Exercice 1 : Calcul de longueur (Sens direct)
Dans un triangle \(ABC\), on place un point \(D\) sur \([AB]\) et un point \(E\) sur \([AC]\) tels que \((DE) \parallel (BC)\).
On donne : \(AD = 4\) cm, \(AB = 10\) cm et \(AE = 6\) cm.
Question : Calcule la longueur du segment \([AC]\).
Voir la solution
D'après le théorème de Thalès, puisque \((DE) \parallel (BC)\), on a :
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \] \[ \frac{4}{10} = \frac{6}{AC} \] \[ AC = \frac{10 \times 6}{4} = \frac{60}{4} = 15 \text{ cm} \]Exercice 2 : Démontrer le parallélisme (Réciproque)
Soit un angle de sommet \(O\). Sur une demi-droite, on place \(A\) et \(B\) tels que \(OA = 3\) et \(OB = 7,5\).
Sur l'autre demi-droite, on place \(C\) et \(D\) tels que \(OC = 2\) et \(OD = 5\).
Question : Les droites \((AC)\) et \((BD)\) sont-elles parallèles ? Justifie.
Voir la solution
1. Calculons les rapports séparément :
\[ \frac{OA}{OB} = \frac{3}{7,5} = 0,4 \] \[ \frac{OC}{OD} = \frac{2}{5} = 0,4 \]2. Comparaison : On constate que \(\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}\).
3. Conclusion : Comme les points \(O, A, B\) et \(O, C, D\) sont alignés dans le même ordre et que les rapports sont égaux, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((AC)\) et \((BD)\) sont bien parallèles.
Exercice 3 : Projection et Vecteurs
Soient deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) tels que \(\overrightarrow{v} = -2,5\overrightarrow{u}\).
On projette ces vecteurs sur une droite \((D)\) parallèlement à une droite \((\Delta)\).
On appelle \(\overrightarrow{u'}\) et \(\overrightarrow{v'}\) les vecteurs projetés.
Question : Quelle relation lie \(\overrightarrow{v'}\) et \(\overrightarrow{u'}\) ? Explique pourquoi.
Voir la solution
La projection conserve le coefficient de colinéarité entre deux vecteurs.
Puisque \(\overrightarrow{v} = -2,5\overrightarrow{u}\), alors après projection sur la droite \((D)\), la relation reste identique :
Cela signifie que le vecteur projeté \(\overrightarrow{v'}\) aura une longueur 2,5 fois plus grande que \(\overrightarrow{u'}\) et sera de sens opposé (à cause du signe moins).
Exercice 4 : Synthèse Projection & Vecteurs
Soit un triangle \(OAB\). Soit le point \(M\) sur le segment \([OA]\) tel que \(\overrightarrow{OM} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OA}\).
On trace la parallèle à \((AB)\) passant par \(M\). Elle coupe le segment \([OB]\) en \(N\).
Question : En utilisant la conservation du coefficient de colinéarité par la projection, exprime le vecteur \(\overrightarrow{ON}\) en fonction de \(\overrightarrow{OB}\), puis déduis-en le vecteur \(\overrightarrow{MN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).
Voir la solution détaillée
1. Expression de \(\overrightarrow{ON}\) :
Considérons la projection sur la droite \((OB)\) parallèlement à la droite \((AB)\).
- Le projeté de \(O\) est \(O\).
- Le projeté de \(A\) est \(B\).
- Le projeté de \(M\) est \(N\).
Comme \(\vec{OM} = \frac{2}{5}\vec{OA}\) et que la projection conserve le coefficient de colinéarité, on a immédiatement :
\[ \overrightarrow{ON} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OB} \]
2. Expression de \(\overrightarrow{MN}\) :
D'après le théorème de Thalès sous forme vectorielle (ou homothétie de centre \(O\)), le coefficient \(k = \frac{2}{5}\) s'applique aussi aux bases parallèles :
\[ \overrightarrow{MN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} \]
Exercice 5 : Problème complet (Thalès & Configuration)
Soit \(ABC\) un triangle. On donne \(AB = 8\) cm et \(AC = 12\) cm.
1. Place le point \(M\) sur \([AB]\) tel que \(AM = 2\) cm et le point \(N\) sur \([AC]\) tel que \(AN = 3\) cm.
2. Question A : Démontre que \((MN) \parallel (BC)\).
3. On appelle \(I\) le milieu de \([BC]\). La droite \((AI)\) coupe \((MN)\) en \(J\).
4. Question B : Démontre que \(J\) est le milieu de \([MN]\) en utilisant une projection.
Voir la solution pas à pas
Solution Question A :
Calculons les rapports sur les côtés du triangle :
\[ \frac{AM}{AB} = \frac{2}{8} = 0,25 \quad \text{et} \quad \frac{AN}{AC} = \frac{3}{12} = 0,25 \]
Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque de Thalès, \((MN) \parallel (BC)\).
Solution Question B :
Puisque \((MN) \parallel (BC)\), on peut considérer la projection sur la droite \((MN)\) parallèlement à la droite \((AB)\) (ou simplement utiliser le théorème de Thalès dans les triangles \(AB I\) et \(AC I\)).
Dans le triangle \(ABI\), comme \((MJ) \parallel (BI)\), on a : \(\frac{AJ}{AI} = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{4}\).
On en déduit que \(\overrightarrow{MJ} = \frac{1}{4}\vec{BI}\) et \(\overrightarrow{JN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{IC}\).
Comme \(I\) est le milieu de \([BC]\), on a \(BI = IC\), ce qui implique \(MJ = JN\).
Conclusion : \(J\) est bien le milieu de \([MN]\).
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