Exercice 1 : Projection et Combinaison Vectorielle
Soit \( p \) une projection sur une droite \( (d) \) parallèlement à une direction \( (\Delta) \).
Soient \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) deux vecteurs du plan. On note \( \overrightarrow{u'} = p(\overrightarrow{u}) \) et \( \overrightarrow{v'} = p(\overrightarrow{v}) \) leurs images par la projection vectorielle associée.
Question : Démontrer que pour tout réel \( k \), le projeté du vecteur \( \overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} - k\overrightarrow{v} \) est \( \overrightarrow{w'} = 2\overrightarrow{u'} - k\vec{v'} \). Quelle propriété fondamentale est illustrée ici ?
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Solution :
La projection est une application linéaire. Par définition de la linéarité :
- \( p(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = p(\overrightarrow{u}) + p(\overrightarrow{v}) \) (Additivité)
- \( p(k\overrightarrow{u}) = k \cdot p(\overrightarrow{u}) \) (Homogénéité)
En appliquant ces propriétés à \( \overrightarrow{w} \) :
\( p(2\overrightarrow{u} - k\overrightarrow{v}) = p(2\overrightarrow{u}) + p(-k\overrightarrow{v}) \)
\( = 2p(\overrightarrow{u}) - k p(\overrightarrow{v}) \)
\( = 2\overrightarrow{u'} - k\overrightarrow{v'} \).
Propriété illustrée : La linéarité de la projection vectorielle.
Exercice 2 : Le Centre de Gravité
Soit \( ABC \) un triangle et \( G \) son centre de gravité (isobarycentre de \( A, B, C \)).
On considère une projection \( p \) sur une droite quelconque du plan.
Soient \( A', B', C' \) et \( G' \) les projetés respectifs de \( A, B, C \) et \( G \).
Question : Montrer que \( G' \) est le milieu du segment joignant un sommet de \( A'B'C' \) au milieu du côté opposé. Que peut-on dire de \( G' \) par rapport aux points \( A', B', C' \) ?
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Solution :
1. On sait que dans un triangle, le centre de gravité \( G \) est défini par la relation vectorielle :
\[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \vec{GC} = \overrightarrow{0} \]
2. La projection conserve le barycentre. Puisque \( G = \text{bar} \{(A, 1), (B, 1), (C, 1)\} \), son projeté \( G' \) est le barycentre des projetés munis des mêmes coefficients :
\[ G' = \text{bar} \{(A', 1), (B', 1), (C', 1)\} \]
3. Conclusion : \( G' \) est l'isobarycentre du système \( \{A', B', C'\} \). Cela signifie que \( G' \) est le centre de gravité (éventuellement aplati si les points sont alignés) du système des projetés.
Exercice 3 : Relation de Chasles et Projection (Plus complexe)
Soit \( (d) \) une droite et \( p \) la projection sur \( (d) \) selon une direction \( (\Delta) \) non parallèle à \( (d) \).
Soient \( A, B, C \) trois points quelconques du plan.
On pose \( A' = p(A) \), \( B' = p(B) \) et \( C' = p(C) \).
Question : Démontrer que \( \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{A'C'} \). Est-ce que cette relation dépend de la direction de projection ?
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Solution :
Par définition de la projection vectorielle \( p \), on a :
\( p(\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{A'B'} \)
\( p(\overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{B'C'} \)
\( p(\overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{A'C'} \)
D'après la relation de Chasles dans le plan :
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \]
En appliquant la projection \( p \) (qui est linéaire) à cette égalité :
\[ p(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = p(\overrightarrow{AC}) \]
\[ p(\overrightarrow{AB}) + p(\overrightarrow{BC}) = p(\overrightarrow{AC}) \]
\[ \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{A'C'} \]
Conclusion : La relation est toujours vraie car les points \( A', B', C' \) appartiennent à la même droite \( (d) \). La relation de Chasles s'applique donc naturellement, quelle que soit la direction de projection choisie.
Exercice 4 : Division de segment et Projection
Soit \(ABC\) un triangle et \(G\) un point sur le segment \([AC]\) tel que \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).
On appelle \(I\) le milieu de \([AB]\). Soit \(H\) le projeté de \(G\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AI)\).
Soit \(K\) le projeté de \(G\) sur \((BC)\) parallèlement à \((BI)\).
- Construire la figure.
- Montrer que \(\overrightarrow{CH} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{CK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CB}\) est impossible, déterminez les rapports exacts par projection.
- En déduire la position du point \(H\) par rapport au segment \([BC]\).
Solution
Par la projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\), le point \(A\) devient \(B\), \(C\) reste \(C\). Comme \(\overrightarrow{CG} = \frac{3}{4}\overrightarrow{CA}\), alors son projeté \(H\) vérifie \(\overrightarrow{CH} = \frac{3}{4}\overrightarrow{CB}\).
Exercice 5: Configuration avec point extérieur
\(MNP\) est un triangle. \(S\) est un point de la droite \((NP)\) tel que \(P\) soit le milieu de \([NS]\).
Soit \(T\) un point tel que \(\overrightarrow{MT} = \frac{2}{3}\overrightarrow{MS}\).
Le projeté de \(S\) sur \((MN)\) parallèlement à \((TN)\) est noté \(X\).
Le projeté de \(S\) sur \((MP)\) parallèlement à \((TP)\) est noté \(Y\).
- Montrer que \(\overrightarrow{MX} = \frac{3}{2}\overrightarrow{MN}\).
- Montrer que \(\overrightarrow{MY} = \frac{3}{2}\overrightarrow{MP}\).
- Démontrer que \((XY) \parallel (NP)\).
Solution
On a \(\overrightarrow{MS} = \frac{3}{2}\overrightarrow{MT}\). Par projection sur \((MN)\) parallèlement à \((TN)\), \(M \to M\), \(T \to N\) et \(S \to X\). Donc \(\vec{MX} = \frac{3}{2}\overrightarrow{MN}\). Le même rapport s'applique sur l'autre droite, d'où le parallélisme par la réciproque de Thalès.
Exercice 6: Parallélogramme et rapport 2/3
\(IJKL\) est un parallélogramme. Soit \(M\) un point tel que \(\overrightarrow{IM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{IK}\).
\(P\) est le projeté de \(M\) sur \((IL)\) parallèlement à \((IJ)\).
- Exprimer \(\overrightarrow{IP}\) en fonction de \(\overrightarrow{IL}\).
- Montrer que \(\overrightarrow{MP} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{IJ}\).
- Soit \(Q\) sur \([IJ]\) tel que \(IQ = \frac{2}{3}IJ\). Prouver que \((PQ) \parallel (JL)\).
Solution
Par projection sur \((IL)\) // \((IJ)\), \(I \to I, K \to L, M \to P\). Donc \(\vec{IP} = \frac{2}{3}\vec{IL}\). Dans le triangle \(ILJ\), l'égalité des rapports \(\frac{IP}{IL} = \frac{IQ}{IJ} = \frac{2}{3}\) prouve que \((PQ) \parallel (JL)\).
Exercice 7: Comparaison de segments projetés
Soit un triangle \(ABC\). Soit \(D\) tel que \(\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BA}\).
On projette \(A\) et \(D\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) pour obtenir \(A'\) et \(D'\).
- Vérifier que \(A' = A\).
- Exprimer \(\overrightarrow{AD'}\) en fonction de \(\overrightarrow{AC}\).
- Montrer que la distance \(DD' = 2 \times BC\).
Solution
On a \(\vec{BD} = 2\vec{BA}\) donc \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BA}\). Par projection sur \((AC)\) // \((BC)\), \(\overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{AC}\). D'après Thalès, \(\frac{DD'}{BC} = \frac{AD}{AB} = 1\). (Attention au sens des vecteurs ici).
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