	\(z_n = 4\)
	\(q > 1\)	Divergence vers \(\pm\infty\)	\(u_n = 3 \times 2^n\)
	\(q \leq -1\)	Divergence par oscillation	\((-2)^n\)
Limites	Limite finie	\(\lim u_n = L\)	\(\frac1n \rightarrow 0\)
Limites	Limite infinie	\(\lim u_n = +\infty\)	\(n \rightarrow +\infty\)
Opérations sur les limites	Somme	\(\lim(u_n+v_n)=L+L'\)	\(\frac1n+\frac2n\)
	Produit	\(\lim(u_nv_n)=LL'\)	\(\frac1n \times n\)
	Quotient	\(\lim\frac{u_n}{v_n}=\frac{L}{L'}\)	\(\frac{1/n}{2}\)
Convergence / Divergence	Suite monotone bornée	Convergente	\(2+\frac1n \rightarrow 2\)
Convergence / Divergence	Suite monotone non bornée	Divergente	\(n \rightarrow +\infty\)
Suites particulières	\(u_n=q^n\)	Dépend de \(q\)	\(\left(\frac12\right)^n\)
	\(u_n=n^r,\ r>0\)	\(+\infty\)	\(n^2\)
	\(u_n=n^r,\ r<0\)	\(0\)	\(\frac1n\)
	Suite alternée	Changement de signe	\((-1)^n\)

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